西南大学(陈鹏)热力学统计物理期末复习重点习题整理

第一章 热力学的基本规律

1.8 满足pVnC的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量Cn为

CnnCV n1解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量

QUCnlimT0TTnnVp. （1） Tn对于理想气体，内能U只是温度T的函数，

UCV, Tn所以

VCnCVp. （2）

Tn将多方过程的过程方程式pVnC与理想气体的物态方程联立，消去压强p可得

TVn1C1（常量）。 （3）

将上式微分，有

Vn1dT(n1)Vn2TdV0,

所以

VV. （4） (n1)TTn代入式（2），即得

CnCVpVnCV, （5） T(n1)n1其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。

1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。

解：假设在pV图中两条绝热线交于C点，如图所示。设想一等温线与

1 / 11

热力学统计物理_第五版_汪志诚_ 课后重点题目答案

两条绝热线分别交于A点和B点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在循环过程ABCA中，系统在等温过程AB中从外界吸取热量Q，而在循环过程中对外做功W，其数值等于三条线所围面积（正值）。循环过程完成后，系统回到原来的状态。根据热力学第一定律，有

WQ。

这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了， 这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。 因此两条绝热线不可能相交。

第二章 均匀物质的热力学性质

2.2 设一物质的物态方程具有以下形式：

pf(V)T,

试证明其内能与体积无关.

解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式：

故有

但根据式（2.2.7），有

UpTp, （3） VTTVpf(V). （2） TVpf(V)T, （1）

所以

UTf(V)p0. （4） VT 2 / 11

热力学统计物理_第五版_汪志诚_ 课后重点题目答案

这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T的函数.

UU02.4 已知，求证0. VTpT解：对复合函数

求偏导数，有

如果U0，即有 VTU(T,P)U(T,V(T,p)) （1）

UUV. （2） pVpTTT

U0. （3） pT式（2）也可以用雅可比行列式证明：

U(U,pT(p,(U,(V,T)T)T)(V,T)T)(p,T)

UV. （2） VpTT

第六章 近独立粒子的最概然分布

6.3 试证明，对于二维自由粒子，在面积L2内，在ε到ε+dε的能量范围内，量子态数为

2L2 D(ε) d ε =2md

h证明：对于二维自由粒子，有pxhhnx,pyny LLhhdpxdnx,dpydny

LL 所以，在面积L2内，在pxpxdpx,pypydpy内的量子态数为

L2dnxdny＝2dpxdpy

h 3 / 11

热力学统计物理_第五版_汪志诚_ 课后重点题目答案

换为极坐标，则动量大小在ppdp内的量子态数为

L2L2dn2pdpd2dp2d

h2hp2 对φ从0至2π积分，并利用则可得在ε到ε+dε的能量范围内，量子态数为

2m2L2 D(ε) d ε =2md，证毕

h第七章 玻耳兹曼统计

7.8稀薄气体由某种原子组成. 原子两个能级能量之差为

210.

当原子从高能级2跃迁到低能级1时将伴随着光的发射. 由于气体中原子的速度分布和多普勒（Doppler）效应，光谱仪观察到的不是单一频率0的谱线，而是频率的一个分布，称为谱线的多普勒增宽. 试求温度为T时谱线多普勒增宽的表达式.

解：我们首先根据在原子跃迁发射光子过程中动量和能量的守恒关系导出多普勒效应.

为明确起见，假设光谱仪接受沿z轴传播的光，原子的誓师为m，初态处在能级2，速度为υ2，发射能量为，动量为k（平行于z轴）的光子后跃迁到能级1，速度变为v1 动量守恒和能量守恒要求

mυ1knυ2, （1） 1121mυ122mυ2. （2）

22将式（1）平方并除以2m，得

2212k12mυ1υ1kmυ2, 22m2代入式（2），注意210.即有

k20υ1k,

2m2或

4 / 11

热力学统计物理_第五版_汪志诚_ 课后重点题目答案

υ1z20. （3）

c2mc2式（3）右方后两项的大小估计如下：考虑

m1026kg,υ1z3102ms-1,

1015s-1,即有

υ1zc106,2mc2

109.因此右方第三项完全可以忽略，且与0的差别很小. 将式（3）改写为

01υ1zcυ011zc （4）

.式（4）给出多普勒频移. 多普勒频移通常表达为：当原子以速度v面对观察者运动时，观察者看到的光频是

01,

cυ其中0是静止原子发出的光的频率.

根据式（7.3.7），温度为T时，气体中原子速度的z分量υz到υzdυz之间的概率与下式成正比：

em2υz2kTdυz. （5）

2将式（4）代入上式可以得到光的频率分布

e2mc022kT0c0d. （6）

这是以0为中心的高斯（Gaussian）型分布. 可以将式（6）表示为高斯型分布的标准形式：

5 / 11

F12122e0222, （7）

热力学统计物理_第五版_汪志诚_ 课后重点题目答案

其中0kT. 函数F满足归一化条件 2mc12

Fd1. （8）

式（7）可以从实验加以验证. 这是实验上验证麦氏速度分布的方法之一.

7.16 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为

122pxpypz2ax2bx, 2m其中a,b是常量，求粒子的平均能量.

解: 应用能量均分定理求粒子的平均能量时，需要注意所难能量表达式中ax2和bx两面三刀项都是x的函数，不能直接将能量均分定理用于ax2项而得 出ax2kT的结论. 要通过配方将表达为

1bb2222pxpypzax. （1） 2m2a4a212在式（1）中，仅第四项是x的函数，又是平方项. 由能量均分定理知

1bb2222 pxpypzax2ma4a2

b22kT. （2）

4a7.21 定域系统含有N个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级0和以及系统的内能110.求在温度为T的热平衡状态下粒子在两能级的分布，和熵. 讨论在低温和高温极限下的结果.

解: 首先分析粒子在两能级的分布. 配分函数为

Z1e0e1e01e10.

处在两能级的最概然粒子数分别为

n0e0N0Ne 10Z11e 6 / 11

热力学统计物理_第五版_汪志诚_ 课后重点题目答案

N1eT, （1）

n1e1N1Ne10 e10Z11eNeT1eT, （2）

其中10k是系统的特征温度. 式（1）和（2）表明，n0,n1随温度的变化取

决于特征温度与温度的比值，如图所示. 在低温极限T下，n0N,n10.粒子冻结在低能级. 在高温极限T下，n0n1N，意味着在高温极限下两能2级级能量的差异对粒子数分布已没有可能觉察的影响，粒子以相等的概率处在两个能级.

系统的内能为

UNN10lnZ1N0 101e

在低温极限T下，有

N0N10. （3）

1eTUN0.

在高温极限T下，有

UN01. 2 7 / 11

热力学统计物理_第五版_汪志诚_ 课后重点题目答案

这是容易理解的.

系统的热容量为

TeTCNk. （4）

2T1e2热容量随温度的变化如图所示. 在低温极限T下，有

TCNke,

T2它趋于零. 在高温极限T下，有

1CNk,

4T2也趋于零. 这结果也是易于理解的. 值得注意，C随温度的变化有一个尖峰，

其位置由

C0 T确定（大致在T~附近）. 热容量这一尖峰称为热容量的肖脱基（Shottky）反常（解释见后）.

系统的熵为

SNklnZ1lnZ1



1010Nkln1e1e10. （5） S随温度的变化如下图所示. 在低温极限下，

S0.

8 / 11

热力学统计物理_第五版_汪志诚_ 课后重点题目答案

高温极限下，

SNkln2.

二能级系统是经常遇到的物理模型，§7.8介绍的顺磁性固体和§7.9介绍的核自旋系统是熟知的例子. §7.8着重讨论了顺磁性固体的磁性，§7.9则将核自旋系统看作孤立系统而讨论其可能出现的负温状态. 处在外磁场B

中的磁矩具有势能-μB. 对于自旋为的粒子，能量为B. 如果磁矩间的 相互作用能量远小于磁矩在外磁场中的能量，就形成二能级系统. 核磁子N很小，使核自旋系统通常满足这一要求 在顺磁性固体中，许多情形下磁性原子（离子）被非磁性离子包围而处于稀释状态，也满足这一要求. 讨论固体中的二级级系统时往往假设二能级系统与固体的其他热运动（如晶格振动）近似独立. 低温下晶格振动的热容量按T3律随温度降低而减小（参阅§9.7）. 实验发现顺磁性固体的热容量在按T3律减少的同时，出现一个当时出乎意料的尖峰而被称为肖脱基反常. 如前所述，尖峰是处在外磁场中的磁矩发生能级分裂形成二能级系统引志的. 除了磁性系统外，二级级结构也存在于其他一些物理系统中. 例如，能级的精细结构使NO分子的基态存在特征温度为178K的二能级结构，从而影响其热力学特性. 参阅Landau, Lifshitz. Statistical Physics. §50. 二能级系统更是激光和量子光学领域的一个基本物理模型，不过其中讨论的不是热力学平衡状态了.

12第八章 玻色统计和费米统计

8.13银的导电电子数密度为5.91028m3.，试求0K时电子气体的费米能量、费米速

率和简并压. 解: 由02233πn2m2，将m9.11031kg,1.051034Js,n5.91028m3代入得

9 / 11

热力学统计物理_第五版_汪志诚_ 课后重点题目答案

05.6eV

费米速率：υF201.4106ms1，0K下电子气体的压强为m2p0n02.11010Pa

5

8.18试求在极端相对论条件下自由电子气体在0K时的费米能量、内能和简并压.

解:极端相对论条件下，粒子的能量动量关系为cp.

在体积V内，在到d的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为

Dd8πVch2d 31,00K下自由电子气体的分布为f

0,0费米能量0由下式确定：N0K下电子气体的内能为：U电子气体的压强为：p3ch08πV02d8πV133n0，故0ch 338ch01300Dd3ch08πV3d8πV1430N0 344ch1U1n0. 3V4第九章 系综理论

9.9仿照三维固体的地拜理论，计算长度为L的线形原子链在高温和低温下的内能和热容量。 解：一维线形原子链ck,k2n/L,n0,1,......

dnLdk/2;D()dLd/2c共有N个振动，存在最大频率D

DD()dN0LdND2Nc/L 2ckTUU0D()edU0Ld令/kTxdkTdx 12cekTLUU02ck2xT2dxLT2k2xdx(ex1)U02cex1

10 / 11

热力学统计物理_第五版_汪志诚_ 课后重点题目答案

LT2k2dxU0kNT 高温近似x1;UU02cLT2k2低温近似UU02cxe1xdxU02kNT2/6D其中kDD

9.10仿照三维固体的德拜理论，计算长度为L的线形原子链（一维晶体）在高温和低温下的内能和热容

量。 解： 二维：

面积S内，dkxdky波矢范围内辐射场振动自由度为

2sdkxdky42skdkd 24横波按频率分布为

0SkdkSdd

2c1242SkdkSdd 222c24 纵波按频率分布为

20DdD横dD纵dBDS21122dBdc1c2S21122c1c22D

0D()d2NBUU0D0222ND4N BDdektD1U0B02ektd

1令

x,dkTdx kT2kT2Dx3kTkTx2kTUU0BdxU0Bxdx xe10e1kT低温近似 UU0B3x2kTdxU2.404B 0x0e13kT高温近似 UU0BCv计算略。

11 / 11

D3kTkT1DxdxUB 02kT032