上海市宝山区2011届高三数学上学期期末质量监测试卷

高 三 数 学 试 卷

本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.若

1+7iabi（i是虚数单位，a,bR），则乘积ab的值是 2-i.

2.已知asin(x),1，bsin(x),1，则函数f(x)ab

2的最小正周期是 . 3.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为

4，半径为18 cm的扇形，则3圆锥母线与底面所成角的余弦值为________．

4.若关于x的方程|ax1|2a,(a0,a1)有两个不相等实数根，

则实数a的取值范围是 .

5.某校要求每位学生从7门选修课程中选修4门，其中甲乙两门课程不能都选，则不同的选

课

方案有___________种．（以数字作答） 6.已知yf(x) 的图像与ylnx1的图像关于直线yx对称，则2f(x) ．

12x7.二项式x的展开式前三项系数成等差数列，则展开式中项的系数2x为 ．

02418.已知线性方程组的增广矩阵为01a4，若该线性方程组无解，则a ．

3571nx(0,)，9.等比数列an中，公比qsinx，若lima1a2an3， a1cosx，

n则x ．

210．过抛物线yx的焦点，方向向量为d(2,的直线的一个点方向式方程3)是 ．

11．已知等差数列an的前n项和为Sn，a12009，

S2009S20072，则20092007S2011 ．

12.

设

S112，

S2122212，

S31222322212，，

Sn1222n22212，

，某学生猜测Snn(an2b)，老师回答正确，则ab ．

13.已知数列an中， a14，an4n1an1,(n1,nN)，则通项公式an . 14.定义在R上的函数f(x)的图像过点M（－6，2）和N（2，－6），且对任意正实数k，有f(x+k)<

f(x)成立，则当不等式| f(x-t)+2|<4的解集为(－4,4)时，实数t的值为 ． 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结

论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5 分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．

15．给出下列命题，其中正确的命题是 （ ）

2(A) 若zC，且z0，那么z一定是纯虚数 (B)若z1、z2C且z1z20，则

z1z2

(C) 若zR，则zz|z|不成立 (D) 若xC，则方程x2只有一个根

16．已知A,B,C是圆xy1上不同的三个点，OAOB0，若存在实数,使得

223OC=OAOB1，则,的关系为

（ ）

(A) 221 (B)

11 (C)1 (D) 1

|17．函数f(x)Asin(x（)其中A0,|g(x)cos2x的

图

像

，

则

只

2）的图象如图所示，为了得到要

将

f(x)的图像

（ ）

18题图

（A）向右平移

个单位长度 （B）向右平移个单位长度

126（C）向左平移个单位长度 （D）向左平移个单位长度

1261n1(B)求数列{}的前10项和(nN*)

2n1(C)求数列{}的前11项和(nN*)

n1(D)求数列{}的前11项和(nN*)

2n(A)求数列{}的前10项和(nN*)

18．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ）

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务

必写在黑色矩形边框内． 19．（本题满分12分）设三角形ABC的内角A，B，C的

对边分别为a，b，c，若ac3acb，求B的大小和cosAsinC的取值范围． 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

P已知正四棱锥P-ABCD的全面积为2，记正四棱锥的高为h．

（1）用h表示底面边长,并求正四棱锥体积V的最大值； （2）当V取最大值时，求异面直线AB和PD所成角的大小. （结果用反三角函数值表示） A

B21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知函数f(x)1222DC2（t是常实数）． x2t （1）若函数的定义为R，求yf(x)的值域；

x1 （2）若存在实数t使得yf(x)是奇函数，证明yf(x)的图像在g(x)21图像

的下方．

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分

7分．

x2y2给定椭圆C:221(a＞b＞0)，称圆心在原点O，半径为a2b2的圆是椭圆C的

ab“伴随圆”．若椭圆C的一个焦点为F1(2,0)，其短轴上的一个端点到F1的距离为3． （1）求椭圆C的方程及其“伴随圆”方程；

（2）若倾斜角为450的直线l与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆C的伴随圆相交于M、N两

点，求弦MN的长；

（3）点P是椭圆C的伴随圆上的一个动点，过点P作直线l1,l2，使得l1,l2与椭圆C都只有一

个公共点，求证：l1⊥l2.

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

题

满分8分．

已知数列an是首项a1133，公比q1335ogl的等比数列，设bn13ant，常数tN，

*数列{cn}满足cnanbn． （1）求证：{bn}是等差数列； （2）若cn是递减数列，求t的最小值；

（3）是否存在正整数k，使ck,ck1,ck2重新排列后成等比数列？若存在，求k，t的值；若不

存在，说明理由．

数学试卷参考答案

一．填空题

35212x1(xR) 7. 1. -3 2.  3. 4. 0, 5.25 6. f(x)e3828. 2

1x4 11. 2011 12. 1 13. 2n2n2 14. 2 9. 10. 623y

二．选择题 15.A 16. A 17. D 18.B

三．解答题

a2c2b2319.解：由ac3acb和余弦定理得cosB，„„„„„3分 2ac2222所以Bπ．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 6cosAsinCcosAsinAcosAsinA

613cosAcosAsinA3sinA．„„„„„„„„„„„„„„9分

223因为

A，所以0sinA1． 3331]．„„„„„„„„„„„„„„„„12分 所以，cosAsinC的取值范围为(0，

20.解：（1）设底面边长为a，斜高为H，由题意a22aH2，所以H2221a，„„„„2分 a21a又因为Hh，所以a„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

221h因而V1211， ah133hh1．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 6当且仅当h1时，体积最大，Vmax此时a312． ，H42（2）PDQ即为异面直线AB和PD所成的角．„„„„„„„„„„„„„„„„„„11分

tanPDQ2H3 a

所以异面直线AB和PD所成角的大小arctan3．„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分

OQx21．解：（1）因为2t0恒成立，所以t0，„„„„„„„„„„„„„„„„2分

当t0时，yf(x)的值域为(,1)； „„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

2y(1)22ttyxt0 0，因而当t0时，由y1x得，2y12t1y2,1) 。 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 t1（2）由yf(x)是奇函数得t1，所以f(x)1x„„„„„„„„„„„8分

212f(x)g(x)1x(22x1)，

212f(x)g(x)4[x2(2x1)]0„„„„„„„„„„„„„„„„„11分

2122(2x1)，即2x0，此式显然不成立．„„„„13分 当“=”成立时，必有x21即yf(x)的值域为(1所以对任意实数x都有f(x)g(x)

x1即yf(x)的图像在g(x)21图像的下方．„„„„„„„„„„„„„14分

22．解：（1）因为c2,a3，所以b1„„„„„„„„„„„„„„„„„2分

x2所以椭圆的方程为y21，

3伴随圆的方程为x2y24.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 yxb（2）设直线l的方程yxb，由x2得4x26bx3b230 2y13由(6b)216(3b23)0得b24„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分

圆心到直线l的距离为d|b|22 所以|MN|2r2d222„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分

（3）①当l1,l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，

因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x3或x3， 当l1方程为x3时，此时l1与伴随圆交于点(3,1),(3,1),

此时经过点(3,1)（或3,1)且与椭圆只有一个公共点的直线是y1(或y1)，即l2为y1(或y1)，显然直线l1,l2垂直；

同理可证l1方程为x3时，直线l1,l2垂直.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分

22②当l1,l2都有斜率时，设点P(x0,y0),其中x0y04，

设经过点P(x0,y0),与椭圆只有一个公共点的直线为yk(xx0)y0， ykx(y0kx0)由x2，消去y得到x23(kx(y0kx0))230， 2y13即(13k2)x26k(y0kx0)x3(y0kx0)230，„„„„„„„„„„„„„„„12分

26k(y0kx0)4(13k2)3(ykx)3000， 22)k22x0y0k1y00， 经过化简得到：(3x022222y04，所以有(3x0)k22x0y0k(x03)0，„„„„„„„„„„„„14分 因为x0设l1,l2的斜率分别为k1,k2，因为l1,l2与椭圆都只有一个公共点，

22)k22x0y0k(x03)0， 所以k1,k2满足方程(3x0因而k1k21，即l1,l2垂直.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„16分 123.解：（1）由题意知，an3，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分

3a因为bn1bn15log3n15，b115log3a1tt5an

n∴数列bn是首项为b1t5，公差d5的等差数列．„„„„„„„„„„„4分 1 （2）由（1）知，bn5nt，cn(5nt)3，

355n5t1t5ncn1cn5nt0恒成立，即恒成立，„„„„„7分 3333133nn因为f(n)5n5331是递减函数，

53所以，当n=1时取最大值，f(n)max5316.3，„„„„„„„„„„„„„9分

因而t6.3，因为tN，所以t7．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 11 （3）记5ktx，ck(5kt)3x3，

33 1ck1(5k5t)33k1kk1(x5)33k1，ck21(5k10t)33k1k21(x10)33k22k2．

①若ck是等比中项，则由ck1ck21ck得(x5)3321(x10)331x3化简得

32k52x215x500，解得x10或x（舍），„„„„„„„„„„„„„„11分

2n1所以5nt10，因而„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„13分

t5n2及．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分

t02k1②若ck1是等比中项，则由ckck2c11得x3(x10)333kk21x53322k2化简

得

x(x10)x5，显然不成立．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„16分 11③若ck2是等比中项，则由ckck1ck22得x3(x5)333kk121x103322k4化简

得2x25x1000，因为52421002533不是完全不方数，因而，x的值是无理数，显然不成立．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„18分

［例1］求经过两点P1（2，1）和P2（m，2）（m∈R)的直线l的斜率，并且求出l的倾斜角α及其取值范围.

选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.

解：(1)当m=2时，x1＝x2＝2，∴直线l垂直于x轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α=

 2(2)当m≠2时，直线l的斜率k=∴α=arctan

1∵m＞2时，k＞0. m21,α∈（0，）， m221，α∈(,π). m221，m）共线，求m的值. 2∵当m＜2时，k＜0 ∴α＝π＋arctan

说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用范围. ［例2］若三点A(－2，3），B（3，－2），C（

选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法. 解：∵A、B、C三点共线， ∴ｋAB＝ｋAC，

23m3. 13222解得m=

1. 2说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解.

［例3］已知两点A(－1,－5),B(3,－2),直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求直线l的斜率.

选题意图：强化斜率公式.

解：设直线l的倾斜角α，则由题得直线AB的倾斜角为2α.

∵tan2α=ｋAB=

2(5)3.

3(1)42tan3 21tan41或tanα＝－3. 3即3tan2α+8tanα－3=0， 解得tanα＝∵tan2α＝

3＞0,∴0°＜2α＜90°, 40°＜α＜45°， ∴tanα＝

1. 31 3因此，直线l的斜率是

说明：由2α的正切值确定α的范围及由α的范围求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.

命题否定的典型错误及制作

在教材的第一章安排了《常用逻辑用语》的内容．从课本内容安排上看，显得较容易，但是由于对逻辑联结词不能做到正确理解，在解决这部分内容涉及的问题时容易出错．下面仅对命题的否定中典型错误及常见制作方法加以叙述．

一、典型错误剖析

错误1——认为命题的否定就是否定原命题的结论

在命题的否定中，有许多是把原命题中的结论加以否定．如命题：2是无理数，其否定是：2不是无理数．但据此就认为命题的否定就是否定原命题的结论就错了．

例1 写出下列命题的否定： ⑴ 对于任意实数x，使x＝1； ⑵ 存在一个实数x，使x＝1． 错解：它们的否定分别为 ⑴ 对于任意实数x，使x≠1；

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222

⑵ 存在一个实数x，使x≠1．

剖析：对于⑴是全称命题，要否定它只要存在一个实数x，使x≠1即可；对于⑵是存在命题，要否定它必须是对所有实数x，使x≠1．

正解：⑴存在一个实数x，使x≠1； ⑵对于任意实数x，使x≠1．

错误2——认为命题的否定就是原命题中的判断词改和其意义相反的判断词

在命题的否定中，有许多是把原命题中的判断词改为相反意义的词，如“是”改为“不是”、“等”改为“不等”、“大于”改为“小于或等于”等．但对于联言命题及选言命题，还要把逻辑联结词“且”与“或”互换．

例2 写出下列命题的否定： ⑴ 线段AB与CD平行且相等； ⑵ 线段AB与CD平行或相等．

错解：⑴ 线段AB与CD不平行且不相等； ⑵ 线段AB与CD不平行或不相等．

剖析：对于⑴是联言命题，其结论的含义为：“平行且相等”，所以对原命题结论的否定除“不平行且不相等”外，还应有“平行且不相等”、“不平行且相等”；而⑵是选言命题，其结论包含“平行但不相等”、“不平行但相等”、“平行且相等”三种情况，故否定就为“不平行且不相等”．

正解：⑴ 线段AB与CD不平行或不相等； ⑵ 线段AB与CD不平行且不相等．

错误3——认为“都不是”是“都是”的否定 例3 写出下列命题的否定： ⑴ a，b都是零；

⑵ 高一(一)班全体同学都是共青团员．

2

2

2

2

2

错解：⑴ a，b都不是零；

⑵ 高一(一)班全体同学都不是共青团员．

剖析：要注意“都是”、“不都是”、“都不是”三者的关系，其中“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”；“至少有一个”的否定是“一个也没有”．

正解：⑴a，b不都是零，即“a，b中至少有一个不是零”．

⑵ 高一(一)班全体同学不都是共青团员，或写成：高一(一)班全体同学中至少有一人共青团员．

错误4——认为“命题否定”就是“否命题”

根据逻辑学知识，任一命题p都有它的否定(命题)非p(也叫负命题、反命题)；而否命题是就假言命题(若p则q)而言的．如果一个命题不是假言命题，就无所谓否命题，也就是说，我们就不研究它的否命题．我们应清醒地认识到：假言命题“若p则q”的否命题是“若非p则非q”，而“若p则q”的否定(命题)则是“p且非q”，而不是“若p则非q”．

例4 写出命题“满足条件C的点都在直线F上”的否定． 错解：不满足条件C的点不都在直线F上．

剖析：对于原命题可表示为“若A，则B”，其否命题是“若┐A，则┐B”，而其否定形式是“若A，则┐B”，即不需要否定命题的题设部分．

正解：满足条件C的点不都在直线F上．

二、几类命题否定的制作 1．简单的简单命题

命题的形如“A是B”，其否定为“A不是B”．只要把原命题中的判断词改为与其相反意义的判断词即可．

例5 写出下列命题的否定： ⑴ 3＋4＞6； ⑵ 2是偶数．

解：所给命题的否定分别是：

⑴ 3＋4≤6； ⑵ 2不是偶数．

2．含有全称量词和存在量词的简单命题

全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等，形如“所有A是

B”，其否定为“存在某个A不是B”；存在量词相当于 “存在一个”，“有一个”，“有些”，“至

少有一个”，“至多有一个”等，形如“某一个A是B”，其否定是“对于所有的A都不是B”．

全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题． 例6 写出下列命题的否定：

⑴ 不论m取什么实数，x＋x－m＝0必有实根． ⑵ 存在一个实数x，使得x＋x＋1≤0． ⑶ 至少有一个整数是自然数． ⑷ 至多有两个质数是奇数．

解：⑴ 原命题相当于“对所有的实数m，x＋x－m＝0必有实根”，其否定是“存在实数

2

22

m，使x＋x－m＝0没有实根”．

⑵ 原命题的否定是“对所有的实数x，x＋x＋1＞0”． ⑶ 原命题的否定是“没有一个整数是自然数”． ⑷ 原命题的否定是“至少有三个质数是奇数”．

3．复合命题“p且q”，“p或q”的否定

“p且q”是联言命题，其否定为“非p或非q”(也写成┐p或┐q“；“p或q”是选言命题，其否定为“非p且非q”(也写成┐p且┐q“；

例7 写出下列命题的否定：

⑴ 他是数学家或物理学家．⑵ 他是数学家又是物理学家． ⑶

2

2

1≥0．

x22x3解：⑴ 原命题的否定是“他既不是数学家也不是物理学家”．

⑵原命题的否定是“他不能同时是数学家和物理学家”，即“他不是数学家或他不是物

理学家”．

⑶若认为┐p：

11＜0，那就错了．┐p是对p的否定，包括＜0或

x22x3x22x31＝0．

x22x3或∵p：x＞1或x＜－3，∴┐p：－3≤x≤1．

第1章 第3节知能训练·提升

考点一：命题真假的判断

1．如果命题“非p或非q”是假命题，则下列结论中正确的为

( )

①命题“p且q”是真命题； ②命题“p且q”是假命题； ③命题“p或q”是真命题； ④命题“p或q”是假命题．

A．①③ B．②④ C．②③ D．①④

解析：由“非p或非q”是假命题知，非p和非q都是假命题．即p为真，q为真．所以p且q为真，p或q也为真．①③正确．

答案：A

111

2．设命题p：若a＞b，则＜；命题q：＜0⇔ab＜0.给出下列四个复合命题：

abab①p或q；②p且q；③綈p且q；④綈p或綈q.其中真命题的个数为

( )

A．0 B．1 C．2 D．3

解析：由题意知p为假命题，q为真命题，故p或q为真，p且q为假，綈p且q为真，綈p或綈q也为真，故真命题有3个．

答案：D

2

3．(2010·湖北质检)P：函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；Q：曲线y＝x＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．如果P与Q有且只有一个正确，求a的取值范围．

解：当0＜a＜1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a＞1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不单调递减．

1522

曲线y＝x＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同两点等价于(2a－3)－4＞0，即a＜或a＞.

22

情形(1)：P正确，但Q不正确，

151

因此a∈(0,1)∩[，]，即a∈[，1)．

222

情形(2)：P不正确，但Q正确，

15

因此a∈(1，＋∞)∩[(－∞，)∪(，＋∞)]，

22

5

即a∈(，＋∞)．

2

15

综上，a的取值范围是[，1)∪(，＋∞)．

22

考点二：反证法的应用

4．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是

( )

A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除 C．a不能被5整除

D．a，b有一个不能被5整除 答案：B

5．已知函数f(x)对其定义域内的任意两个实数a、b，当a＜b时，都有f(a)＜f(b)，求证：f(x)＝0至多有一实根．

证明：假设f(x)＝0至少有两个不同的实根x1，x2，不妨设x1＜x2，由方程的定义，f(x1)＝0，f(x2)＝0，则f(x1)＝f(x2)，①

但是由已知，当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)，②

①式与②式矛盾，因此假设不成立．故f(x)至多有一个实根．

考点三：充要条件的判断及证明

11

6．若不等式|x－m|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜，则实数m的取值范围是

32

( )

4114A．[－，] B．[－，]

3223

14

C．(－∞，－] D．[，＋∞)

23

解析：|x－m|＜1⇔m－1＜x＜m＋1.

1114

由题意m－1≤且m＋1≥，得－≤m≤.

3223

答案：B

2

7．(2010·山东名校联考)已知命题p：－1≤4x－3≤1，命题q：x－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是

( )

11

A．[0，] B．[，1]

22111

C．[，] D．(，1]

323

1

解析：由题知，命题p为M＝[，1]，命题q为N＝[a，a＋1]．∵綈p是綈q的必要不

2

1a＜，

充分条件，∴p是q的充分不必要条件，从而有MN，于是可得2

a＋1＞1.

而当a＝0或

a＝时，同样满足MN成立，故a的取值范围是[0，]．

答案：A

2

8．(探究题)(1)是否存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x－x－2＞0”的充分条件？如果

2

存在，求出p的取值范围．(2)是否存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x－x－2＞0”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围．

22

解：(1)因为x－x－2＞0的解为x＞2或x＜－1.所以当x＞2或x＜－1时，x－x－2＞0.由4x＋p＜0得x＜－.设A＝{x|x＞2或x＜－1}，B＝{x|x＜－}．由题意得B⊆A.所

44以－≤－1，所以p≥4.故存在实数p≥4，使“4x＋p＜0”是“x－x－2＞0”的充分条件．

4

2

(2)由(1)知，要使“4x＋p＜0”是“x－x－2＞0”的必要条件，则需满足A⊆B，但这

2

不可能，故不存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x－x－2＞0”的必要条件.

1.(2009·浙江)已知a、b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的

( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由a＞0且b＞0可得a＋b＞0，ab＞0，

由a＋b＞0有a、b至少一个为正，ab＞0可得a、b同号， 两者同时成立，则必有a＞0，b＞0，故选C. 答案：C

2．(2009·安徽)下列选项中，p是q的必要不充分条件的是

( )

A．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞d

xB．p：a＞1，b＞1，q：f(x)＝a－b(a＞0，且a≠1)的图像不过第二象限

2

C．p：x＝1，q：x＝x

D．p：a＞1，q：f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数 解析：∵p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＜d， ∴p1212

ppp2

q，q⇒p.

p，p是q的充分不必要条件．

对于选项B：p⇒q，q对于选项C：p⇒q，qp，p是q的充分不必要条件． 对于选项D：p⇔q，p是q的充要条件．故选A. 答案：A

3．(2009·江苏)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：

(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；

(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；

(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；

(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)． ．．．解析：(1)由面面平行的判定定理可得，该命题正确； (2)由线面平行的判定定理可得，该命题正确．

(3)如图(举反例)，a⊂α，α∩β＝l，a⊥l，使α与β不垂直．

(4)l⊥α，垂直的充要条件是l与α内的两条相交直线垂直． 答案：(1)(2)

2

1.对于函数：①f(x)＝|x＋2|，②f(x)＝(x－2)，③f(x)＝cos(x－2)，判断如下两个命题的真假；命题甲：f(x＋2)是偶函数；命题乙：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；能使命题甲、乙均为真命题的所有函数的序号是

( )

A．①② B．② C．①③ D．③

解析：对于函数①，∵f(x＋2)＝|x＋4|，∴命题甲是假命题；

2

对于函数②，∵f(x＋2)＝x，

∴命题甲是真命题，且命题乙是真命题； 对于函数③，∵f(x＋2)＝cosx，

∴命题甲是真命题，但命题乙是假命题． 答案：B

3322

2．已知集合A＝{y|y＝x－x＋1，x∈[，2]}，B＝{x|x＋m≥1}；命题p：x∈A，命

24

题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．

32

解：化简集合A，由y＝x－x＋1，

2

327

配方得y＝(x－)＋. 416

37

∵x∈[，2]，∴ymin＝，ymax＝2.

41677

∴y∈[，2]．∴A＝{y|≤y≤2}．

1616

22

化简集合B，由x＋m≥1，∴x≥1－m， B＝{x|x≥1－m2}．

∵命题p是命题q的充分条件，∴A⊆B.

7332

∴1－m≤，解之，得m≥或m≤－.

1644

33

∴实数m的取值范围是(－∞，－]或[，＋∞)．

44