(必考题)初中数学九年级数学上册第二单元《一元二次方程》检测卷(含答案解析)

一、选择题

1．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1x2的值是（ ） A．﹣2 A．2019

B．﹣3 B．2020

C．2 C．2021

D．3 D．2022

2．设a，b是方程x2x20220的两个实数根，则a22ab的值为（ ） 3．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A．ax2＋bx＋c＝0 C．x2＋2x＝y2－1 情况为（ ） A．有两个不相等的实数根 C．无实数根 （ ）

A．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根

B．没实数根 D．不能确定

B．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 B．

1x1 x2D．3（x＋1）2＝2（x＋1）

4．定义运算：x*y＝x2y﹣2xy﹣1，例如4*2＝42×2﹣2×4×2﹣1＝15，则方程x*1＝0的根的

5．已知关于x的一元二次方程x24xk0，当4k0时，该方程解的情况是

6．某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到1680元，设每份盒饭涨价x元，则符合题意的方程是（ ） A．(16x12)(36040x)1680 C．(x12)[36040(x16)]1680 A．m1 C．m1

8．关于x的方程a1xA．a1 根的情况为（ ） A．有两个不相等的实数根 C．无实数根

B．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根

a1B．(x12)(36040x)1680

D．(16x12)[36040(x16)]1680 B．m1且m0 D．m1且m0

7．若关于x的方程mx22x10有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）

3x40是一元二次方程，则（ ）

B．a1

C．a1

D．a1

9．定义运算：a☆bab2ab1．例如：3☆4342341．则方程1☆x0的

10．如果方程x2x20的两个根为，，那么22的值为（ ） A．7

B．6

C．2

D．0 D．m1

11．关于x的一元二次方程x22xm0无实数根，则实数m的取值范围是（ ） A．m1

B．m1

C．m1

12．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（ ）

A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5

二、填空题

13．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程x28x120的两根，则该等腰三角形的周长是________．

14．已知m，n是一元二次方程x2x30的两个实数根，则代数式m2n219的值为________．

15．若关于x的一元二次方程m3x6xm7m120有一个根是0，那么m的

22值为______．

16．已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____．

17．2021年元旦联欢会上，某班同学之间互赠新年贺卡，共赠贺卡190张，设全班有x名同学则可列方程为________．

18．一元二次方程x23x10的根的判别式的值是______．

19．一个农业合作社以64000元的成本收获了某种农产品80吨，目前可以以1200元/吨的价格售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元．设储藏x个星期再出售这批农产品，可获利122000元．根据题意，可列方程______．

20．响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明家利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为______ ．

三、解答题

21．阅读下面材料，并完成问题．

任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A的一半，则称矩形A,B是“兄弟矩形”．

探究：当矩形A的边长分别为7和1时，是否存在A的“兄弟矩形”B？ 小亮同学是这样探究的：

xy4①设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得 7xy②2由①，得y4x，③ 把③代入②，得x(4x)7， 2整理，得2x28x70．

b24ac645680， A的“兄弟矩形”B存在．

（1）若已知矩形A的边长分别为3和2，请你根据小亮的探究方法，说明A的“兄弟矩

形”B是否存在？

（2）若矩形A的边长为m和n，当A的“兄弟矩形”B存在时，求m,n应满足的条件． 22．用适当的方法解下列方程： （1）3x2+x＝0； （2）x2﹣x﹣2＝0． 23．解下列方程：

（1）（x﹣1）2﹣x2＝3（x﹣3）； （2）

x12x121． x2x424．已知：关于x的方程x2kxk20．

（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若k6，请解此方程．

25．某玩具经销商2017年全年的销售总额为20万元，总成本为12万元；由于改善经营模式，与2017年相比2019年总成本下降了20%,销售总额增加了10.5%． （1）求该经销商年利润的平均增长率；

（2）如果不受客观因素的影响，并按此增长速度，那么2020年该经销商获得的利润是多少万元（结果精确到0.01万元）． 26．解方程：x25x82(x4)．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【分析】

直接根据根与系数的关系解答即可． 【详解】

解：∵x1、x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根， ∴x1x2=-3． 故选B． 【点睛】

本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-

bc，x1•x2=． aa2．C

解析：C

【分析】

由一元二次方程根与系数的关系，得到ab1，然后求出a2a2022，然后代入计算，即可得到答案． 【详解】

解：∵a，b是方程x2x20220的两个实数根， ∴ab1，a2a2022， ∴a22ab(a2a)(ab)

2022(1)

2021． 故选：C． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．

3．D

解析：D 【分析】

根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是整式方程，含有一个未知数； 【详解】

A、ax2bxc0当a=0时，不是一元二次方程，故A错误； B、

112 ，不是整式方程，故B错误； x2x2C、x22xy21 ，含有两个未知数，故C错误； D、3x12x1 是一元二次方程，故D正确； 故选：D． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的概念，正确理解一元二次方程的概念是解题的关键．

4．A

解析：A 【分析】

先转换成一元二次方程，再用根的判别式判断即可． 【详解】

解：根据题意，方程x*1＝0为：x22x10， ∵(2)24(1)8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：A． 【点睛】

本题考查了新定义运算和一元二次方程的根的判别式，解题关键是理解题意，把方程转化为一元二次方程，再用根的判别式判断．

5．A

解析：A 【分析】

计算根的判别式，根据k的范围，判断判别式的属性，根据性质求解即可． 【详解】

解：∵一元二次方程x24xk0， ∴△= b24ac424k=16+4k， ∵4k0， ∴164k0， ∴16+4k＞0， ∴△＞0，

∴原方程有两个不相等的实数根， 故选A． 【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记公式，并根据字母范围确定判别式的属性是解题的关键．

6．A

解析：A 【分析】

根据总利润=每盒的利润×销售量，而每盒的利润=售价-进价，再结合“每份盒饭的成本为

12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份”即可得出答案．

【详解】

解：每份盒饭涨价x元后，利润为(16+x-12)元， 销售量为(360-40x)盒，

∴可得方程为(16x12)(36040x)1680， 故选A． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的实际应用．正确理解题意，根据题意找到等量关系是解题的关键．

7．B

解析：B 【分析】

利用判别式大于零和二次项系数不为零求解即可． 【详解】

∵方程mx22x10有两个不相等的实数根，

∴m≠0，且△＞0， ∴m≠0，且224m＞0， ∴m1且m0， 故选B． 【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练运用判别式并保证二次项系数不能为零是解题的关键．

8．C

解析：C 【分析】

根据一元二次方程的定义可得a1=2，且a+1≠0，解方程即可；． 【详解】

解：由题意得a1=2，且a+1≠0，， 解得：a=±1，

因为一元二次方程的系数不为0，即a+1≠0，所以a=1， 故选C． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义，关键是注意一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．

9．A

解析：A 【分析】

根据新定义运算法则以及利用△＞0可判断方程根的情况． 【详解】

解：由题意可知：1☆x=x2-x-1=0， ∴△=1-4×1×（-1）=5＞0， ∴有两个不相等的实数根 故选：A． 【点睛】

本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．

10．A

解析：A 【分析】

将代入方程x2x20，即可得22，即可推出

22()22，再由韦达定理即可求出结果．

【详解】

将代入方程x2x20得：220，即22

∴2222()22． ∵、是方程的两个根，

121，2． 11∴()2212(2)27．

∴故选：A． 【点睛】

本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值．熟知韦达定理公式是解答本题的关键．

11．D

解析：D 【分析】

根据判别式的意义得到△=（-2）2-4m<0，然后解不等式即可． 【详解】

解：∵关于x的一元二次方程x22xm0无实数根， ∴△=（-2）2-4m<0， 解得m>1． 故选：D． 【点睛】

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．

12．C

解析：C 【分析】

由方程有实数根可知根的判别式b2﹣4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】 解：由已知得：

a50， 244a510解得：a≥1且a≠5， 故选：C． 【点睛】

本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a的一元一次不等式组，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．

二、填空题

13．14【分析】运用因式分解法解一元二次方程求出两根因为三角形是等腰三角形分情况讨论：腰为2时和腰为6时再利用三角形三边关系验证是否符合题意即可求出周长；【详解】解：（x-2）（x-6）=0x1=2x2

解析：14 【分析】

运用因式分解法解一元二次方程，求出两根，因为三角形是等腰三角形，分情况讨论：腰为2时和腰为6时，再利用三角形三边关系验证是否符合题意，即可求出周长； 【详解】

解：x28x120， （x-2）（x-6）=0， x1=2，x2=6，

当腰长为2时，三角形的三边为2，2，6，不符合三角形的三角关系，舍去； 当腰长为6时，三角形的三边关系为6，6，2，符合三角形的三角关系， 则周长为：6+6+2=14， 故答案为：14． 【点睛】

本题考查因式分解解一元二次方程和三角形的三边关系，求解后验三角形的三边关系是解题的关键．

14．【分析】根据m与n是方程的两个实数根得到根与系数关系式原式变形后代入计算即可求出值【详解】解：∵mn是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根∴m+n＝1mn＝-3∵(m+n)2=m2+n2+2mn 解析：12

【分析】

根据m与n是方程的两个实数根，得到根与系数关系式，原式变形后代入计算即可求出值． 【详解】

解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根， ∴m+n＝1，mn＝-3， ∵(m+n)2=m2+n2+2mn m2+n2=(m+n)2-2mn ∴m2+n2=12-2×(-3)=7 ∴m2+n2-19=7-19=-12 故答案为：-12． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．

15．4【分析】先把x=0代入（m-3）x2+6x+m2-7m+12=0得m2-7m+12=0再解关

于m的方程然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m的值【详解】解：把x=0代入（m-3）x2+6x+m

解析：4 【分析】

先把x=0代入（m-3）x2+6x+m2-7m+12=0得m2-7m+12=0，再解关于m的方程，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m的值． 【详解】

解：把x=0代入（m-3）x2+6x+m2-7m+12=0得m2-7m+12=0， 解得m1=4，m2=3， ∵m-3≠0，即：m≠3 ∴m的值为4． 故答案为：4． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．

16．且【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式△＞0即可得出关于a的一元一次不等式组解之即可得出结论【详解】∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根∴解得：a＜3且a≠2

解析：a3且a2 【分析】

根据一元二次方程的定义及根的判别式△＞0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】

∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，

a20∴， 224(a2)10解得：a＜3且a≠2． 故答案为：a＜3且a≠2 【点睛】

本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两不等的实数根，得到判别式大于零，求出a的取值范围，同时方程是一元二次方程，二次项系数不为零．

17．x(x-1)=190【分析】根据题意x名同学每个人送出（x-1）张贺卡由此列出方程【详解】由题意得故答案为：【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用正确理解题意是解题的关键

解析：x(x-1)=190 【分析】

根据题意x名同学，每个人送出（x-1）张贺卡，由此列出方程． 【详解】

由题意得x(x1)190， 故答案为：x(x1)190． 【点睛】

此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．

18．13【分析】根据△=b2-4ac计算可得答案【详解】解：∵a=-1b=3c=1∴△=32-4×(-1)×1=13故答案为：13【点睛】本题主要考查根的判别式熟记判别式（△=b2-4ac）是解题关键

解析：13 【分析】

根据△=b2-4ac计算可得答案． 【详解】

解：∵a=-1，b=3，c=1， ∴△=32-4×(-1)×1=13， 故答案为：13． 【点睛】

本题主要考查根的判别式，熟记判别式（△=b2-4ac）是解题关键．

19．【分析】设储藏x星期出售这批农产品可获利122000元则需要支付费用1600x元损失2x吨价格为（1200+200x）元根据获利122000元列方程求解【详解】解：设储藏x星期出售这批农产品可获利1 解析：1200200x802x1600x64000122000

【分析】

设储藏x星期出售这批农产品可获利122000元，则需要支付费用1600x元，损失2x吨，价格为（1200+200x）元，根据获利122000元，列方程求解． 【详解】

解：设储藏x星期出售这批农产品可获利122000元， 由题意得（1200+200x）×（80-2x）-1600x-64000=122000， 故答案为：1200200x802x1600x64000122000． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程．

20．【分析】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为x根据该商店6月份及8月份的利润可得出关于x的一元二次方程；【详解】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为x故答案为：【点睛】本题考查了 解析：240001x34560

【分析】

设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为 x ，根据该商店6月份及8月份的利

2润，可得出关于 x 的一元二次方程； 【详解】

设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为 x

240001x34560

故答案为：240001x34560． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．

22三、解答题

21．（1）不存在；（2）m26mnn20 【分析】

（1）按照小亮的方法，进行计算即可；

（2）先根据小亮的方法列出方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式列不等式即可． 【详解】

5xy解：（1）设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得2,①

xy3.②由①，得y5x，③ 25x3， 2把③代入②，得x整理，得2x25x60，

b24ac2548230，

A的“兄弟矩形”B不存在．

（2）设所求矩形的两边分别是x和y，

mnxy,①2由题意，得

mnxy.②2由①，得ymnx，③ 2mnmnx， 22把③代入②，得x2整理，得2x(mn)xmn0，

b24ac(mn)28mnm26mnn2，

又

x,y都是正数，

当m26mnn20时，A的“兄弟矩形”B存在．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程根的判别式．

22．（1）x1＝0，x2＝﹣【分析】

（1）将方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）将方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】

解：（1）3x2+x＝0， x（3x+1）＝0， x＝0或3x+1＝0， x1＝0，x2＝﹣

1；（2）x1＝2，x2＝﹣1 31； 3（2）x2﹣x﹣2＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， x﹣2＝0或x+1＝0， x1＝2，x2＝﹣1． 【点睛】

本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键； 23．（1）x2；（2）x1【分析】

（1）先利用平方差公式将方程左边进行整理，再解一元一次方程即可； （2）方程两边同时乘以x2x2，整理得到一元二次方程，求解即可． 【详解】

解：（1）原方程可整理成12x3x90， 移项、合并同类项可得：5x10， 解得x2； （2）原方程可整理成

157157． ，x244x12x11， x2x2x22方程两边同时乘以x2x2，可得：x1x22x1x4， 移项、合并同类项可得：2x2x70， ∴

b24ac1427570，

2解一元二次方程可得x经检验，x∴x1157． 4157都是原方程的解． 4157157． ，x244【点睛】

本题考查解一元二次方程、解分式方程，掌握方程的求解方法是解题的关键． 24．（1）证明见解析；（2）x135，x235 【分析】

（1）根据一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案； （2）通过配方法求解一元二次方程，即可得到答案． 【详解】

222（1）∵k4(k2)k4k8(k2)40

∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）当k6时，原方程为：x26x40， ∴x26x95 ∴x35

2∴x35 ∴x135，x235． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式性质，从而完成求解．

25．（1）该经销商年利润的平均增长率为25%；（2）2020年该经销商获得的利润是

15.63万元

【分析】

（1）设该经销商利润的平均增长率为x，根据增长率问题的数量关系建立方程求出其解； （2）根据增长率问题的数量关系得到2020年该经销商获得的利润即可． 【详解】

解：1该经销商年利润的平均增长率为x．

依题意，得：20121x20110.5%12120%， 即：81x12.5，

221x1.25，

则x1＝0.25,x2＝2.25(不符合，舍去)， 答：该经销商年利润的平均增长率为25%．

22019年获得的利润12.5万元．

12.5125%15.62515.63(万元)．

答：2020年该经销商获得的利润是15.63万元． 【点睛】

本题考查了增长率问题的数量关系在实际问题中的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据据增长率问题的数量关系建立方程是关键． 26．x3或x0 【分析】

先把方程去括号、移项进行整理，再利用因式分解法解方程，即可得到答案． 【详解】

解：x5x82(x4)， ∴x25x82x8 ∴x23x0 ∴x(x3)0

2x3或x0． 【点睛】

本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程．