三角函数的概念及转换

《三角函数》复习讲义

【知识网络】

1．注重化归思想的运用．如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等

2．注意数形结合思想的运用．如讨论函数性质等问题时，要结合函数图象思考，便易找出解题思路和问题答案．

第1课 三角函数的概念

考试注意：

理解任意角的概念、弧度的意义． 能正确地进行弧度与角度的换算． 掌握终边相同角的表示方法． 掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义．了解余切、正割、余割的定义． 掌握三角函数的符号法则． 一、知识要点： 1．任意角的概念：

（1）正确理解：正角、负角、零角；象限角、区间角、终边相同的角和轴线角的概念；； （2）严格区分“终边相同”和“角相等”；“轴线角”“象限角”和“区间角”；“小于90°的角”“第一象

限角”“0°到90°的角”和“锐角”的不同意义； 2．角的度量：

⑴ 角度制与弧度制的互化：

3602rad180

180rad

1180rad

0.01745rad

1rad=()5718

11||R2Rl. 22yxy,cos,tan. rrx⑵ 弧长公式：l||R； 扇形面积公式：S3．三角函数定义：

yPT⑴角中边上任意一点P为(x,y)，设|OP|r，则：sin三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

⑵设α是一个任意角，终边与单位圆交于点P(x,y)，

OMAx那么y叫作α的正弦，记作sinα；x叫作α的余弦，记作cosα；叫作α的正切，记作tanα.

（3）三角函数线：正弦线：MP； 余弦线：OM； 正切线： AT.

【讲练平台】

例1..已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B＝｛α｜－4≤α≤4｝，求A∩B.

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yx

变式1.若

2,求α－β的范围.（-

2,0）

24,2k+) 33变式2.函数y12cosxlg(2sinx3)的定义域是(2k+例2.若80，则sin,cos,tan的大小关系为cossintan

第2课 同角三角函数的关系及诱导公式

【考点指津】

掌握同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos2α=1，

sinα

=tanα，tanαcotα=1， cosα

掌握正弦、余弦的诱导公式．能运用化归思想（即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题 ． 【知识在线】

3

1．已知sin(π+α)=－，则 ( )

54343

A．cosα= B．tanα= C．cosα= － D．sin(π－α)= 5455

【讲练平台】

sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π)

例1 化简 ．

cos(π-α)tan(3π-α)

ππ1

例2 若sinθcosθ= ，θ∈( ，)，求cosθ－sinθ的值．

842

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【知能集成】

1．在三角式的化简，求值等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数．

2．注意1的作用：如1=sin 2θ+cos2θ．

3．要注意观察式子特征，关于sinθ、cosθ的齐次式可转化成关于tanθ的式子． 4．运用诱导公式，可将任意角的问题转化成锐角的问题 ． 【训练反馈】

1．sin600°的值是 （ ） 113 3 A． B．－ C． D．－

2222ππ

2． sin(+α)sin（－α）的化简结果为 （ ）

4411

A．cos2α B．cos2α C．sin2α D． sin2α

221

3．已知sinx+cosx=，x∈［0，π］，则tanx的值是 （ ）

534434A．－ B．－ C．± D．－或－ 4334311

4．已知tanα=－，则 = ．

3 2sinαcosα+cos2α5．

1－2sin10°cos10° cos10°－1－cos2170°

的值为 ．

1+2sinαcosα1+ tanα

6．证明． 22 = cosα－sinα 1－tanα

第3课 两角和与两角差的三角函数（一）

【考点指津】

掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题．

几个重要公式：1. 辅助角公式：asinbcos=a2b2sin()( tan2. sin2α=2sinαcosα=（sinacosa） -1 3. tan24.cos2cossin2cos112sin

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22222b ). a

2tan1tan2

变形：cos21cos2 ,sin21cos2 225.

sin()sincoscossintantan tan()1tantan;

cos()coscossinsin ；

【知识在线】

1．cos105°的值为 （ ） A．6 ＋2 6 －2 2 －6 －6 －2

B． C． D． 44 44

3π

2．已知π＜θ＜，sin2θ=a，则sinθ+cosθ等于 （ ）

2

A． a+1 B．－ a+1 C． a2+1 D．±a2+1 11

3．已知tanα=，tanβ=，则cot(α+2β)= ．

33

【讲练平台】

11

例1 已知sinα－sinβ=－ ，cosα－cosβ=，求cos(α－β)的值 ．

32

变形：知锐角α、β、γ满足sinα+sinγ=sinβ，cosα－cosγ=cosβ，求α－β的值．

【知能集成】

审题中，要善于观察已知式和欲求式的差异，注意角之间的关系；整体思想是三角变换中常用的思想． 【训练反馈】

π34

1．已知0＜α＜＜β＜π，sinα=，cos(α+β)=－，则sinβ等于 （ ）

255

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242424

A．0 B．0或 C． D．0或－

2525252．

sin7°+cos15°sin8°

的值等于 （ ）

cos7°－sin15°sin8°A．2+3 B．

2－3 2+3

C．2－3 D． 22

3． △ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为 （ ）

A．

π5ππ5ππ2π

B． C． 或 D． 或 666633

π1

)= ，则cosα的值是 ． 63

4．若α是锐角，且sin(α－

π2π3π

5．coscoscos = ．

777

tanα11

6． 已知sin(α+β)= ，且sin(π+α－β)= ，求．

23tanβ

第4课 两角和与两角差的三角函数（二）

【考点指津】

掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能灵活运用和角、差角、倍角公式解题．

【知识在线】 求下列各式的值

1．cos200°cos80°+cos110°cos10°= ． 1

2．（cos15°+3 sin15°）= ． 2

3．化简1+2cos2θ－cos2θ= ．

4．cos(20°+x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(25°－x)= ． 11

5．－ = ． 1－tanθ1＋tanθ

【讲练平台】

例1 求下列式子的值：tan10°＋tan50°+3 tan10°tan50°

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1+sin4θ-cos4θ1+sin4θ+cos4θ

例2 求证 = ．

2 tanθ 1-tan2θ

【知能集成】

在三角变换中，要注意三角公式的逆用和变形运用，特别要注意如下公式： tanA+tanB=tan(A+B)［1－tanAtanB］；

asinx+bcosx=a2b2sin(x+φ)及升幂、降幂公式的运用． 【训练反馈】

1．cos75°+cos15°的值等于 （ ） A． 2．a=

6 6 2 2 B － C． － D． 22222 2 （sin17°+cos17°），b=2cos213°－1，c= ，则 （ ） 22

A．c＜a＜b B． b＜c＜a C． a＜b＜c D． b＜a＜c 1+sin2θ-cos2θ

3．化简= ．

1+sin2θ+cos2θ

4．化简sin(2α+β)－2sinαcos(α+β)= ．

ACAC

5．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则tan+tan+3 tantan的值为 ．

22226．化简sin2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B)．

7 化简sin50°(1+3 tan10°)．

8 已知sin(α+β)=1，求证：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．

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