得分
一、单项选择题(3分X5二15分)
1、1、下列各式正确的是(
)
______
CO 0C
(A) limAn = u c 4;
(B) lim = c u
“Ts /r=l k=n
A; ___
co s
8 0C
(C) limA = n u A 2、设• (D) lim A = n n P为Cantor集，则下列各式不成立的是A.; ( (A) P= c (B) mP = 0
(C) P = P (D) P = P
3、下列说法不正确的是( )
(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测 (C)开集和闭集都是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测 4、设｛/„«｝是E上的必.有限的可测函数列，则下而不成立的是(
(A)若 /Jx)=>/(x),则 /n(x)^/(x)
(B) sup{/；(%)}是可测函数n
(C) inf{/„(x)}是可测函数；(D)若//X)=>/(%),则/⑴可测
5、设f(x)是山,切上有界变差函数，则下而不成立的是(
)
(A) /(%)在［ayh］上有界 (B) /(x)在［a,b］上儿乎处处存在导数
rb
(C)八兀)在［。上］上 L 可积(D) I f\\x)dx = f(b)-f(a)
J a
二填空题(3分X5二15分)
)
1、(CAuCsB)n(A-(A-B))= ______________
_ 2、 设E是［0,1］±有理点全体，则£= _____ ,£= ______ 、E= _____ . 3、 设E是川中点集，如果对任一点集T都有
_________________________________ ，则称E是厶可测的
o 4、 /⑴可测的 ________ 条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.
(填“充分”，“必耍”，“充耍”)
5、 设/(x)为［d,b］上的有限函数，如果对T' ［a,b］的一切分划，使
______________________________________________________ ,则称/(x)为
［a,列上的有界变差函数。
三、下列命题是否成立?若成立，则证明之;若不成立，则举 反例说明.(5分X4=20分)
得分 1、设EuR',若E是稠密集，则CE是无处稠密集。
2、 若mE = 0 ,则E —定是可数集.
3、 若l/(x)l是可测函数，则/(兀)必是可测函数。
4. 设/(Q在可测集E上可积分，若VxeE,/(x)>0,则£/(%)>()
可积，若可积，求出积分值。
（8分）设/（x）2、（8分）求 lim
四、解答题（8分X2=16分）.
心为无理数
，则
.f⑴在［0,1］上是否可积，是否厶-
1,兀为有理数
In（兀+ “） €\"v
cos xdx
=
得分
五、证明题
（6分X4+10二34分）.
1、（6分）证明［0,1］±的全体无理数作成的集其势为c.
2、（6分）设/⑴是（-o,4-o）上的实值连续函数，则对于任意常数
a.E = {x\\ f（x）＞a］是闭集。
3、（6分）在[a,h]±的任一有界变差函数门兀）都可以表示为两个增函数Z差。
4、(6 分)设 mE < oo,/(%)在 E上可积,en = E(\\ fl>n) 9 贝0 \\mn -men = 0.
5、（10分）设/（兀）是E ± a.e.有限的函数，若对任意5〉0 ,存在闭子集u E ,
使/（兀）在你上连续，且加（E-代）C,证明:/•⑴是E上的可测函数。（鲁津 定理的逆定理）
试卷-答案:
试卷一 （参考答案及评分标准）
一、 1. C 2 D 3. B 4. A 5. D 二、 1. 0
2、 ［0丹 0 ； ［0,1］ 3、m T = m （T n E） + m 4、充要5、］£|/*（兀）-/*（兀1）|\\成一有界数集。
三、 1・错误 ........................................ 2分
例如:设E是［0,1］±有理点全体，则E和CE都在［0,1］中稠密
..................................... 5分 2•错误 ........................................... 2分
例如：设E是Cantor集，则mE = 0,但E = c ,故其为不可数集
.................................... 5分
3 •错误 ........................................... 2分
{
X x E*
-x.xe［a.b\\- E;
则l/（x）l是［⑦对上的可测函数，但/（%）不是［a.b］上的可测函 数 ................................................. 5分 4•错误 ............................................. 2分
加£ = 0时，对E上任意的实函数/（劝都有j/（xXx = 0...5分
E
T n CE）
（四、1・/（兀）在［0,1］±不是/?-可积的，因为/（兀）仅在无=1处连续，即不连续点为
正测度集
因为
3分
“0是有界可测函数，/⑴在［0,1］上是L-可积的…6分
2
2因为 f （兀）与 x a.e.^等，进一步，［f（x）dx= j xdx = - ...8 分
2. 解：设⑴=皿入+ \"）厂COS兀,则易知当77 TOO时，/；O）T0 n 2分
<0, （r>3）,所以当川\\3,兀no
ln(x + A?) /? + x ln(x + n) , n + x ln3 , ln3 八 、
4分
= < < —(l + x) n n x + n n 3 3
In 3
从而使得I九⑴l< V （1+兀）厂 6分
但是不等式右边的函数，在
［0,+s）上是厶可积的，故有
8分
liy J f„(x)dx=』Vmf(x)dx = Q
n
五、1・设 E = [0,l], X = En2,B = E\\(En2).
•••B是无限集,.•.可数子集M uB 2分
T A是可数集，:.AuM M .......................................................... 3分 vB = M u(B\\M),E = AuB = AuMu(B\\M), 「
Jl(eM)c(B\\M) = 0,Mc(B\\M) = 0,
八
........ 5分
/. E B,. . B = c ................................................................... 6 分 2. VxG E\\则存在中的互异点列傲“}, limxzf =x .................. 2分
/I-KO
•• •兀” G£,.\\/(XJ>6/.................................................................................. 3 分
•・• /(兀)在点连续，.・.f(x) = lim f(xn)> a
\"Too
..xeE ........................................................................................ 5 分
••• E是闭集 3.
对g = 1, 3^）0,使对任意互不相交的有限个（40） u（6/,/?）
当 z仇 -q)c时，有 EI/R -/(^)| < I /=! /=l
/=! 1=1数
£ |/忆）-/］（ J）|vl ，所 以/（A）在［心,兀］上是有 界变差 将［a,bm等分，使£|兀-心1 >f'j FT :旳_| =込0 v 石 <- i 5分 Xi b 所以y（/）＜i,从而y（/）＜m ,因此，/（X）是［°,切上的有界变差 g a 数 .............................................. 6分 4、 f(x)在 E 上可积=> lim mE(\\ f l> n) = mE(\\ f \\= +oo) = 02 分 \"Toe 据枳分的绝对连续性，J f(x)\\dx<^ 对上述 8 > O,3/C,V/2 > k,mE(\\ f \\>n)<6 ,从而 n -men < j I /(x) \\dx 续 ................................................. 2分 8 8 QC 令 F二urp〃 ， n=k 贝I」 Vx G F => Bk.xe r\\ Fn^n > k.xe Fn => f (x) 在 F ，，=k 续 ............................................. 4分 CC OC 乂对任意 kym(E-F} 8 1 试卷二： 《实变函数》试卷二 专业 ________ 班级 ______ 姓名 _______ 学号口 □□□□□□ 题号 —・ 二 二 四 五 总分 得分 注意事项 1、 本试卷共6页。 2、 考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏冃，字迹要清楚、工整。 一•单项选择题 (3分X5=15分) ) 0 ) 得分 1. 设是两集合，则M( (A) M (B) N (C) McN (D) 2. 下列说法不正确的是( (A)人的任一领域内都有E屮无穷多个点，则人是E的聚点 (B) 人的任一领域内至少有一个E中异丁人的点，则&是E的聚点 (C) 存在E中点列｛化｝,使代―人，则几是E的聚点 (D) 内点必是聚点 3. 下列断言()是正确的。 (A)任意个开集的交是开集；(B)任意个闭集的交是闭集； (0任意个闭集的并是闭集；(D)以上都不对； 4. 下列断言屮()是错误的。 (A)零测集是可测集； (B)可数个零测集的并是零测集； (C)任意个零测集的并是零测集；(D)零测集的任意子集是可测集; 5.若/⑴是可测函数，则下列断言( )是正确的 (A) 门兀)在［a9b］ L-可积 ol/(x)l 在［a,b］L-可积; (B) /⑴在［a,b］R-可积/(x)I在［%］/? —可积 (C) /(%)在-可积<=>1 /(X)I在［a.b］R-可积; (D) /(兀)在(a,+s)R —广义可积=>/*(兀)在(a, +oo)L-可积 二.填空题 (3分X5二15分) 得分 1、设 A,严［丄,2— 丄］‘ =1,2,…，贝iJlimA,, = __ n n “Toe 2、设 P 为 Cantor 集，贝ij P = ____ 3、设｛S,｝是一列可测集，则屯 \\ / 1=1 mP = , P = 4、鲁津定理： ______________________________________________________ 5、设F&)为［a,h］±的有限函数，如果 _______________________________ 得分 三・下列命题是否成立?若成立，则证明之;若不 — 成立，则说明原因或举出反例.（5分X4二20分） 1、由J [OJ]-（（）,!）= {0,1},故不存在使（0,1）和[0,1]Z间1-1对应的映射。 2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。 3、必收敛的函数列必依测度收敛。 4、连续函数一定是有界变差函数。 四•解答题 （8分X2=16分） 得分 1 ML 宀、h，兀为无理数 k 则/⑴在 ［0,1］上是否尺-可积，是否厶-可积, 12 L为有理数 若可积，求出积分值。 2、求极限 lim [ 一 sin3 nxdx. i Jo ] +%1. 证明题（6分X 3+ 8x2 =34分） 心・ 1. （6分）1、设彳仗）是（Y0,+8）上的实值连续函数，则对任意常数C, E = {^1 /(x) >c}是一开集. 2. (6 分)设£>(),日开集Gz>E,使〃*(G-E)VE, 则 E是可测集。 3. （6分）在［a,切上的任一有界变差函数/⑴都可以表示为两个增函数Z差。 4. (8分)设函数列fn(x) (“1,2,…)在有界集E上“基本上”一致收敛于于⑴, 证明：fn(x)a.e.收敛T /(x) o 5. (8分)设/(兀)在E = [a,h]±可积，则对任何£〉()，必存在£上的连续函 数(p(x),使 \\ f(x)-(p(x)\\dx 一、 1, C 2, C 3,B 二、 1,(0,2)2, c ； 0 ； 0 4,C 5, A 3, < 4,设/(兀)是E上a.€・有限的可测函数，则对任意/ > 0 ,存在闭子集比uE,桃｝ /(%) 在®上是连续函数，且m(E\\E (®,bj,i = l,2,・・・,n,只耍乞仇-勺)<5,就有 flFQ)-F(q)l<£ i=l i=l 三、1.错误 .......................................... 2分 0(0)=斤 记(0,1)中有理数全体 /? = {/］,/;,•••} < ©⑴，2 . _ \" 0(7；J = S2，X = 1,2 … (p(x) = X, X为［0曲无理数, 显然0是⑴副(,0)1 ±的映射1 o ................................................................................. 5分 2.正确 ............................................... 2分 8 S 00 设E为零测度集，05 所以，亦(u&)=° 1=1 /=1 1=1 因此，J耳是零测度集。 ................................ 5分 1=1 3 •错误 .............................................. 2分 例如：取 E = (0,4-0)),作函数列：A,(A-) = J1，AG(0，n］ 0,x 2 1,2,… G (n,+oo) 显然 /”(X)T1，当 XWE。但当 0 VCTV1 时，E［l 九-11> <7］ = («,+00) 且m(n,+oo) = +oo这说明/Q)不测度收敛到1 .......................... 5分 4•错误 .............................................. 2分 例如：/«= AC(3S27,0 如果对［0,1］取分划r：o< —<丄一<•••<-<丄v 1,贝ij容易证明 2/1 2/7 — I 3 £|/(^.)-几冇)1= £1,从而得到 V(f) = g ................................... 5 分 /=! /=1 1 ° 四、1. /(x)在［0,1］上不是7?-可积的，因为/⑴仅在x = l处连续, 即不连续点为正测度集 ............................... 3分 因为/(x)是有界可测函数，所以/(x)在［0,1］上是厶-可积 2 的 ................................................... 6分 因为/(兀)与x a.匕相等，进一步，f f(x)dx = xdx = - ..... 8分 l + 心- ....................................................................................... 2 分 乂丨九(兀)1< ，1 1+\\ 0 ...................................................................... 4心- 分 但是不等式右边的函数，在［0,+x)上是厶可积的 .......... 6分 故有 lim ［ fn(x)dx= ［ lim/；O)dx = 0 .................................... 8 分 五、1・ VXG E. f(x) >c .............................................................. 1 分 •・• f(x)在续,.•.对 £ = f (x) -oO.BU(x, J),当 y eU(x, J)时, 有\\f(y)-fM\\<£ ..................................................................... 3 分 .・.-f(x) + c< f(y) - /(x) 因此U(x,5)uE,从而E为开集 ............................ 6分 2・对任何正整数〃，由条件存在开集G&E，使 m\\Gn-E)<- ........ 1 分 n S 令G二 则G是可测集 .......................... 3分 n=l 乂因m\\G-E) 由E = G — (G — E)知，E可测。 X a 6分 3、易知g(x) = y(/)是[。,列上的增函数 ...................2分 令 h(x) = g(x)~/(x)，则对于 a 所以/2(x)是[a,b].上的增函 ...................................................... 4分 数 因此/(x) = g(x)-h(x),具中g(x)与/?(x)均为上的有限增函 数 ..................................................... 6分 4、因为.九⑴在E上“基本上”一致收敛TfM，所以对丁•任意的keZ\\存在可 测集EkuE , fn (x)在瓦上一致收敛T /(%)， 且 m{E \\ < — ..................................... 3 分 k 4 S 令E = (JE,，则£(兀)在矿上处处收敛到/*(兀) .. 5分 fc=l 00 m(E\\E^ = m(E\\\\jEk) ...................................................................... 8分 5、 证明：设= E[\\ f l> nl由于/⑴在E上必.有限 mefi —> 0,(〃 —» oo) 2分 由积分的绝对连续性，对任何 V£> 0,37V N • meN < f \\ f(x)\\dx < — 如 4 令BN =E\\J,在BN上利用鲁津定理，存在闭集Fv u匕和在丘上的连续函数炉⑴使 (1 ) MBH 士; 2 ) xeFN 时，f\\x ) =(p(x) AN sup I(p(x) 1= sup I /(x) l< N .. .ve/?1 XWFN 所以 f I f(x)-(p(x) \\dx< j I /(x)-^(x) I dx+ J 丨 /(x)-^(x) I dx 'BN < j I f\\x) I dx+ J Q(x) I dx + |\"N \"“N 、卜 N g £ SEE 5 — + N • meN + 2N ---- < — H -- — = £ 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容V〃N,存在闭集化uE,加（E-代）＜亍,/（兀）在 Fn