数 学
（考试时间100分钟，满分120分）
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）
在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的． 1．实数3的相反数是（ ） A．3
B．﹣3
C．±3
D．
2．从海南省可再生能源协会2020年会上获悉，截至4月底，今年我省风电、光伏及生物质能的新能源发电量约772000000千瓦时．数据772000000可用科学记数法表示为（ ） A．772×106 C．7.72×108
B．77.2×107 D．7.72×109
3．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，则它的俯视图是（ ）
A． B．
4．不等式x﹣2＜1的解集为（ ） A．x＜3
B．x＜﹣1
C．C．x＞3
D．D．x＞2
5．在学校开展的环保主题实践活动中，某小组的5位同学捡拾废弃塑料袋的个数分别为：5，3，6，8，6．这组数据的众数、中位数分别为（ ） A．8，8 B．6，8 C．8，6 D．6，6
6．如图，已知AB∥CD，直线AC和BD相交于点E，若∠ABE＝70°，∠ACD＝40°，则∠AEB等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB边上，连接BB'，则BB'的长度是（ ）
A．1cm B．2cm C．8．分式方程
＝1的解是（ ）
cm D．2
cm
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝5 D．x＝2 9．下列各点中，在反比例函数y＝
图象上的是（ ）
A．（﹣1，8） B．（﹣2，4） C．（1，7） D．（2，4）
10．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝36°，则∠ABD等于（ ） A．54° B．56° C．64° D．66°
1
11．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（ ） A．16 C．24
B．17 D．25
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝A．25 C．35
B．30 D．40
AD，则图中阴影部分的面积为（ ）
二、填空题（本大题满分16分，每小题4分，其中第16小题每空2分） 13．因式分解：x2﹣2x＝ ． 14．正六边形的一个外角等于 度．
15．如图，在△ABC中，BC＝9，AC＝4，分别以点A、B为圆心，大于
AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，
交BC边于点D，连接AD，则△ACD的周长为 ．
16．海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．如图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第5个图中有 个菱形，第n个图中有 个菱形（用含n的代数式表示）．
三、解答题（本大题满分68分） 17．（满分12分，每小题6分）计算： （1）|﹣8|×21﹣
﹣
+（﹣1）2020；
（2）（a+2）（a﹣2）﹣a（a+1）．
18．（满分10分）某村经济合作社决定把22吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工3吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工5吨，前后共用6天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？
19．（满分8分）新冠疫情防控期间，全国中小学开展“停课不停学”活动．某市为了解初中生每日线上学习时长t（单位：小时）的情况，在全市范围内随机抽取了n名初中生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据图中信息，解答下列问题：
（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是 （填写“全面调查”或“抽样调查”），n＝ ；
（2）从该样本中随机抽取一名初中生每日线上学习时长，其恰好在“3≤t＜4”范围的概率是 ；
2
（3）若该市有15000名初中生，请你估计该市每日线上学习时长在“4≤t＜5”范围的初中生有 名．
20．（满分10分）为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车．某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图，隧道AB在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道450米的高度上水平飞行，到达点P处测得点A的俯角为30°，继续飞行1500米到达点Q处，测得点B的俯角为45°． （1）填空：∠A＝ 度，∠B＝ 度； （2）求隧道AB的长度（结果精确到1米）． （参考数据：
≈1.414，
≈1.732）
21．（满分13分）四边形ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，连结DE，点F是射线BC上一动点（不与点B重合），连结AF，交DE于点G．
（1）如图1，当点F是BC边的中点时，求证：△ABF≌△DAE； （2）如图2，当点F与点C重合时，求AG的长；
（3）在点F运动的过程中，当线段BF为何值时，AG＝AE？请说明理由．
22．（满分15分）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．
①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长； ②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．
3
答案与解析
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）
在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的． 1．实数3的相反数是（ ） A．3
B．﹣3
C．±3
D．
【知识考点】相反数；实数的性质．
【思路分析】直接利用相反数的定义分析得出答案． 【解答过程】解：实数3的相反数是：﹣3． 故选：B．
【总结归纳】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．从海南省可再生能源协会2020年会上获悉，截至4月底，今年我省风电、光伏及生物质能的新能源发电量约772000000千瓦时．数据772000000可用科学记数法表示为（ ） A．772×106
B．77.2×107
C．7.72×108
D．7.72×109
【知识考点】科学记数法—表示较大的数．
【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于772000000有9位，所以可以确定n＝9﹣1＝8． 【解答过程】解：772000000＝7.72×108． 故选：C．
【总结归纳】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
4
3．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【知识考点】简单组合体的三视图．
【思路分析】从上面看该几何体所得到的图形即为该几何体的俯视图． 【解答过程】解：从上面看该几何体，选项B的图形符合题意， 故选：B．
【总结归纳】本题考查简单几何体的三视图，俯视图就是从上面看所得到的图形，俯视图也可以理解为从上面对该几何体正投影所得到的图形． 4．不等式x﹣2＜1的解集为（ ） A．x＜3
B．x＜﹣1
C．x＞3
D．x＞2
【知识考点】解一元一次不等式．
【思路分析】直接利用一元一次不等式的解法得出答案． 【解答过程】解：∵x﹣2＜1 ∴解得：x＜3． 故选：A．
【总结归纳】此题主要考查了一元一次不等式的解法，正确掌握解题步骤是解题关键． 5．在学校开展的环保主题实践活动中，某小组的5位同学捡拾废弃塑料袋的个数分别为：5，3，6，8，6．这组数据的众数、中位数分别为（ ） A．8，8
B．6，8
C．8，6
D．6，6
【知识考点】中位数；众数．
【思路分析】把数从小到大排成一列，正中间如果是一个数，这个数就是中位数，正中间如果是两个数，那中位数是这两个数的平均数；一组数据中出现次数最多的数值，叫众数．根据这两个定义解答即可．
【解答过程】解：这组数据中出现次数最多的是数据6， 所以这组数据的众数为6， 将数据重新排列为3，5，6，6，8， 则这组数据的中位数为6， 故选：D．
【总结归纳】本题考查了中位数、众数，解题的关键是掌握中位数、众数的概念，并会求一组数值的中位数、众数．
5
6．如图，已知AB∥CD，直线AC和BD相交于点E，若∠ABE＝70°，∠ACD＝40°，则∠AEB等于（ ）
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
【知识考点】平行线的性质．
【思路分析】利用平行线的性质，得到∠BAE与∠C的关系，再利用三角形的内角和，求出∠AEB． 【解答过程】解：∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠C＝40°．
∵∠AEB+∠EAB+∠EBA＝180°， ∴∠AEB＝70°． 故选：C．
【总结归纳】本题考查了平行线的性质\\三角形的内角和定理．题目难度较小，利用平行线的性质把要求的角和已知角放在同一个三角形中，是解决本题的关键．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB边上，连接BB'，则BB'的长度是（ ）
A．1cm
B．2cm
C．
cm
D．2
cm
【知识考点】含30度角的直角三角形；旋转的性质．
【思路分析】由直角三角形的性质得到AB＝2AC＝2，然后根据旋转的性质和等腰三角形的判定得到AB′＝BB′．
【解答过程】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm， ∴AC＝
AB，则AB＝2AC＝2cm．
AB，B′C′⊥AB，
又由旋转的性质知，AC′＝AC＝∴B′C′是△ABB′的中垂线， ∴AB′＝BB′．
根据旋转的性质知AB＝AB′＝BB′＝2cm． 故选：B．
6
【总结归纳】本题主要考查了旋转的性质和含30度角的直角三角形，此题实际上是利用直角三角形的性质和旋转的性质将所求线段BB'与已知线段AC的长度联系起来求解的． 8．分式方程A．x＝﹣1
＝1的解是（ ）
B．x＝1
C．x＝5
D．x＝2
【知识考点】解分式方程．
【思路分析】根据解分式方程的步骤进行计算即可． 【解答过程】解：去分母，得 x﹣2＝3，
移项合并同类项，得 x＝5．
检验：把x＝5代入x﹣2≠0， 所以原分式方程的解为：x＝5． 故选：C．
【总结归纳】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是掌握解分式方程的步骤． 9．下列各点中，在反比例函数y＝A．（﹣1，8）
图象上的是（ ）
C．（1，7）
D．（2，4）
B．（﹣2，4）
【知识考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【思路分析】由于反比例函数y＝即为正确答案．
【解答过程】解：A、∵﹣1×8＝﹣8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误； B、∵﹣2×4＝﹣8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误； C、∵1×7＝7≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误； D、2×4＝8，∴该点在函数图象上，故本选项正确． 故选：D．
【总结归纳】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将横、纵坐标分别相乘其积为k者，即为反比例函数图象上的点．
10．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝36°，则∠ABD等于（ ）
中，k＝xy，即将各选项横、纵坐标分别相乘，其积为8者
A．54°
B．56°
C．64°
D．66°
【知识考点】圆周角定理．
【思路分析】根据AB是⊙O的直径，可得∠ADB＝90°，根据同弧所对圆周角相等可得∠DAB
7
＝∠BCD＝36°，进而可得∠ABD的度数． 【解答过程】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝∠BCD＝36°，
∴∠ABD＝∠ADB﹣∠DAB＝90°﹣36°＝54°． 故选：A．
【总结归纳】本题考查了圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理．
11．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（ ）
A．16
B．17
C．24
D．25
【知识考点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质． 【思路分析】先计算出△ABE的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可．
【解答过程】解：∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E， ∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF， ∴∠BAF＝∠F， ∴∠DAF＝∠F， ∴DF＝AD＝15， 同理BE＝AB＝10，
∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，可得：AG＝6， ∴AE＝2AG＝12，
∴△ABE的周长等于10+10+12＝32， ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2， ∴△CEF的周长为16． 故选：A．
【总结归纳】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，相似三角形的周长比等于相似比，难度较大．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝
AD，则图中阴影部分的面积为（ ）
8
A．25
B．30
C．35
D．40
【知识考点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质．
【思路分析】过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M，通过证明△EFG∽△CBG，可得GN：GM＝EF：BC＝1：2，可求GN，GM的长，由面积的和差关系可求解． 【解答过程】解：过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M，
∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵EF＝∴EF＝
AD， BC，
∵AD∥BC，NG⊥AD， ∴△EFG∽△CBG，GM⊥BC， ∴GN：GM＝EF：BC＝1：2， 又∵MN＝BC＝6， ∴GN＝2，GM＝4， ∴S△BCG＝∴S△EFG＝
×10×4＝20，
×5×2＝5，S矩形ABCD＝6×10＝60，
∴S阴影＝60﹣20﹣5＝35． 故选：C．
【总结归纳】本题主要考查了相似三角形的性质，求出阴影部分的面积可以转化为几个规则图形的面积的和或差的关系．
二、填空题（本大题满分16分，每小题4分，其中第16小题每空2分） 13．因式分解：x2﹣2x＝ ． 【知识考点】因式分解﹣提公因式法． 【思路分析】原式提取x即可得到结果． 【解答过程】解：原式＝x（x﹣2），
9
故答案为：x（x﹣2）
【总结归纳】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 14．正六边形的一个外角等于 度． 【知识考点】多边形内角与外角．
【思路分析】根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的外角和等于360度解答即可． 【解答过程】解：∵正六边形的外角和是360°， ∴正六边形的一个外角的度数为：360°÷6＝60°， 故答案为：60．
【总结归纳】本题考查的是多边形的外角和的知识，掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，BC＝9，AC＝4，分别以点A、B为圆心，大于
AB的长为半径画弧，
两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，则△ACD的周长为 ．
【知识考点】线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．
【思路分析】根据作图过程可得，MN是AB的垂直平分线，所以得AD＝BD，进而可得△ACD的周长．
【解答过程】解：根据作图过程可知：MN是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD，
∴△ACD的周长＝AD+DC+AC＝BD+DC+AC＝BC+AC＝9+4＝13． 故答案为：13．
【总结归纳】本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
16．海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．如图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第5个图中有 个菱形，第n个图中有 个菱形（用含n的代数式表示）．
【知识考点】列代数式；规律型：图形的变化类．
【思路分析】根据已知图形得出图形中菱形的个数为序数的平方与序数减一的平方的和，据此求解可得．
10
【解答过程】解：∵第1个图中菱形的个数1＝12+02， 第2个图中菱形的个数5＝22+12， 第3个图中菱形的个数13＝32+22， 第4个图中菱形的个数25＝42+32， ∴第5个图中菱形的个数为52+42＝41，
第n个图中菱形的个数为n2+（n﹣1）2＝n2+n2﹣2n+1＝2n2﹣2n+1， 故答案为：41，2n2﹣2n+1．
【总结归纳】本题主要考查图形的变化类，解题的关键是根据已知图形得出第n个图中菱形的个数为n2+（n﹣1）2的规律． 三、解答题（本大题满分68分） 17．（满分12分，每小题6分）计算： （1）|﹣8|×21﹣
﹣
+（﹣1）2020；
（2）（a+2）（a﹣2）﹣a（a+1）．
【知识考点】实数的运算；单项式乘多项式；平方差公式；负整数指数幂． 【思路分析】（1）根据绝对值、负指数次幂、平方根的意义进行计算即可； （2）根据平方差公式、单项式乘以多项式的计算方法计算即可． 【解答过程】解：（1）|﹣8|×21﹣＝8×
﹣4+1，
﹣
+（﹣1）2020，
＝4﹣4+1， ＝1；
（2）（a+2）（a﹣2）﹣a（a+1）， ＝a2﹣4﹣a2﹣a， ＝﹣4﹣a．
【总结归纳】本题考查实数的混合运算、平方差公式、单项式乘以多项式的计算方法，掌握运算方法和平方差公式的结构特征是正确计算的前提．
18．（满分10分）某村经济合作社决定把22吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工3吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工5吨，前后共用6天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？ 【知识考点】二元一次方程组的应用．
【思路分析】设改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了y天，根据6天共加工竹笋22吨，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答过程】解：设改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了y天， 依题意，得：解得：
．
，
答：该合作社改进加工方法前用了4天，改进加工方法后用了2天．
11
【总结归纳】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
19．（满分8分）新冠疫情防控期间，全国中小学开展“停课不停学”活动．某市为了解初中生每日线上学习时长t（单位：小时）的情况，在全市范围内随机抽取了n名初中生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是 （填写“全面调查”或“抽样调查”），n＝ ；
（2）从该样本中随机抽取一名初中生每日线上学习时长，其恰好在“3≤t＜4”范围的概率是 ；
（3）若该市有15000名初中生，请你估计该市每日线上学习时长在“4≤t＜5”范围的初中生有 名．
【知识考点】全面调查与抽样调查；用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图；概率公式．
【思路分析】（1）根据全面调查与抽样调查的概念可得，利用1≤t＜2的频数及其对应的百分比求出被调查的总人数n的值；
（2）先求出3≤t＜4的人数，再用所求人数除以样本容量即可得；
（3）用总人数乘以样本中在“4≤t＜5”范围的初中生人数占被调查人数的比例即可得． 【解答过程】解：（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查，n＝100÷20%＝500， 故答案为：抽样调查，500；
（2）∵每日线上学习时长在“3≤t＜4”范围的人数为500﹣（50+100+160+40）＝150（人）， ∴从该样本中随机抽取一名初中生每日线上学习时长，其恰好在“3≤t＜4”范围的概率是0.3；
故答案为：0.3；
（3）估计该市每日线上学习时长在“4≤t＜5”范围的初中生有15000×故答案为：1200．
【总结归纳】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握掌握抽样调查与全面调查的概念、利用样本估计总体思想的运用及概率公式的计算．
20．（满分10分）为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车．某
12
＝
＝1200（人），
校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图，隧道AB在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道450米的高度上水平飞行，到达点P处测得点A的俯角为30°，继续飞行1500米到达点Q处，测得点B的俯角为45°． （1）填空：∠A＝ 度，∠B＝ 度； （2）求隧道AB的长度（结果精确到1米）． （参考数据：
≈1.414，
≈1.732）
【知识考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【思路分析】（1）根据点P处测得点A的俯角为30°，点Q处测得点B的俯角为45°．可得∠A＝30度，∠B＝45度；
（2）如图，过点P作PM⊥AB于点M，过点Q作QN⊥AB于点N，可得PM＝QN＝450，MN＝PQ＝1500，根据锐角三角函数即可求出隧道AB的长度．
【解答过程】解：（1）∵点P处测得点A的俯角为30°，点Q处测得点B的俯角为45°． ∴∠A＝30度，∠B＝45度； 故答案为：30，45；
（2）如图，过点P作PM⊥AB于点M，过点Q作QN⊥AB于点N， 则PM＝QN＝450，MN＝PQ＝1500，
在Rt△APM中，∵tanA＝∴AM＝
＝
＝450
， ，
在Rt△QNB中，∵tanB＝∴NB＝
＝
，
＝450，
+1500+450≈2729（米）．
∴AB＝AM+MN+NB＝450
答：隧道AB的长度约为2729米．
【总结归纳】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
21．（满分13分）四边形ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，连结DE，点F是射线BC上一动点（不与点B重合），连结AF，交DE于点G．
（1）如图1，当点F是BC边的中点时，求证：△ABF≌△DAE；
13
（2）如图2，当点F与点C重合时，求AG的长；
（3）在点F运动的过程中，当线段BF为何值时，AG＝AE？请说明理由．
【知识考点】四边形综合题．
【思路分析】（1）由正方形性质知∠B＝∠DAE＝90°，AB＝AD＝BC，结合点E，F分别是AB、BC的中点可得AE＝BF，利用“SAS”即可证明全等； （2）先求出AC＝2解之即可得出答案； （3）当BF＝
时，AG＝AE．设AF交CD于点M，先证∠3＝∠4得DM＝MG，再根据AM2
，CM＝
，证△ABF∽△MCF得
＝
，据此求解可得．
，根据AB∥CD证△AGE∽△CGD，得
＝
，即
＝
，
﹣DM2＝AD2，可求得DM＝
【解答过程】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠DAE＝90°，AB＝AD＝BC， ∵点E，F分别是AB、BC的中点， ∴AE＝
AB，BF＝
BC，
∴AE＝BF，
∴△ABF≌△DAE（SAS）；
（2）在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝CD＝2， ∴AC＝∵AB∥CD， ∴△AGE∽△CGD， ∴
＝
，即；
时，AG＝AE，理由如下：
＝
，
＝
＝2
，
∴AG＝（3）当BF＝
如图所示，设AF交CD于点M，
14
若使AG＝AE＝1，则有∠1＝∠2， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠4， 又∵∠2＝∠3， ∴∠3＝∠4， ∴DM＝MG，
在Rt△ADM中，AM2﹣DM2＝AD2，即（DM+1）2﹣DM2＝22， 解得DM＝
，
＝
，
∴CM＝CD﹣DM＝2﹣∵AB∥CD， ∴△ABF∽△MCF， ∴
＝
，即
＝，
∴BF＝，
时，AG＝AE．
故当BF＝
【总结归纳】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．
22．（满分15分）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．
①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长； ②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．
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【知识考点】二次函数综合题．
【思路分析】（1）将点A，点C坐标代入解析式，可求b，c的值，即可求解； （2）设点P（a，a2+a﹣6），由PD＝2PE，可得|a2+a﹣6|＝﹣2a，可求a的值； （3）由勾股定理可求AC，BC的长，通过证明△ACH∽△BCO，可得
，可求AH，
HC的长，由两点距离公式可求点H坐标，再求出直线HC的解析式，即可求点P坐标． 【解答过程】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0）， ∴解得：
， ，
∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣6； （2）①设点P（a，a2+a﹣6）， ∵点P位于y轴的左侧， ∴a＜0，PE＝﹣a， ∵PD＝2PE， ∴|a2+a﹣6|＝﹣2a，
∴a2+a﹣6＝﹣2a或a2+a﹣6＝2a， 解得：a1＝∴PE＝2或
，a2＝；
（舍去）或a3＝﹣2，a4＝3（舍去）
②存在点P，使得∠ACP＝∠OCB， 理由如下，
∵抛物线y＝x2+x﹣6与x轴交于点C， ∴点C（0，﹣6）， ∴OC＝6，
∵点B（2，0），点A（﹣3，0）， ∴OB＝2，OA＝3，
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∴BC＝AC＝
＝＝
＝2＝3
，
，
如图，过点A作AH⊥CP于H，
∵∠AHC＝∠BOC＝90°，∠ACP＝∠BCO， ∴△ACH∽△BCO， ∴∴∴AH＝
＝
，
， ，HC＝
，
设点H（m，n）， ∴（
）2＝（m+3）2+n2，（
）2＝m2+（n+6）2，
∴或，
∴点H（﹣当H（﹣
，﹣，﹣
）或（﹣）时，
，），
∵点C（0，﹣6），
∴直线HC的解析式为：y＝﹣x﹣6， ∴x2+x﹣6＝﹣x﹣6，
解得：x1＝﹣2，x2＝0（舍去）， ∴点P的坐标是（﹣2，﹣4）； 当H（﹣
，
）时，
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∵点C（0，﹣6），
∴直线HC的解析式为：y＝﹣7x﹣6， ∴x2+x﹣6＝﹣7x﹣6，
解得：x1＝﹣8，x2＝0（舍去）， ∴点P的坐标是（﹣8，50）；
综上所述：点P坐标为（﹣2，﹣4）或（﹣8，50）．
【总结归纳】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，两点距离公式，相似三角形的判定和性质等知识，综合性比较强，求出点H坐标是本题的关键．
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