第六章 万有引力与航天(复习学案)

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一、全章知识脉络 轨道定律 开普勒行星运动定律 面积定律 周期定律 发现 万有引力定律 万有引力定律 表述 G 的测定 天体质量的计算 应用 发现未知天体 人造卫星、 宇宙速度 二、本章要点综述 本章要点综述 1、开普勒行星运动定律 。 第一定律： 第二定律： 。 第三定律： 。即： 2、万有引力定律 （1）开普勒对行星运动规律的描述（开普勒定律）为万有引力定律的发现奠定了基础。 （2） 万有引力定律内容： ⑶公式： （4）万有引力定律适用于，但用公式计算时，注意有一定的适用条件。 3、万有引力定律在天文学上的应用。 （1）基本方法： ①把天体的运动看成 运动， 其所需向心力由万有引力提供： （写 出方程） ②在忽略天体自转影响时，天体表面的重力加速度： 。 （写出方程） （2）天体质量，密度的估算。 测出环绕天体作匀速圆周运动的半径 r，周期为 T，由 （写出方程） 得被环绕天体的质量为 （写出表达式） ，密度为 （写出表达 式） 为被环绕天体的半径。 ，R 当环绕天体在被环绕天体的表面运行时，r＝R，则密度为 （写出表达 式） 。 （3）环绕天体的绕行速度，角速度、周期与半径的关系。 ①由 G Mm v2 =m 得 r2 r -1-

∴r 越大，v ②由 G ∴r 越大， ω ③由 G Mm = mω 2 r 得 2 r Mm 4π 2 =m 2 r得 r2 T

∴r 越大，T （4）三种宇宙速度． 第一宇宙速度(即环绕速度)是的最大速度，是的最小速度，大小为 （注意单位 。第二宇宙速度(即脱离速度)的大小是 11.2km/s 第三宇宙速度(即逃 注意单位） 注意单位 逸速度)的大小是 16.7km/s。 (5)地球同步卫星的特点是：和与地球相同。 所有的同步卫星轨道和线速度都相同。同步卫星都位于平面上空。 三、本章专题剖析 1、测天体的质量及密度 （万有引力全部提供向心力） 测天体的质量及密度： 测天体的质量及密度

4π 2 r 3 Mm ? 2π ? = m? ? r 得 M = GT 2 r2 ?T ? 4 3 3πr 3 又 M = πR ? ρ 得ρ = 3 GT 2 R 3 2

由G

【例 1】继神秘的火星之后，今年土星也成了全世界关注的焦点！经过近 7 年 35.2 亿公里 在太空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测 器于美国东部时间 6 月 30 日（北京时间 7 月 1 日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫 星家族。这是人类首次针对土星及其 31 颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器进 入绕土星飞行的轨道，在半径为 R 的土星上空离土星表面高 h 的圆形轨道上绕土星飞行，环 绕 n 周飞行时间为 t 。试计算土星的质量和平均密度。 解析：

2、行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题： 、行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题： （重力近似等于万有引力） 表面重力加速度：Q G

Mm GM = mg 0 ∴ g 0 = 2 2 R R GMm GM 轨道重力加速度：Q = mg h ∴ g h = 2 (R + h ) (R + h )2

【例 2】一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为 g0，行星的质量 M 与卫星的质量 m 之比 M/m=81，行星的半径 R0 与卫星的半径 R 之比 R0/R＝3.6，行星与卫星 之间的距离 r 与行星的半径 R0 之比 r/R0＝60。设卫星表面的重力加速度为 g，

则在卫星表面有

-2- GMm r2 = mg „„

经过计算得出： 卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的 1/3600。 上述结果是否 正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果。 解析：

3、人造卫星、宇宙速度： 、人造卫星、宇宙速度： 宇宙速度： （弄清第一宇宙速度与卫星发射速度的区别） 【例 3】将卫星发射至近地圆轨道 1（如图所示） ，然后再次点 火，将卫星送入同步轨道 3。轨道 1、2 相切于 Q 点，2、3 相切于 P 点，则当卫星分别在 1、2、3 轨道上正常运行时，以下说法正确的 是： A．卫星在轨道 3 上的速率大于轨道 1 上的速率。 B．卫星在轨道 3 上的角速度大于在轨道 1 上的角速度。 C．卫星在轨道 1 上经过 Q 点时的加速度大于它在轨道 2 上经 过 Q 点时的加速度。 D． 卫星在轨道 2 上经过 P 点的加速度等于它在轨道 3 上经过 P 点时的加速度。 P 2 1 3

Q

4、双星问题： 、双星问题： 【例 4】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相 同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为 R，其运动周期为 T，求两星的总质量。 解析：

5、有关航天问题的分析： 、有关航天问题的分析： 【例 5】 无人飞船 “神州二号” 曾在离地高度为 H＝3. 4 ×105m 的圆轨道上运行了 47 小时。 求在这段时间内它绕行地球多少圈？（地球半径 R=6.37 ×106m，重力加速度 g＝9.8m/s2） 解析： 四、针对训练 -3-

1． 人造地球卫星由于受到大气的阻力，其轨道半径逐渐减小，其相应的线速度和周期的变化 情况是： ( ) A、线速度变大，周期变小 B、线速度不变，周期变小 C、线速度变大，周期不变 D、线速度变小，周期变大 2．航天飞机处于失重状态，是指这个物体： A、不受地球的吸引力 C、对支持他的物体压力为零 ( ) B、地球吸引力和向心力平衡了 D、受地球的吸引力减小了

3．可以发射这样一颗人造卫星，使其圆轨道： ( ) A、与地球表面上某一纬度线(非赤道)是共面同心圆 B、与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆 C、与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的 D、与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对于地球表面是运动的 4．根据天体演变的规律，太阳的体积不断增大，几十亿年后将变成红巨星，在此过程中，太 阳对地球的引力(太阳和地球的质量可认为不变)将 ( C ) A、变大 B、变小 C、不变 D、不能确定 5、一名宇航员来到某个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，直径也是地球直径的 一半， 那么这名宇航员在这星球上所受到的万有引力大小是他在地球上受到的万有引力大小的 ( ) A、1/4 倍 B、1/2 倍 C、2 倍 D、4 倍 6、在圆轨道上运动着质量为 m 的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球半径 R，地球表面 重力加速度为 g，则 ( ) A、卫星运动的速度为√2Rg B、卫星运动的周期为 2∏√2R/g C、卫星运动的加速度为 g/2 D、卫星的动能为 mgR/4 7、人造地球卫星的天线偶然折断，天线将 A、做自由落体运动，落向地球 C、沿轨道切线方向飞出，远离地球 ( ) B、做平抛运动，落向地球 D、继续和卫星一起沿轨道运转

8、假如地球自转的速度增大一倍，关于物体的重力，下列说法正确的是： ( ) A、放在

赤道上的物体万有引力不变 B、放在两极点上的物体重力不变 C、放在赤道上的物体重力不变 D、放在北京的物体重力减小 9、甲、乙两个物体之间的万有引力大小为 F，若乙物体的质量不变，甲物体的质量减少 1/2， 同时甲、乙两物体之间万有引力的大小变为： ( ) A、F B、F/2 C、F/4 D、2F 10、已知以下哪组数据能算出地球的质量： A、地球绕太阳运动的周期 T 及地球到太阳中心的距离 R B、月球绕地球运动的周期 T 及月球到地球中心的距离 R

-4- ( )

C、月球绕地球运行的周期 T 及月球绕地球运动的速率 v D、人造卫星绕地球运行的速率 v 和地球绕太阳公转的周期 T 11、同步卫星相对地面静止不动，犹如悬在高空中，下列说法中正确的是： ( ) A、同步卫星受力处于平衡状态 B、所有同步卫星的速率是唯一的 C、各国的同步卫星都在同一圆周上运动 D、同步卫星的加速度大小是唯一的 12．已知某天体的第一宇宙速度为 8 km/s，则高度为该天体半径的宇宙飞船的运行速度为 A．2 2 km/s B．4 km/s C．4 2 km/s D．8 km/s 13．2002 年 12 月 30 日凌晨，我国的“神舟”四号飞船在酒泉载人航天发射场发射升空，按 预定计划在太空飞行了 6 天零 18 个小时，环绕地球 108 圈后，在内蒙古中部地区准确着陆， 圆满完成了空间科学和技术试验任务，为最终实现载人飞行奠定了坚实基础.若地球的质量、 半径和引力常量 G 均已知，根据以上数据可估算出“神舟”四号飞船的 A.离地高度 B.环绕速度 C.发射速度 D.所受的向心力 14. 据观察，某行星外围有一模糊不清 环。为了判断该环是连续物还是卫星群，又测出了该 环中各层的线速度的大小 v 与该层至行星中心的距离 R。以下判断中正确的是（ ） A. 若 v 与 R 成正比，则环是连续物 B. 若 v 与 R 成反比，则环是连续物 D. 若 v2 与 R 成反比，则环是卫星群 C. 若 v2 与 R 成正比，则环是卫星群 15．已知引力常量 G、月球中心到地球中心的距离 R 和月球绕地球运行的周期 T．仅利用这三 个数据，可以估算出的物理量有（ ） A．月球的质量 B．地球的质量

C．地球的半径

D．月球绕地球运行速度的大小

16．两个靠近的天体称为双星，它们以两者连线上某点 O 为圆心做匀速圆周运动，其质量分别 为 m1、m2，如右图所示，以下说法正确的是 (ABC) A．它们的角速度相同 B．线速度与质量成反比 O m2 C．向心力与质量的乘积成正比 m1 D．轨道半径与质量成正比 17．气象卫星是用来拍摄云层照片、观测气象资料和测量气象数据的．我国先后自行成功研制 和发射了“风云”一号和“风云”二号两颗气象卫星． “风云”一号卫星轨道与赤道平面垂直 并且通过两极，每 12 h 巡视地球一周，称为“极地圆轨道”“风云二号”气象卫星轨道平面 ． 在赤道平面内称为“地球同步轨道” ，则“风云一号”卫星比“风云二号”卫星（ABC ） A．轨道半径小 B．线速度大 C．覆盖地面区域大 -5-

D．向心加速度小 18．宇航员站在某一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间 t，小球落到星 球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为 L。若抛出时的初速度增大到 2 倍，则抛出点与落 地点之间的距离为 3 L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为 R，万有引力常数 为 G。求该星球的质量 M。

19 火箭发射卫星的开始阶段是竖直升高，设向上的加速度 a=5m/s2,在卫星中用弹簧秤悬挂一 个质量 m=9kg 的物体，当卫星升到某高度处，弹簧秤的示数为 85N，那么此时卫星距地面的 高度是多少千米？(地球半径 R=6400km，g 取 10m/s2) 20 在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，在经过多次弹跳才

停下 来，假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为 h，速度方向是水平的，速 度大小为 V0，求他第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力，已知火星 的一个卫星的圆轨道半径为 r，周期为 T，火星可视为半径 r0 的均匀球体。 21 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星” ，他们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运 动，而不致因万有引力作用而吸引到一起。 1) 试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于它们的质量的反比。 2) 设两者的质量分别为 m1 和 m2，两者相距为 L，试写出它们的角速度的表达式。

22．一颗在赤道上空运行的人造卫星，其轨道半径为 r=2R（R 为地球半径） ，卫星的运转方向 -6-

与地球自转方向相同. 已知地球自转的角速度为ω0，地球表面处的重力加速度为 g. 求： （1）该卫星绕地球转动的角速度ω； （2）该卫星相邻两次经过赤道上同一建筑物正上方的时间间隔△t.

23．借助于物理学，人们可以了解到无法用仪器直接测量的物理量，使人类对自然界的认识更 完善。现已知太阳光经过时间 t0 到达地球，光在真空中的传播速度为 c，地球绕太阳的轨道 可以近似认为是圆，地球的半径为 R，地球赤道表面的重力加速度为 g，地球绕太阳运转的周 期为 T，试由以上数据以及你所知道的物理知识推算太阳的质量 M 与地球的质量 m 之 多大？ M 比为 m -7- 1