线性系统设计作业

设计作业

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指导老师：

解:

1、①将惯性环节等效变换并带入数据得到如下所示：

系统不加扰动和任何反馈及校正装置时，在t=0s时，加上阶跃输入

u=1500，得到波形如下：

可以看出输出不能跟随输入变化，而且稳态误差较大，不能符合系统控制要求。

令x1n；x2Ud ；x3Id得状态空间表达式如下：

x10018.086x10xu0588.2350x23529.412228.101259.524250x3x3

Y = 100x

②判断系统稳定性，在MATLAB中输入以下程序: >> A=[0 0 18.086;0 -588.235 0;-8.1012 59.524 -25]; P=poly(A); roots(P) 运行结果如下：

ans = -588.2350 -15.6196 -9.3804

可以看到特征方程的所有特征值均为负实数，所以系统是稳定的。 ③判断系统的能控性与能观性，在MATLAB中输入以下程序： A=[0 0 18.086;0 -588.235 0;-8.1012 59.524 -25]; B=[0;23529.412;0]; C=[1 0 0]; M=ctrb(A,B) RM=rank(M) N=obsv(A,C) RN=rank(N) 运行结果如下： M =

1.0e+009 *

0 0 0.0253 0.0000 -0.0138 8.1417 0 0.0014 -0.8589 RM = 3

N =

1.0e+003 *

0.0010 0 0 0 0 0.0181 -0.1465 1.0766 -0.4522 RN = 3 >>

从计算结果可以看出，系统能控性矩阵和能观测性矩阵的秩都是3，为满秩，因此该系统是可控的，也是能观测的。 ④反馈控制系统的设计

因为被控系统能控又控制，维数不少于误差的维数且rankC=1=m，

ABranknmC0故满足式，即增广系统状态完全能控，所以可以采

用线性状态反馈控制律 uK1xK2w来改善系统的动态和稳态的性能，在式中，K1[k1 k2 k3]。题目要求系统超调量10%，调节时

间ts0.5s；可以通过公式e0.612和

ts3.5Wn计算得取0.5914，取

，取wn11.84取wn11.9 ,解得期望的闭环主导极点对为

*1,27.14j9.52；

选择2个期望的闭环非主导极点离虚轴为主导极点的10倍以上，取为-118，即34118。 则期望的闭环特征多项式为：

P*(S)(S1)(S2)(S3)(S4)

=(S+7.14-j9.52(S+7.14+j9.52)(S+118)(S+118)

.69S232254.68S19717777.64 （1） =S250.28S17435432闭环控制系统的特征多项式为：

P(S)=detSIABK1CBK2= 0

S4(613.23523529.412k12)S3(14852.3486588225k121400564.72k13)S2(25322515.46k113446395.3286k1386159.8393)S25322515.4587K2

（2）

令（1）式与（2）式相等，可求解得状态反馈增益矩阵和积分常数如下：

K= [k11 k12 k13]=[0.007908 -0.015425 0.00832]

K2=0.07787

可以得到设计的状态反馈+积分校正如下图所示：

⑤加上状态反馈和积分校正后仿真及结果：

Ⅰ、不加扰动，在t=0时输入u=1500得到仿真结果如下图所示：

由图中可以看出：8.6%，ts0.5s，稳态时转速n=1500。 Ⅱ、在t=3s时加入扰动，扰动为阶跃变化（0-500）阶跃信号得到系统仿真图如下：

局部放大为：

可以看出t在接近3.1s时系统转速从稳态值上升到1560，t=3.4s时恢复稳定，稳态误差为零。控制效果较好。

2、采用全维状态观测器的状态反馈系统

（1）由第一问求得反馈矩阵

F=K1= [k11 k12 k13]=[0.007908 -0.015425 0.00832]

为了求状态反馈闭环系统A-B*F的极点；在MATLAB输入程序如下： A=[0 0 18.086;0 -588.235 0;-8.1012 59.524 -25]; B=[0;23529.412;0];

F=[0.007908 -0.015425 0.00832]; P=poly(A-B*F); roots(P) 得到结果如下： ans =

-130.0609 -102.7782 -17.4547

从工程实际出发，兼顾快速性、抗干扰性等，选择观测器的响应速度比所考虑的状态反馈闭环系统快2—5倍。 故取观测器的极点为-520.2436,-411.1128，-69.8188； （2）偏差反馈增益矩阵G。在MATLAB中输入以下程序： A=[0 0 18.086;0 -588.235 0;-8.1012 59.524 -25]; C=[1 0 0];

P=[-520.2436;-411.1128;-69.8188]; Gt=acker(A',C',P); G=Gt'

运行结果如下：

G =

1.0e+003 * 0.3879 -5.7992 1.4461

（3）采用全维状态观测器的状态反馈系统设计如下图

（4）将计算结果带入仿真模型。

①不加扰动时得到转速仿真波形如下（上面图是原系统的输出图，下面是全维状态观测器的输出图）：

可以看出观测器观测器效果较好两条曲线完全重合，观测器效果较好且反馈系统调节的动态性能符合控制要求。

Ud仿真波形和观测器中Ud如下（上面图是原系统的输出图，下面

是全维状态观测器的输出图）：

Id仿真波形和观测器中Id如下图（上面图是原系统的输出图，下

面是全维状态观测器的输出图）：

通过比较可见得到波形形状完全一样说明观测器效果较好，能够满足

设计的要求。

②t=3s时加入扰动，扰动为阶跃变化（0-500）得到系统转速n仿真图如下（上面图是原系统的输出图，下面是全维状态观测器的输出图）：

可以得出，在加扰动前动态性能较好，稳态误差为0；t=3s时加入扰动后系统转速由反馈加积分校正后恢复到稳态误差为0。而且可以看出扰动后系统观测的两条曲线几乎重合说明设计的观测器符合要求，效果较好。 3、设计降维观测器 编写MATLAB程序如下：

A=[0 0 18.086;0 -588.235 0;-8.1012 59.524 -25]; B=[0;23529.412;0]; C=[1 0 0];

T=[0 0 1;0 1 0;1 0 0];

A1=T*A*inv(T);B1=T*B;

A11=A1(1:2,1:2);A12=A1(1:2,3);A21=A1(3,1:2);A22=A1(3,3); B11=B1(1:2,1);B12=B1(3,1); P=[-300;-150]; Gt=acker(A11',A21',P); G=Gt';

A0=(A11-G*A21);B0=(B11-G*B12);Q=[(A11-G*A21)*G+A12-G*A22]; >> format long; >> G A0 B0 Q G =

1.0e+002 * -0.09025489328763 1.17332720619558 A0 = 1.0e+003 *

0.13823500000000 0.05952400000000 -2.12207958512533 -0.58823500000000 B0 =

1.0e+004 * 0 2.35294120000000 Q =

1.0e+004 * 0.57283731447971 -4.98664062633122

建模仿真图：

（1）不加扰动时得到转速仿真波形如下：

（2）在t=3s时加入扰动，扰动为阶跃变化（0-500）得到系统转速n仿真图如下：

可以得出，在加扰动前动态性能较好，稳态误差为0；t=3s时加入扰动后系统转速由反馈加积分校正后恢复到稳态误差为0。

解：

线性二次型的性能指标J[XTQXuTRu]dt，其中

0a10Q0a20000，R[001]。 a3列出代数黎卡提方程0PAATPQPBRBTP，解出P，带入

kk1k2k3R1BTP得到状态反馈控制器参数。带入该系统的结构图如图8所示。

在MATLAB中，执行下面程序，计算出状态反馈控制器参数k1k2k3：

//参数选择如下：a100,a1,a1 123A=[0,1,0;0,0,1;0,-27,-9];

B=[0;0;1]; C=[1,0,0]; D=0;

Q=diag([80000,10,10]); R=1;

K=lqr(A,B,Q,R) k1=K(1); Ac=A-B*K; Bc=B*k1; Cc=C; Dc=D;

Step(Ac,Bc,Cc,Dc) 运行结果为：

K=100.0000 29.4611 3.2443

为了研究Q矩阵对最优控制的影响，将R固定改变参数如下：

a80000,a10,a10 123程序结果如下：

K = 282.8427 69.5372 6.1682 系统输出响应的仿真结果

a100000,a10,a10 123程序结果如下：

K = 316.2278 75.9335 6.5842 系统输出响应的仿真结果:

从上述分析可以看出，当R固定不变时，随着Q的增大，超调量随之增大，而调节时间则会不断减小。

（2）将Q固定为a100000,a10,a10，R=1时：

123A=[0,1,0;0,0,1;0,-27,-9]; B=[0;0;1]; C=[1,0,0]; D=0;

Q=diag([100000,10,10]); R=5;

K=lqr(A,B,Q,R) k1=K(1); Ac=A-B*K; Bc=B*k1; Cc=C; Dc=D;

Step(Ac,Bc,Cc,Dc)

K = 316.2278 75.9335 6.5842 系统输出响应结果为：

将Q固定为a100000,a10,a10，R=3时：

123K = 182.5742 48.0883 4.4354 系统输出响应结果为：

将Q固定为a100000,a10,a10，R=5时： 123K = 141.4214 38.6696 3.6625 系统输出响应结果为：

从上述分析可以看出，当Q固定不变时，随着R的增大，超调量随之增小，而调节时间则会不断增大。

综上所述：当R固定不变时，随着Q的增大，超调量随之增大，而调节时间则会不断减小，而当Q固定不变时，随着R的增大，超调量随之增小，而调节时间则会不断增大。