(完整word版)概率论与数理统计考试题及答案(word文档良心出品)

1、“事件A,B,C中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 .

2、设P(A)0.7,P(AB)0.3,则P(AB)________________.

3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . a4、设随机变量X的分布律为P(Xk),(k1,2,8,8),则a_________.

5、设随机变量X在(2,8)内服从均匀分布,则P(2X4) . 6、设随机变量X的分布律为

X

pk21185150151 115则YX2的分布律是 .

7、设随机变量X服从参数为的泊松分布,且已知E[(X1)(X2)]1, 则

 . 8、设X1,X2,分布是

. 9、设总体X~b10,p,X1,X2,为 .

ˆ10、设X1,X2,X3是来自总体X的样本,11X1X2X3是E(X)的无偏23,Xn是来自总体X的样本,则参数p的矩估计量

,X9是来自正态总体N(2,9)的样本,X是样本均植,则X服从的

估计,则

 .

二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12

件是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率;

(2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率.

三、(本题12分)设随机变量X的概率密度为

0x3kx,xf(x)2,3x4 (1)确定常数k; (2)求X的分布函数F(x);

20,其它(3)求P1X72.

四、(本题12分)设二维随机向量(X,Y)的联合分布律为

Y\\X012 10.10.2 0.12a0.10.2试求: (1) a的值; (2)X与Y的边缘分布律; (3)X与Y是否独立?为什么?

五、(本题12分) 设随机变量X的概率密度为

x,0fxx1,2x,1x2, 求EX,DX.

0,其他.

六、(本题12分)设离散型随机变量X的分布律为

xeP(Xx),x0,1,2, , 0

x!其中为未知参数,x1,x2,,xn为一组样本观察值,求的极大似然估计值.

七、(本题10分)某种零件的尺寸方差为21.21,对一批这类零件检查6件得尺寸数据(毫米):

32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03

设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米(0.05)? (附:

t0.02552.5706,t0.02562.4469,t0.02572.3646,z0.051.65,z0.0251.96,62.45

一、填空题(每小题3分,共30分) 1、ABC或A0.3636 4、1

15、

3BC

2、0.6

1C52C643、或或311C11X26、

01513541 5pkX 107、1 8、N(2,1) 9、

110、

6二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12

件是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率;

(2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率.

解 设A1,A2分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产,B表示取出的零件为次品,则由已知有

606505121101 P(A...............2分 ),P(A),P(B|A)P,B(A|)12121101111011605505 (1)由全概率公式得

61511 P(B)P(1A)P(B1......................................7分 |A)P(A)P(B|A)221151155 (2)由贝叶斯公式得

51P(A2)P(BA2)1155 P(A2B) ......................................................................12分

1P(B)115三、(本题12分)设随机变量X的概率密度为

0x3kx,xf(x)2,3x4

2其它0,7(1)确定常数k; (2)求X的分布函数F(x); (3)求P1X.

2解 (1)由概率密度的性质知

34x91 f(x)dxkxdx2dxk1

032241故k. .................................................................................................................................3分

6 (2)当x0时,F(x)xf(t)dt0;

11tdtx2;

0612x31xt1 当3x4时, F(x)f(t)dttdt2dtx22x3;

06324x314t 当x4时, F(x)f(t)dttdt2dt1;

0632故X的分布函数为

,x001x2,0x312 F(x) ..............................................................................9分

1x22x3,3x441,x47151417 (3) P1XFF(1) .............................................................12分

21612482四、(本题12分)设二维随机向量(X,Y)的联合分布律为

Y\\X012 10.10.2 0.1 当0x3时, F(x)xf(t)dtx2a0.10.2试求:

(1) a的值; (2)X和Y的边缘分布律; (3)X与Y是否独立?为什么? 解 (1)由分布律的性质知 01. 0.0.20.a10.1故a0.3 ..................................................................................................................................4分 (2)(X,Y)分别关于X和Y的边缘分布律为

X012 ........................................................................................................6分

p0.40.30.3Y12 .................................................................................................................8分

p0.40.6 (3)由于PX0,Y10.1,PX0PY10.40.40.16,故 PX0,Y1PX0 PY1所以X与Y不相互独立. .........................................................................................................12分 五、(本题12分) 设随机变量X的概率密度为

x,0x1,fx2x,1x2,

0,其他.求EX,DX. 解 E(X)3132xx(2x)dxxx1.............................6分

313012xf(x)dxx2dx0121E(X)2xf(x)dxxdxx2(2x)dx0121327 ..........................................................9分 61D(X)E(X2)[E(X)]2. ...........................................................................................12分

6六、(本题12分)设离散型随机变量X的分布律为

xeP(Xx),x0,1,2,,0

x!其中为未知参数,x1,x2,,xn为一组样本观察值,求的极大似然估计值.

解 似然函数

Li1nexixi!ennxii1n1 ............................................................................4分 i1xi!nn对数似然函数

lnLnlnxilni1i11 ........................................................................6分 xi!idlnLi1n .....................................................................................................8分 d1ndlnLˆ解似然方程0得xix. ................................................................................10分 ni1dˆx. ........................................................................................12分 所以的极大似然估计值为xn七、(本题10分)某种零件的尺寸方差为21.21,对一批这类零件检查6件得尺

寸数据(毫米):

32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03

设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米(0.05)?

(附:t0.02552.5706,t0.02562.4469,t0.02572.3646,z0.051.65,z0.0251.96) 解 总体X~N,2,总体方差已知,检验总体期望值是否等于32.50.

(1) 提出待检假设H0:032.50;H1:032.50. ...........................................1分

X0,在H0成立的条件下Z~N(0,1) ......................................2分

/n(3) 对于给定的检验水平0.05,查表确定临界值

z/2z0.0251.96

(2) 选取统计量Z于是拒绝域为W(,1.96)(1.96,). ...........................................................................5分 (4) 根据样本观察值计算统计量Z的观察值:

1x32.5629.6631.6430.0021.8731.0329.445,1.1

6x029.44532.50z02.456.804 ........................................................8分

1.1/n(5)判断: 由于z0W,故拒绝H0,即不能认为这批零件的平均尺寸是32.50毫米...............................................................................................................................................10分