1. 椭圆的定义：
⑴第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(0 说明：①若常数2a等于2c，则动点轨迹是线段F1F2。 ②若常数2a小于2c，则动点轨迹不存在。 2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质： 标准方程 x2y2+2=1(a>b>0)中2ab心在原点，焦点在x轴上 y2x2+=1(a>b>0) a2b2中心在原点，焦点在y轴上 图形 范围 顶点 x≤a，y≤b A1(−a，0)、A2(a，0)B1(0，−b)、B2(0，b)x轴、y轴； 长轴长2a，短轴长2b； 焦点在长轴上 x≤b，y≤a A1(0，−a)、A2(0，a)B1(−b，0)、B2(b，0)x轴、y轴； 长轴长2a，短轴长2b； 焦点在长轴上 对称轴 焦点 焦距 离心率 准线 F1(−c，0)、F2(c，0) F1(0，−c)、F2(0，c) F1F2=2c(c>0) F1F2=2c(c>0) e=c(0 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。 焦半径公式：椭圆焦点在x轴上时，设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P(x0，y0)是椭圆上任一点，则PF1=a+ex0，PF2=a−ex0。 PF1 推导过程：由第二定义得， =e（d1为点P到左准线的距离） d1 a2则PF1=ed1=ex0+=ex0+a=a+ex0；同理得PF2=a−ex0。 c简记为：左“＋”右“－”。 由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。 x2y2y2x2 +=1；若焦点在y轴上，则为2+2=1。有时为了运算方便，设a2b2abmx2+ny2=1(m>0,m≠n)。 双曲线的定义、方程和性质 知识要点： 1． 定义 （1）第一定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。 说明： ①||PF1|-|PF2||=2a（2a<|F1F2|）是双曲线； 若2a=|F1F2|，轨迹是以F1、F2为端点的射线；2a>|F1F2|时无轨迹。 |MF1|-|MF2|=2a；②设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一支上，则|MF1|>|MF2|， 若M在双曲线的左支上，则|MF1|<|MF2|，|MF1|-|MF2|=-2a，故|MF1|-|MF2|=±2a，这是与椭圆不同的地方。 （2）第二定义：平面内动点到定点F的距离与到定直线L的距离之比是常数e（e>1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L叫相应的准线。 2． 双曲线的方程及几何性质 标准方程 x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) y2a2−x2b2=1(a>0,b>0) 图形 焦点 顶点 对称轴 离心率 F1（-c，0），F2（c，0） A1（a，0），A2（-a，0） 实轴2a，虚轴2b，实轴在x轴上，c2=a2+b2 F1（0，-c），F2（0，c） A1（0，a），A2（0，-a） 实轴2a，虚轴2b，实轴在y轴上，c2=a2+b2 e=c|MF2|= a|MD| 2e=c|MF2|= a|MD| 2准线方程 a2a2l1:x=,l:x=−c2cca2a2l1:y=,l:y=−c2cc准线间距离为2a 准线间距离为2a 渐近线方程 xyxy+=0,−=0 ababxyxy+=0,−=0 baba3． 几个概念 （1） （2） 等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为y=±x，离心率为2。 共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴 x2y2x2y2 双曲线，例：2−2=1的共轴双曲线是2−2=−1。 abab ① 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共 轴双曲线；②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。 抛物线标准方程与几何性质 一、抛物线定义的理解 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F为抛物线的焦点，定直线l为抛物线的准线。 注：① 定义可归结为“一动三定”：一个动点设为M；一定点F（即焦点）；一定直线l（即准线）；一定值1（即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离之比1） ② 定义中的隐含条件：焦点F不在准线l上。若F在l上，抛物线退化为过F且垂直于l的一条直线 ③ 圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹，当0 ④ 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。 二、抛物线标准方程 1．抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。 2．四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛物线标准方程的四种形式为：y=±2px(p>0)， 2 x2=±2py(p>0)，其中： ① 参数p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正值；p值越大， p张口越大；等于焦点到抛物线顶点的距离。 2②标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对 若x的一次项前符号为正，则开口向右，若x的称轴为x轴时，方程中的一次项变量就是x， 一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为y轴时，方程中的一次项变量就是y， 当y的一次项前符号为正，则开口向上，若y的一次项前符号为负，则开口向下。 三、求抛物线标准方程 求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程. ① 待定系数法：因抛物线标准方程有四种形式，若能确定抛物线的形式，需一个条件就能解出待定系数p，因此要做到“先定位，再定值”。 注：当求顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线时，若不知开口方向，可设为y=ax或 2x2=ay，这样可避免讨论。 ② 抛物线轨迹法：若由已知得抛物线是标准形式，可直接设其标准式；若不确定是否是标准式，由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法求之。 四、抛物线的简单几何性质 方程 性质 设抛物线y=2px(p>0) 2焦点 范围 对称性 顶点 原点 离心率 准线 通径 p关于xF,0 x≥0 轴对称 2e=1 x=−p 22p 注：① 焦点的非零坐标是一次项系数的 1； 4 ② 对于不同形式的抛物线，位置不同，其性质也有所不同，应弄清它们的异同点， 数形结合，掌握方程与有关特征量，有关性质间的对应关系，从整体上认识抛物线及其性质。 五、直线与抛物线有关问题 1．直线与抛物线的位置关系的判断：直线与抛物线方程联立方程组，消去x或y化得形如ax+bx+c=0（*）的式子： ① 当a=0时，（*）式方程只有一解，即直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线不是相切，而是与抛物线对称轴平行或重合； ② 当a≠0时，若△＞0⇔（*）式方程有两组不同的实数解⇔ 直线与抛物线相交； 若△=0 ⇔（*）式方程有两组相同的实数解⇔ 直线与抛物线相切； 若△＜0⇔（*）式方程无实数解⇔ 直线与抛物线相离. 2．直线与抛物线相交的弦长问题 ① 弦长公式：设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB=1+kAB⋅xA−xB 2 2 或AB=1+ 1 ⋅yA−yB. k2 2 ② 若直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时,借助于焦半径公式处理： 抛物线y=±2px(p>0)上一点M(x0,y0)的焦半径长是MF=±x0+p，抛物线2x2=±2py(p>0)上一点M(x0,y0)的焦半径长是MF=±y0+ 六、抛物线焦点弦的几个常用结论 p 2 设AB为过抛物线y=±2px(p>0)焦点的弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线AB的倾斜 2 角为θ，则 p2 ① x1x2=,y1y2=−p2； 42p ② AB==x1+x2+p； sin2θ③以AB为直径的圆与准线相切； ④弦两端点与顶点所成三角形的面积S∆AOB⑤ p2 ； = 2sinθ112+= ； FAFBp⑥ 焦点F对A、B在准线上射影的张角为900； 七、抛物线有关注意事项 1．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，采用“设而不求”或“点差法”等方法，能避免求交点坐标的复杂运算.同时在解决直线与抛物线相交问题时不能忽视∆>0这个条件。 2．解决与抛物线的焦半径、焦点弦有关问题时，多从抛物线的定义出发，实现抛物线上 任一点到焦点的距离和这点到准线的距离之间的相互转化，并应注意焦点弦的几何性质. 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容