小船过河问题分析与题解

【问题概说】

（1）船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。 （2）三种速度:船相对水的速度为v船（即船在静水中的速度），水的流速为v水（即水对地的速度），船的合速度为v（即船对地的速度，船的实际速度，其方向就是船的航向）。 （3）三种情景：

①过河时间最短:当船头垂直河岸，渡河时间最短，且渡河时间与水的流速无关。

②过河路径最短：在v船>v水的条件下，当船的合速度垂直于河岸时，渡河位移（航程或路径）最小并等于河宽。

在v船③最小渡河速度：水速和航向一定，船速垂直航向有最小船速。 【典型题例】

两河岸平行，河宽d=100m，水流速度v1=3m/s，求：（1）船在静水中的速度是4m/s时，欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河最短时间是多少船的位移是多大

（2）船在静水中的速度是6m/s时，欲使船航行距离最短，船应怎样渡河渡河时间多长 （3）船在静水中的速度为1.5m/s时，欲使船渡河距离最短，船应怎样渡河船的最小航程是多少

[思路分析]（1）当船头垂直于河岸时，渡河时间最短：

v tmin=d/v2=100/4=25s v2 d 合速度v=v1v22232425m/s

v1 船的位移大小s=v tmin=125m

（2）欲使船航行距离最短，需船头向上游转过一定角度使合速度方向垂直于河岸，设船的开行速度v2与岸成θ角，则cosθ=

v131， v262v2 θ v v1 所以θ=60，合速度v=v2sin60=33m/s

00

t=

d1003s v9（3）船在静水中速度小于水流的速度，船头垂直于合速度v时，渡河位移最小， 设船头与河岸夹角为β，如图所示： cosβ=

v21.51 所以β=600 v132v2 β v v1 最小位移smin=

d100200m 0coscos60[答案](1) 船头垂直于河岸时，渡河时间最短：tmin=25s ，s =125m；

(2) 船头向上游转过一定角度, 与岸成600角航程最短，t=

1003s； 9(3) 船头垂直于合速度,船头与河岸夹角600时航程最短，smin=200m。

船渡河中极值问题，是运动合成与分解中典型问题，也是难点所在，准确理解并熟练掌握上述几条规律是解决此类问题的突破口。请试着完成以下几例类似题。 【练习反馈】

1、某河水流速度为5m/s，一小船对静水的速度大小是4m/s，要渡过此河，船头垂直河岸行驶，已知河宽为120m，试分析计算： ①小船能否渡河直达正对岸 ②船需多少时间才能到达对岸

③此船登上对岸的地点离出发点的距离是多少

④若船行至正中间时，河水流速增大到8m/s，则船渡河需要多少时间登岸地点如何变化 ⑤此船过河的最短位移是多大

2、北风速度4m/s，大河中的水流正以3m/s的速度向东流动，船上的乘客看见轮船烟囱冒出的烟柱是竖直的，求轮船相对于水的航行速度多大什么方向

3、有一船正在渡河，如图所示，在离对岸30m时，其下游40m处有一危险水域，若水流速度5m/s，为了使船在危险水域之前靠岸，那么，小船从现在起相对于静水的最小速度应是多大 40m 4、玻璃生产线上，宽9 m的成型玻璃板以2 m/s的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚钻的走刀速度为10 m/s，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚钻割刀的30m 轨道应如何控制?切割一次的时间多长?

危险区 【参考答案】

1、①不能；②30s；③192m；④30s，在正对岸下游195m处，登岸地点顺流下移；⑤150m。 解析：④由运动的独立性可知，水流速度增大对于过河时间没有影响，只是沿河方向位移增大。

⑤如图，以v水的矢尖为圆心、v船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大。根据cosθ＝v船/v水，船头与河岸的夹角应为θ＝arccos v船/v水，船漂下最短距离：xmin＝(v水－v船cosθ)t=L/cosθ。 此时渡河的最短位移：

Lv水Ls ＝ v船 =120×5/4=150m s＝ co2、本题研究对象有北风、水流、乘客、烟；“烟柱是

竖直的“说明人感觉不到风，那么轮船应该与风同速航行。轮船的实际航向正南，大小为4m/s，由于河水流动，轮船应该有一个分速度：大小与v水相等，方向与v水相反，这样轮船才会朝正南方向行驶，如图所示: tanθ=

v水v风3则θ=370， 4v水 θ 即船头应该与上游河岸成530角航行。 且v船=v水v风2242325m/s

v船 v风 答案：5m/s，船头方向与上游河岸成530角航行。

3、设船到达危险水域前，恰好到达对岸，则其合速度方向如图所示，设合速度方向与河岸的夹角为α，则tanα=

303，α=370。船的合速度方向与合位移方向相同，根据平行四边404形定则知：当船对于静水的速度v1垂直于合速度方向时，v1最小，v1的最小值为v1min=v2sinα=3m/s，这时v1方向与河v1 v 000

岸的夹角β=90-37=53，即从现在开始，船头指向与上游

v2 α β 成530角，以相对于静水3m/s的速度航行，在到达雷区前

恰好靠岸。 答案：3m/s

4、解1：根据题意，金刚钻相对玻璃板的速度v垂应垂直于玻璃板的运动速度v板，金刚钻的运动可分为随玻璃板的运动v板和垂直于玻璃板的运动v垂，如图所示，由图可知：

cosθ=v垂=

=0.2，则θ=arccos0.2，

?m/s=?

?m/s，

t=?s≈0.92 s。

答案：金刚钻割刀轨道应与玻璃板前进方向成arccos0.2角，切割一次时间为0.92 s。

解2：割刀实际的运动（相对于地面的运动）是随玻璃板行进方向的分运动（速度的大小为v1=2 m/s）和垂直玻璃板行进方向的分运动（割刀相对玻璃板的运动与玻璃板行进方向垂直，设速度为v2）的合运动，割刀实际速度（相对于地面的速度）为v=10 m/s，如图所示。设v

与v1的夹角为α，则cosα=

=0.2，所以α=78.5°．割刀的轨道控制

的方向（轨道相对地面的方向）就是沿速度v的方向。切割一次所

用的时间为t=s=0.92 s。

答案：割刀轨道与玻璃行进方向的夹角为78.5°，切割一次用时0.92 s。 【方法提炼】

在进行速度分解时，首先要分清合速度与分速度，合速度就是物体实际运动的速度，由物体的实际运动确定，分速度由合速度的效果利用平行四边形定则确定。如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m沿斜面升高。问：当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度为多少

寻找分运动效果。重物M的速度v的方向是合运动的速度方向，这个v产生两个效果：一是使绳的这一端绕滑轮做顺时针方向的圆周运动；二是使绳系着重物的一端沿绳拉力的方向以速率v′运动，如图所示，由图可知，v′＝v·cosθ，即为小车的速度。

绳拉物体或物体拉绳问题的主要思路：（1）物体的实

际运动为合运动；（2）沿绳的运动为一个分运动；（3）垂直于绳的运动为另一个分运动。注意：沿同一绳（或杆）方向的分速度大小相等。

在物理学上如果一个物体实际发生的运动产生的效果跟另外两个运动共同产生的效果相同，我们就把这一物体实际发生的运动叫那几个运动的合运动，那几个运动就叫做这个实际运动的分运动。重要结论：

（1）各分运动之间是互不相干的，具有独立性； （2）合运动与分运动具有等时性； （3）合运动一定是物体的实际运动。

已知分运动求合运动叫运动的合成，已知合运动求分运动叫运动的分解。（通常根据或寻找分运动效果，根据运动的实际效果分解，或采取正交分解法进行分解。）

运动的合成与分解，是指位移、速度、以及加速度的合成和分解，必须遵循平行四边形定则。在进行速度分解时，首先要分清合速度与分速度合速度就是物体实际运动的速度，由物体的实际运动确定,分速度由合速度的效果利用平行四边形定则确定。合运动一定是物体参与的实际运动。处理复杂的曲线运动的常用方法是把曲线运动按实际效果分解为两个方向上的直线运动。

运动合成分解的四个性质： 运动的独立性 运动的等效性 运动的等时性 运动的矢量性 一个物体同时参与几个分运动,各分运动独立进行,各自产生效果 整体的合运动是各分运动决定的总效果，它替代所有的分运动 合运动和分运动进行的时间相同 加速度、速度、位移都是矢量，合成和分解都遵循平行四边形定则 进行运动的合成时，一般采用两个观点： 所有的分运动必须转换成对于同一个物体的，也就是说，只有同一物体同时参与几个分运动才能合成。如果选择运动的物体为参照物，则参照物的运动和物体相对于参照物的运动是分运动。由于两分运动互不影响，可假设其中一个分运动静止来确定另外一个分运动。如人在匀速行驶的汽车上相对于汽车运动，求人相对于地面的真实运动，我们可以假设汽车不动来判断一个分运动，假设人不动来判断另一个分运动。

如果涉及两个参考系，利用转换公式：

通过矢量运算法则进行求解，对处理较为复杂的运动合成问题，有其应用上的优点。