小学奥数之几何蝴蝶定理问题

一、 基本知识点

定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。 S1 : S2 = a : b 定理2：等分点结论( 鸟头定理)

如图，三角形△AED的面积占三角形△ABC的面积的 定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)

1） S1∶S2 =S4∶S3 或 S1×S3 = S2×S4 上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AO∶OC = （S1＋S2）∶（S4＋S3） 梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理) 1）S1∶S3 =a2∶b2

上、下部分的面积比等于上、下边的平方比

2）左、右部分的面积相等

3）S1∶S3∶S2∶S4 =a2∶b2 ∶ab∶ab 4）S的对应份数为（a+b）2 定理4：相似三角形性质 1）

abch ABCH 2） S1 ∶S2 = a2 ∶A2 定理5：燕尾定理

S△ABE ∶ S△AEC = S△BGE ∶ S△GEC = BE∶EC S△BGA ∶ S△BGC = S△AGF ∶ S△GFC = AF∶FC S△ADC ∶ S△DCB = S△ADG ∶ S△DGB = AD∶DB

二、 例题

例1、如图，ADDB，AEEFFC，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积是多少平方厘米？

1例2、有一个三角形ABC的面积为1，如图，且ADAB，211DBEBC，CFCA，求三角形DEF的面积.

A34例3、如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，E为BE=

BAB上的一点，且

DEFC1AB,已知四边形EDCA的面积是35，求三角形3AABC的面积.

（单位：厘

F例4 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。米）

BEC例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单米）

三角形的位：平方厘

例6、如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ 例7、（小数报竞赛活动试题）

如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1

平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？

例8、如图：在梯形ABCD中，三角形AOD的面积为9平方厘米，三角形BOC的面积为25平方厘米，求梯形ABCD的面积。

例9、（2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛）

四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O（如图）所示。 如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的

1，且 3AO2，DO3，那么CO的长度是DO的长度的_________倍。

例10、左下图所示的

ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，已知两块阴影

2

部分的面积和比△EFG的面积大10cm，求CF的长。

例11、长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，H为AD边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？

例12、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部分的

面积。

例13、如图，大正方形ABCD的边长为6，依以下条件求三BDF的面积。

例14、如下图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是

AC的中角

形

? 点，且ADG的面积比EFG的面积大6平方厘米。ABC的面积是多少平方厘米三、 练习题

1、如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？

2、如图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4 cm，△CED的面积6cm。问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？ 3、如右图BE=

2211BC，CD=AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的______. 345、如图所示，已知ABCD是长方形，AE : ED = CF : FD = 1 : 2，三角形DEF的面积是16平方厘米，求三角形ABE的面积是多少平方厘米？

6、 如右图，ABCD是梯形，ABED是平行四边形，己

角面积如下图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的是多少平方厘米。

7、正方形ABFD的面积为100平方厘米，直角三角形面积，比直角三角形（CDE的面积大30平方厘米，求是多少？

8、 已知ABC中，ABAC12cm，ABC的面积是

知三面积ABC的DE的长

cm2，P是BC上任意一点，P到AB,AC的距离是x,y，那么xy ；

9、如右图所示，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB；延长BC至E，使CE=2BC；延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。