数列

【例1】在数列an中，a12,2an12an3（nN*），则an﹦ ． 【分析】由2an12an3得an1an【答案】n337，∴an是等差数列，∴ann． 222327． 21*2a,0a,nNnn23【例2】数列an满足a1，an1，则a2009 ．

512a1,an1,nN*n231243，∴a22a11，a32a2，a42a3，a52a41， 5555513a62a51，……．∴该数列周期为4．∴a2009a1．

553【答案】．

51【例3】在等差数列an中，若a2a4a6a8a1080，则a7a8﹦ ．

2【分析】∵a1【分析】∵数列an是等差数列，∴由a2a4a6a8a1080得5a680，a616． ∴a7a8a6d【答案】8．

【例4】已知an的前n项之和Snn24n1,则a1a2…a10﹦ ．

1211a62da68． 222 , (n1)【分析】可求得an． *2n5,(n2,nN)则a1a2…a10﹦21131567． 【答案】67．

Sn2【例5】设Sn是数列an的前n项和，若不等式an2a12对任何等差数列an及任何正整数nn2恒成立，则的最大值是 ．

aaanSn2【分析】当a10时，R；当a10时，由an2a12得n1．

na12a1222a5t1511111t1t设nt，则t2．又t2﹦t2t，∴． a1424455552222

1

222综上的最大值是【答案】

1. 51． 5【例6】设Sn为数列an的前n项和，Snkn2n,nN*，其中k是常数．

（1）求a1及an；

（2）若对于任意的mN*，am,a2m,a4m成等比数列，求k的值． 解：（1）当n1，a1S1k1，

2当n2时，anSnSn1kn2nkn1n12knk1

又当n1时a1k1合上式，∴an2knk1（nN*）． （2）∵am,a2m,a4m成等比数列，∴a2m2ama4m， 即4kmk12kmk18kmk1， 整理得：mkk10对任意的mN*都成立， ∴k0或k1． 【例7】数列an中a12113，an2（n2,nN*），数列{bn}满足bn（nN*）．

an1an15（1）求证：数列{bn}是等差数列；

（2）求数列{an}中的最大项与最小项，并说明理由． 解：（1）bna11n1， an1211an11an1（n2,nN*），∴bnbn1而bn11an11an111（n2,nN*）．

an11an11∴数列{bn}是等差数列． （2）依题意有an1151，而bn(n1)1n3.5，∴an1． bn2n3.51在（3.5，）上为减函数，在（，3.5）上也为减函数． x3.51故当n＝4时，an1取最大值3，n＝3时，取最小值-1．

n3.5S4n2【例8】在等差数列an中，a11，前n项和Sn满足条件2n(nN*)．

Snn1函数y

2

（1）求数列an的通项公式；

（2）记bnanpan(p0)，求数列bn的前n项和Tn． 解：（1）设等差数列an的公差为d，由

S2n4n2aa23． 得1Snn1a1又a11，∴a22．∴da2a11．∴ann． （2）由bnanpan，得bnnpn．

∴Tnp2p23p3(n1)pn1npn．① 当p1时，Tnnn12；

当p0且p1时，pTnp22p33p4(n1)pnnpn1．② ①－②得(1P)Tnpppp∴Tn23n1pnpnn1p(1pn)npn1，

1pp(1pn)1p2npn1． 1pnn1,p12综上Tn． nn1p(1p)np,p0,且p121p1p【例9】某个体户，一月初向银行贷款1万元作为开店启动资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需要交纳所得税为该月利润的10%，每月的生活费开支为540元，余额作为资金全部投入下个月的经营，如此不断继续，问到这年年底该个体户还贷款前尚余多少资金？若银行贷款的年利息为5%，问该个体户还清银行贷款后还有多少资金？（参考数据：

1.18105.23,1.18116.18,1.18127.29．结果精确到0.1元）

解：设第n个月月底的余额为an元，则a111260，

an1an(120%)an20%10%5401.18an540，于是

a121.18a115401.181.18a105405401.182a101.181540

1.1811154054046.8． ＝1.18a11.181.181.181540＝1.18112601.1811110911还清银行贷款后剩余资金为a121000015%54046.81050043546.8．

答：到这年年底该个体户还贷款前尚余资金54046.8元；还清银行贷款后还有资金43546.8元．

3

【例10】已知分别以d1和d2为公差的等差数列an和bn满足a118，b1436． （1）若d1=18，且存在正整数m，使得am2bm1445，求证：d2108；

（2）若akbk0，且数列a1，a2，…，ak，bk1，bk2，…，b14的前n项和Sn满足S142Sk，求数列an和bn的通项公式；

（3）在（2）的条件下，令cnaan，dnabn，a0，且a1，问不等式cndn1≤cndn 是否对一切正整数n恒成立？请说明理由．

解：（1）依题意，[18(m1)18]236(m1414)d245， 即(18m)2md29， 即

d2182m99121829108，等号成立的条件为182m，即m． mm6mN*，等号不成立，原命题成立．

180360k(14k1)， 22018360即9k18(15k)，得k10，d12，d29．

91410（2）由S142Sk得SkS14Sk，即则an2n20，bn9n90．

（3）在（2）的条件下，cnaan，dnabn． 要使cndn1≤cndn，即要满足(cn1)(dn1)≤0．

当a1时，cna202n，数列{cn}单调减；dna9n90单调增． 当正整数n9时，cn10，dn10，(cn1)(dn1)0； 当正整数n11时，cn10，dn10，(cn1)(dn1)0； 当正整数n10时，cn10，dn10，(cn1)(dn1)0． 则不等式cndn1≤cndn对一切的正整数n恒成立．

同理，当0a1时，也有不等式cndn1≤cndn对一切的正整数n恒成立． 综上所述，不等式cndn1≤cndn对一切的正整数n恒成立．

4

【练习1】在数列an中，a11,an12an（nN*），则其前8项的和S8= ． 【答案】255．

【练习2】已知数列an满足a1100，当n2,nN*时，an前100项和S100＝ ． 【答案】1849．

【练习3】在各项均为正数的等比数列an中，a2a4a3a6a4a5a5a736，则a3a6 ． 【答案】6．

【练习4】已知数列an的前n项和Snn28n（nN*），第k项满足4ak7，则k﹦ ． 【答案】7．

2【练习5】已知数列an中，ann，且满足n（是与n无关的实数常数）

an13,an13，则数列an的

4an1,an13a1a2a3anan1，则实数的取值范围是___________．

【答案】3,．

【练习6】数列an的前n项和记为Sn,a11,an12Sn1nN*． （1）求an的通项公式；

（2）等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且T315，又a1b1,a2b2,a3b3成等比数列，求Tn．

解：（1）由an12Sn1可得an2Sn11n2,nN*， 两式相减得an1an2an,an13ann2．

又a22S113，∴a23a1．∴an是首项为1，公比为3的等比数列．∴an3n1． （2）设bn的公差为d，由T315得，可得b1b2b315，∴b25． 故可设b15d,b35d．又a11,a23,a39，

由题意可得5d15d953，解得d12,d210． ∵等差数列bn的各项为正，∴d2 ．

5

2∴Tn3nnn122n22n．

【练习7】已知an是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn,S42S24,bn1an． an （1）求公差d的值；

（2）若a512，求数列bn中的最大项和最小项的值； （3）若对任意的nN*，都有bnb8成立，求a1的取值范围．

解：（1）∵S3442S24，∴4a12d2(2a1d)4，解得d1． （2）∵a5712，∴数列an的通项公式为ana1(n1)n2．

∴b11n1a1nn7． 2∵函数f(x)11在x7,72和72,上分别是单调减函数， 2∴b3b2b11，又当n4时，1bnb4． ∴数列bn中的最大项是b43，最小项是b31． （3）由bn11a得b1n11． nna1又函数f(x)11xa在,1a1和1a1,上分别是单调减函数，

11且x1a1时，y1；x1a1时，y1．

∵对任意的nN*，都有bnb8，∴71a18，∴7a16． ∴a1的取值范围是(7,6)．

【练习8】等差数列{an}的各项均为正数，a13，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b2S264,b3S3960．（1）求an与bn；（2）证明：

1S113． 1S2Sn4解：（1）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d0，an3(n1)d，bnqn1． 6

b11，且

6dS3b3(93d)q960d25(舍去) ．

依题意有．解得,或q8S2b2(6d)q64q4032∴an32(n1)2n1,bn8n1． （2）∵Sn35(2n1)n(n2)， ∴

1111111 S1S2Sn132435n(n2)31113111111111111(1) (1)．

42n1n24232435nn222n1n2【练习9】某企业进行技术改造需向银行贷款，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？（取

1.05101.629,1.31013.786,1.51057.665）

解：①甲方案获利：

1.31011(130%)(130%)(130%)42.63（万元），银行贷款本息：

0.329，故甲方案纯利：42.6316.2926.34（万元）． 10(15%)1016.29（万元）②乙方案获利：

1(10.5)(120.5)(190.5)10132.50（万元），银行本息和：

1090.5 21.05[1(15%)(15%)2(15%)9]

1.051011.0513.21（万元），故乙方案纯利：32.5013.2119.29（万元）．

0.05综上可知，甲方案更好．

*【练习10】设向量a(x,2),b(xn,2x1)(nN)，函数yab在[0,1]上的最小值与最大值的

和为an，又数列{bn}满足：nb1(n1)b2bn(（1）求证：ann1；

9n199)()n21 101010 7

（2）求数列{bn}的通项公式；

（3）设cnanbn，试问数列{cn}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有cnck成立？证明你的结论．

解：（1）∵yx(xn)4x2x2(4n)x2在[0,1]上为增函数， ∴an214n2n1﹒

9n1999)()n2110[1()n]， 101010109∴(n1)b1(n2)b2bn110[1()n1]n2﹒

109两式相减得b1b2bn()n1n2，

109∴b1b2bn1()n2n3．

1019两式相减得bn()n2n3．

1010（2）∵nb1(n1)b2bn(1,n11又b11，b2，∴bn19n2 ． *10(),n2,nN1010ck2, n1c1,k1k3得k9或8﹒ （3）由cnn19n2及当时*c(),n2,nNk1,1010ck1又n1,2也满足，∴存在k8,9使得cnck对所有的nN*成立．

8