函数列的几种收敛性

函数列的几种收敛性

王佩

（西北师范大学 数学与信息科学学院 甘肃兰州 730070）

摘 要: 讨论和总结函数列的收敛、一致收敛、处处收敛，几乎处处收敛、几乎处处一致收敛、依测度收敛、近乎收敛、近乎一致收敛、强收敛及其它们之间的关系和相关命题.

关键词： 函数列；收敛；

Several kinds of convergence for the sequence of funcations

Wang pei

(College of Mathematics and Information Science,Northwest Normal University,Lanzhou

730070,China)

Abstract:This article discusses and summarizes the relationship between the convergence, uniform convergence,everywhere convergence,almost everywhere convergence,almost everywhere uniform convergence,convergence in measure,nearly convergence,nearly uniform convergence and strong convergence for the sequence of funcations.

Key words: the sequence of funcations; convergence;

一、 几种收敛的定义

1、 收敛的定义

定义1：设an为数列，a为定数.若对任给的正数，总存在正整数N，使得当n>N时有ana,则称数列an收敛于a，定数a称为数列an的极限，并记作limana,或anan.

n定义2：设f为定义在a,上的函数，A为定数.若对任给的0，存在正数M（a），使得当x>M时有 |f(x)-A|<,则称函数f当x趋于+ ∞时以A为极限，记作 limf(x)=A或f(x)→A(x→+ ∞).用c.表示.

x2、一致收敛的定义

设函数列{fn(x)}与函数f(x)定义在同一数集E上，若对任意的ε>0,总存在自然数N，使得当n>N时，对一切x∈E都有| fn(x)- f(x)|<ε,则称函数列{fn(x)}在E上一致收敛于f(x)，记作fn(x)→ f(x)，（n→∞）x∈E.用u.c.表示.

3、几乎处处收敛的定义

设函数列{fn(x)}与函数f(x)定义在同一可测集E上，若函数列{fn(x)}在E上满足mE（fn(x)→ f(x)）=0，（其中“→”表示不收敛于），则称{fn(x)}在E上几乎处处收敛于f(x)，记作lim fn(x)= f(x)a.e.于E，或fn→fa.e.于

nE.用a.c.表示.

4、几乎处处一致收敛

设函数列{fn(x)}与函数f(x)定义在同一可测集E上，若函数列{fn(x)}在E

ucuc f(x)）=0，”表示不一致收敛于）上满足mE（fn(x)（其中“，

则称{fn(x)}在E上几乎处处一致收敛于f(x)，记作lim fn(x)= f(x)a.e.于

nucf a.e.于E.用a.u.c.表示. E，或fn 

5、依测度收敛

设函数列{fn(x)}是可测集E上一列a.e.有限的可测函数，若有E上一列a.e.有限的可测函数f(x)满足下列关系： 对任意σ>0有limmE [|fn-f|≥σ]=0，则称函数列{fn}依测度收敛于f,或度

n量收敛于f记为：fn(x) f(x).

6、 近乎收敛

c若 >0, EσE,使得m Eσ< ,且fn(x) f(x) (在E- Eσ上)，则称n.c函数列{fn(x)}在E上近乎收敛于函数f(x)，记为fn(x) f(x)或简记

n.c为fn  f.用n.c.表示. 7、近乎一致收敛

u.c 若 >0, EσE,使得m Eσ< ,，且fn(x) f(x)在E- Eσ上），则.u.c f(x)或称函数列{fn(x)}在E上近乎一致于函数f(x)，记为fn(x)n.u.c f.用n.u.c.表示. fnn8、强收敛

设fn(x)，f(x)属于Lp,若fn(x)，f(x)得距离fn(x)f(x)敛于0（当n→+ ∞）,

强则称fn(x)强收敛于f(x),简记为：fnf.

二、 几中收敛的关系

1 一致收敛与处处收敛、几乎处处收敛的关系

若{fn(x)}在E上一致收敛，则在E上逐点收敛，即处处收敛，处处收敛一定几乎处处收敛.但几乎处处收敛不一定处处收敛，处处收敛也不一定一致收敛.

2 处处收敛、几乎处处收敛与依测度收敛的关系

2.1依测度收敛不论是在有限可测集上，还是在一般可测集上，即“从整体上”推不出几乎处处收敛.

例1 依测度收敛而处处不收敛的函数.

取E=0,1,将E等分，定义两个函数：

111，x0,,0，x0,,（1）（1）2 f2 f1(x)=  2(x)= 111,x0,x,1,1.221四等分、八等分等等.一般地，对每个n,作2n个函数： 然后将0，

j1j1，xn,n,22 f（n）j(x)=  j=1,2,…,2n.

j1j0,xn,n.22把{ f（n）j，j=1,2,…,2n.}先按n后按j的顺序逐个地排成一列：

f（1）1(x)，f（1）2(x)，…，f（n）1(x)，f（n）2(x)，…，f（n）2n(x),… (1)

f（n）j(x)在这个序列中是第N=2n-2+j个函数.可以证明这个序列是依测度收敛于零的.这是因为对任何σ>0,

j1jE[|f（n）j-0|≥σ]或是空集（当σ＞1），或是n,n（当0<σ≤1），

22所以

1(当σ＞1时，左端为0). 2n 于是当N=2n-2+j（j=1,2,…,2n）趋于∞时，n→∞.由此可见 lim m(E[|f（n）j-0|≥σ])=0,即f（n）j(x)0.

Nm(E[|f（n）j-0|≥σ])≤

但是函数列（1）在0,1上的任何一点都不收敛.事实上，对任何点x00,1,

j1j无论n多么大，总存在j,使x0n,n,因而

22 f

（n）

j(x0)=1，然而f

（n）

j+1(x0)=0或f

（n）

j-1

(x0)=0，换言之，对任何x00,1，

在{f（n）j(x0)}中必有两子列，一个恒为1，另一个恒为零，所以序列（1）在0,1上任何点都是发散的.

2．2反过来，一个a.e，收敛的函数列也可以不是依测度收敛的.

例2 取E=(0,+∞),作函数列：

1，x0,n f（n）(x)=  n=1,2,….

0,xn,,显然fn(x)→1(n→+∞),当x∈E.但是当0<σ<1时，E[|fn-1|≥σ]=

（n, +∞),且m(n, +∞)=∞.

这说明{ fn}不依测度收敛于1.

2.3尽管两种收敛区别很大，一种收敛不能包含另一种收敛，但是下列定理反映出它们还是有密切联系的.

定理1（黎斯F.Riesz） 设在E上{fn}测度收敛于f,则存在子列{ fni}在E上a.e.收敛于f.

定理2(勒贝格Lebesgue) 设

（1） mE<∞;

（2） {fn}是E上a.e.有限的可测函数列；

（3） {fn}在E上a.e.收敛于a.e.有限的函数f,则 fn（x）

f(x).

定理3设fn（x）f(x)， fn（x）g（x）,则f(x)=g(x)在E上几乎处处成立.

3 几乎处处收敛与近一致收敛

3.1 在有限可测集上，几乎处处收敛一定近一致收敛

叶果洛夫（Eτopob ）定理：设mE<+∞,f和f1,f2,…,fn,…都是E上几乎处处有限的可测函数，若limfn(x)=f(x)，a.e.于E，则对任何σ>0,存在可测集EσE,

n使得mEσ<σ,且在E-Eσ上{ fn(x)}一致收敛于f(x). 3.2 在一般可测集上（mE=+∞），几乎处处收敛不一定近一致收敛

Eτopob定理中mE<+∞的条件不可少.例如考虑可测函数例 fn(x)=Χ(0,n)(x),n=1,2,…, x(0, ∞).

它在(0, ∞)上处处收敛于f(x)≡1,但在(0, ∞)中的任一个有限测度集外均不一致收敛于f(x)≡1.

又如取E= (0,+ ∞)，则mE=+∞，作E上函数列：

1，x0,n; fn(x)= n=1,2,…, limfn(x)= f(x)≡1 (0n0,xn,.取δ=1, 则对任何可测集EδE，若mEδ<δ=1，故m(E-Eδ)= ∞,于是集E-E无界.取ε=1/2,对任意N存在n=N+1和x0>N+1,且x0∈E-Eδ时，| fn(x0)-

f(x0)|=|0-1|>ε.所以在E-Eδ上{ fn(x)}不一致收敛于f(x).

3.3 不论在有限还是一般可测集上，近一致收敛一定几乎处处收敛

叶果洛夫（Eτopob ）定理的逆定理成立可说明这一结论.

设可测集E上可测函数列fn(x) 近一致收敛于f(x)，则fn(x)几乎处处收敛于f(x).

4 近一致收敛与依测度收敛

4.1 无论是在有限还是一般可测集上，近一致收敛一定依测度收敛

设f和f1,f2,…,fn,…都是E上几乎处处有限的可测函数，若{ fn(x)}在E上近一致收敛于f(x)，则fn(x) f(x).

证明 由条件对任意δ>0及σ>0,存在N=N(σ,δ)及E的可测子集E，且 m E=δ,当n≥N时，对一切x0∈E-Eδ，| fn(x)- f(x)|<σ，因此，对任意 x0∈E-Eδ，x∈Efnxfx,E-EδnNnNEfn(x)fx.

于是对任何x∈E-Efnf=Efnf,必有x∈Eδ,即

nNnN

nNEfnfE

综上所述，对δ>0，σ>0，存在N=N(σ,δ)，当n≥N时，m(Efnf)

nN≤m E<δ,从而mE[|fn-f|≥σ]<δ.由依测度收敛的定义可知，fn(x) f(x). 4.2 不论在有限可测集还是一般可测集上，依测度收敛不一定近一致收敛，但必有子列近一致收敛.依测度收敛但不几乎处处收敛的例子同时也说明依测度收敛不一定近一致收敛.

5 几乎处处收敛与强收敛

5.1几乎处处收敛不一定强收敛

1n,0x,n 例 fn(x) =，

10,x0及x1.n 显然在0,1上fn处处收敛于f=0,然而并不强收敛于f.事实上

fnf={n2dx}=n→∞（n→∞）. 5.2 强收敛不一定几乎处处收敛

i1i1,x,,kk(k) 例 fi= 

i1i0,x,.kk1n012令Φn(x)= fi(k),Φ(x)=0.则：nxx={nx}=

01121k→0(n→∞),

强 Φ(x),而Φn(x)在任一点都不收敛. Φn(x)

6 依测度收敛与强收敛

6.1强收敛一定依测度收敛

可证明，对任何ε>0,设En(ε)=E{x:|fn(x)-f(x)|≥0},

E|fn(x)f(x)|dxEn()|fn(x)f(x)|2dx2mEn(),

 fn→f,mEn(ε)→0,即fn(x)f(x). 6.2 依测度收敛不一定强收敛

1，在E上作函数列如下： 例 E=0，1x0,1(2)2 … 1, f1(x)=  f1(1)(x)=1 x∈0，10x,12i1ix ,1kk (i=1,2…,k) fi(k)(x)= 

0x0,1i1,ikk 上述的函数列记为Φ1（x）, Φ2（x）, Φ3（x）,…, Φn（x）,…,可证

Φn（x）Φ（x）≡0，但却处处不收敛于Φ（x）.

证明 若ε>1, En(ε)为空集，显然lim En(ε)=0；若0<ε≤1,则

ni-1i,,所以mE{x:| Φn（x）-Φ（x）|En(ε)=E{x:| Φn（x）-Φ（x）|≥ε}=kk1≥ε}=，于是当n→∞,显然k→∞.故limEn(ε)=0，从而Φn（x）Φ（x），

nk1,Φn（x0）中总有无穷个1，无穷个0，即{Φn（x）}处处不收敛. 而对任x0∈0，

三、相关命题及证明

a.c.n.c. f fn  f 命题1 fn EE证明 “” 由定义立得

1n.c.“” 设fn  f，则K，EE,使得m E<,且 kkEkc. fn f EEk记 E0=Ek，则m E0=0,E- E0=(EEk)

k1k1a.c.c. f 证毕  fn f且m E=0 即f0n EEEk

n.u.c.n.c.f fnf 命题 2 fnEE证明 “” 由定义立得

n.c.a.c. f “” 设fnf，则由命题1知 f nEEn.u.c. f 证毕 而 m E<∞,故由叶果洛夫定理有 fnE

n.u.c.f，则fnf 命题 3 若fnE

n.u.c.f (k→∞) 命题 4 若fnf，则{fnk }{fn}，使得fnkE证明 任取定{εk}→0,{δk}→0,且k<∞，则由“” 的定义知：

k1可取定 n1>N(ε1, δk)，使得 m E(|fn1 -f|≥ε1)< δ1

n2> n1, n2> N(ε2, δ2), 使得 m E(|fn1 -f|≥ε2)< δ2

… … …

 δ>0,由k<∞知，K1，使得k<δ

k1k1记 Eδ=E(|fnkf|k) 则 m Eδ<δ

kk1又 δ>0，由{εk}→0，知K2，使得εk2<ε,于是当k≥k0=max{k1,k2},且x∈(E- Eδ)时，有 |fnk（x）-f(x)|< εk<ε

u.c.fnk（x）f (k→∞) 且m Eδ<δ EEn.u.c.f (k→∞) 证毕 即 fnkE

命题 5 fnf  {fnk}{fn }， {fnk}{fnk}，使得fnkf（i→∞）

11证明 σ>0,记an=m E(|fn-f|≥σ) (n=1,2,…)

 δ>0, fnf,则由“”的定义有 liman=lim m E(|fn-f|≥σ)=0

nn故 {ank}{an}, {ani}{ank},使得 limank=0

n即

{fn}{fn }， {fn}{fn}，使得

kk1k lim m E（|fnk-f|≥σ）=0 亦即fnkf（i→∞）

n11

“” 设{fnk}{fn }， {fnk}{fnk}，使得

1limani=lim m E（|fnk-f|≥σ）=0

ii1 liman=0 即 lim m E(|fn-f|≥σ)=0

nn亦即 fnf 证毕

命题 6 {fnk}{fn }， {fnk}{fnk}，使得fnkf（i→∞）

11n.u.c.f（i→∞） 则有{fnk}{fn }， {fnk}{fnk}，使得fnkE11证明“”设{fnk}{fn }， {fnk}{fnk}，使得

1 fnkf（i→∞）

1n.u.c.f（i→∞） 则由命题4知：{fnk}{fnk}，使得 fnkE11综上所述，结论成立.

“” 设{fnk}{fn }， {fnk}{fnk}，使得

1n.u.c.f（i→∞） fnkE1则由命题3知： fnkf（i→∞）

1综上述，结论成立.

n.u.c.f（i→∞） 命题7 若{fnk}{fn }，{fnk}{fn }，使得 fnkE1n.u.c.f（m→∞） 则{fnm}{fn }，使得fnmE

a.c. f（i→∞） 命题8 若{fnk}{fn }，{fnk}{fn }，使得fnkE1a.c. f（m→∞）. 则{fnm}{fn }，使得fnmE命题7和命题8的结论是容易证明的，不再叙述.

n.c.a.c.f,则{fnk}{fn }，使得fnkf(k→∞） 命题9 若fnEE

n.u.c.f（k→∞） 命题10 {fnk}{fn }，使得fnkE

a.c. f（k→∞） {fnk}{fn }，使得fnkE

n.u.c.f（i→∞） 命题11{fnk}{fn }， {fnk}{fnk}，使得 fnkE11a.c. f（i→∞）.  {fn}{fn }， {fnk1}{fn}，使得 fnk1Ekk由命题1和命题2可立得命题9、命题10和命题11的结论.

经上所述可测函数各种收敛性的关系的关系图如下：

u.c. a.u.c n.u.c  ~~ 子列n.u.c. ~~ n.u.c.子列c. a.c. n.c. a.c. ~~ a.c. 从上图清楚你地看出，一致连续这个条件最强，所得到的结果也最多.

参考文献

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