【提优】数轴-动点【讲义】

知识精讲：

数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离，即数轴上任意两点间线段长公式.

1．数轴上两点间的距离，为这两点所对应的数字差的绝对值，即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数。

2．点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度,而向作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标.即一个点表示的数为a,向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b.

3．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。数轴动点问题必须根据每种情况画线段图。

4．数轴线段中点公式AB=

ab 2路程类问题回顾：

相遇、追击、相离、环形跑道

例题：

【路程类（求点对应数字、时间）】

1。如图所示,数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C点。 (1）求动点A所走过的路程及A、C之间的距离.

5（2）若C表示的数为1，则点A表示的数为 。

2

0CAB2。画个数轴，想一想

(1)已知在数轴上表示3的点和表示8的点之间的距离为5个单位,有这样的关系5=8-3,那么在数轴上表示数4的点和表示—3的点之间的距离是________单位;

(2）已知在数轴上到表示数-3的点和表示数5的点距离相等的点表示数1，有这样的关系

11(35)，那么在数轴上到表示数a的点和表示数b的点之间距离相等的点表示的数是

2__________________。

(3)已知在数轴上表示数x的点到表示数-2的点的距离是到表示数6的点的距离的2倍，求数x。

3。已知数轴上有A、B、C三点,分别代表－24，－10，10,两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时出发相向而行，甲的速度为4个单位/秒。

⑴ 问多少秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位？

⑵ 若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇?

⑶ 在⑴ ⑵的条件下，当甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回.问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。

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4．动点A从原点出发向数轴负方向运动,同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，4秒后，两点相距

20个单位长度.已知动点A、B的速度比为2∶3（速度单位：单位长度/秒)．

（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动4秒时的位置；

（2）若A、B两点从（1)中标出的位置同时出发，按原速度向数轴负方向运动,求几秒钟后原点恰好在两个

动点的正中间;

（2）当A、B两点从(1）中标出的位置出发向数轴负方向运动时，另一动点C也同时从原点的位置出发向A

运动，当遇到A后立即返回向B点运动，遇到B后又立即返回向A运动，如此往返，直到B追上A时，C立即停止运动。若点C一直以10单位长度/秒的速度匀速运动，求点C一共运动了多少个单位长度．

-20-16-12-8-4481216200 5．如图,在射线OM上有三点A、B、C,满足OA=20cm，AB=60cm,BC=10cm，点P从点O出发,沿OM方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动(点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发．

(1）当PA=2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度． （2）若点Q的运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm．

6。。如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足

a2(b3a)20

（1）求A、B两点之间的距离；

（2）若在数轴上存在一点C，且AC=2BC,求C点表示的数；

（3）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小,可看作一点)以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t(秒），

①分别表示甲、乙两小球到原点的距离(用t表示）; ②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间.

7。已知数轴上两点A、B对应的数分别为－1，3，点P为数轴上一动点,其对应的数为x。

⑴若点P到点A、点B的距离相等,求点P对应的数；

⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值。若不存在,请说明理由？

⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B一每分钟20个单位长度向左运动,问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？

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【线段类（求线段长度、比值、和差是否变化）注意分类讨论】

1。如图，已知数轴上有三点A，B,C，AB=1/2AC，点C对应的数是200 （1）若BC=300，求点A对应的数；

（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运动，点P、Q、R的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M为线段PR的中点,点N为线段RQ的中点，多少秒时恰好满足MR=4RN（不考虑点R与点Q相遇之后的情形）；

（3)在（1）的条件下，若点E、D对应的数分别为—800、0,动点P、Q分别从E、D两点同时出发向左运动，点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M为线段PQ的中点，点Q在从是点D运动到点A的过程中, QC-AM的值是否发生变化？若不变，求其值；若不变，请说明理由。

2.已知数轴上的三个点对应的数分别为A、B、C；其中C比B大3,B比A小7,且｜A|+|B|+|C｜=13，则A+B+C的值为？

3.已知：b是最小的正整数，且a、b满足(c5)|ab|0，请回答问题

（1）请直接写出a、b、c的值。

a=__________ b=__________ a=__________

（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为易动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即0x2时），请化简式子:|x1||x1|2|x5|(请写出化简过程）

2

（3)在（1)（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC,点A与点B之间的距离表示为AB.请问：BC－AB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变,请求其值.

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4．已知数轴上A、B两点对应数分别为—2，4,P为数轴上一动点，对应数为x。 ⑴若P为线段AB的三等分点，求P点对应的数.

⑵数轴上是否存在P点,使P点到A、B距离和为10?若存在，求出x的值；若不存在,请说明理由。

⑶若点A、点B和P点（P点在原点）同时向左运动。它们的速度分别为1、2、1个单位长度/分钟,则第几分钟时P为AB的中点？

5．已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1,3，点P为数轴上一动点,其对应的数为x。 ⑴若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；

⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在,请求出x的值。若不存在，请说明理由？

⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时,点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B一每分钟20个单位长度向左运动,问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？

6.如图,已知数轴上A、B两点所表示的数分别对应为x、y，且x、y满足(x2)y80

(1）求线段AB的长;

（2）若P为A、B两点之间的一点（点P不与A、B两点重合）,M为PA的中点，N为PB的中点，当点P

在线段AB上运动时，线段MN的长度是否发生改变？若不变，请求出线段MN的长;若改变，请说明理由。

（3）若有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示:且d＝︱a＋b︱－︱－2－b︱－︱a－2c︱－5， 试求7(d＋2c)2＋2(d＋2c)－5（d＋2c)2－3(d＋2c）的值。

7．已知多项式5mn6，含字母的项的系数为a,多项式的次数为b，常数项为c.且a,b,c分别是点

322A,B,C在数轴上对应的数。

(1)求a,b,c的值，并在数轴上标出A,B,C

(2）若甲、乙、丙三个动点分别从A,B,C三点同时出发沿着数轴负方向运动，它们的速度分别是,2,（单位长度/秒)，通过计算说明:当出发

121444秒时甲、乙、丙谁离原点最远? 7（3）在数轴上C点左侧是否存在一点P，使P到A,B,C的距离和等于20？若存在，请直接指出点P对应的数；若不存在,请说明理由。

8．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+4｜+（b—1）=0，A、B之间的距离记作｜AB|，定义:|AB｜=|a—b|。 (1)求线段AB的长|AB｜;

(2）设点P在数轴上对应的数为x，当|PA｜—|PB|=3时,求x的值；

(3）若点P在A的左侧，M、N分别是PA、PB的中点，当P在A的左侧移动时，下列两个结论：①｜PM｜+｜PN｜的值不变；②｜PN|-｜PM｜的值不变，其中只有一个结论正确，请判断出正确结论，并求其值.

9．如图，已知数轴上点A表示的数是a,B是数轴上的一点，且AB的长为b．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．

(1）①写出数轴上点B表示的数是________，点P表示的数是________（用含a,b,t的代数式表示）；

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2

②M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中,线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长;

（2）若b=10,动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动;动点R从点B出发，以每秒4/3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若P、Q、R三动点同时出发，当点P追上点R后，立即返回向点Q运动，遇到点Q后则停止运动．那么点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？

10.数轴上点A对应的数为a,点B对应的数为b，点A在负半轴，且|a|=3，b是最小的正整数。

（Ⅰ)求线段AB的长；

（Ⅱ）若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1=3x−4的根，在数轴上是否存在点P使PA+PB=

1BC+AB,若存在，求出点P对应的数,若不存在，说明理由。 2132QM+BN的值不变,②QM−BN的值不变,其中只有一个结论正确，请你判断正确的243(Ⅲ)如图,若Q是B点右侧一点，QA的中点为M，N为QB的四等分点且靠近于Q点，当Q在B的右侧运动时，有两个结论：①结论，并求出其值。

11。已知点 A 在数轴上对应的数为 a,点 B 对应的数为 b，且|2b﹣6|+ (a+1） 2 =0,A、B 之间的距离记作 AB,定义：AB=｜a﹣b|． （1）求线段 AB 的长．

（2）设点 P 在数轴上对应的数 x,当 PA﹣PB=2 时，求 x 的值．

（3）M、N 分别是 PA、PB 的中点，当 P 移动时，指出当下列结论分别成立时，x 的取值范围，并说明理由：①PM÷PN 的值不变，②|PM﹣PN｜的值不变．

5。如图 1,直线 AB 上有一点 P,点 M、N 分别为线段 PA、PB 的中点,AB=14．

（1）若点 P 在线段 AB 上，且 AP=8，求线段 MN 的长度；

（2）若点 P 在直线 AB 上运动，试说明线段 MN 的长度与点 P 在直线 AB 上的位置无关； （3）如图 2，若点 C 为线段 AB 的中点，点 P 在线段 AB 的延长线上,下列结论:① ②

PAPB的值不变；PCPAPB的值不变，请选择一个正确的结论并求其值． PC- 5 -