地震作用下自由场中饱和砂土的应力_应变推导_苏栋

文章编号：1000－7598 (2010) 01－0277－06

地震作用下自由场中饱和砂土的应力-应变推导

苏 栋1，李相崧2

（1. 深圳大学 土木工程学院/深圳市土木工程耐久性重点实验室，深圳 518060；2. 香港科技大学 土木工程系，香港）

摘 要：水平自由场地震响应分析是岩土地震工程实践的重要内容之一。利用香港科技大学土工离心机上的双向振动台，进行了饱和砂土自由场在水平双向地震作用下的动力模型试验。根据应力和应变的定义以及达朗贝尔原理，由试验观测的土体加速度、位移和孔隙水压力数据直接推导得到不同深度处砂土的应力和应变，揭示了振动过程中饱和砂土的应力路径和应力-应变关系演化过程，以及与超静孔隙水压力发展的联系。

关 键 词：离心机；振动台；砂土；应力路径；应力-应变关系；达朗贝尔原理 中图分类号：TU 443 文献标识码：A

Derivation of stress and strain of saturated sand in

free ground under seismic loading

SU Dong，LI Xiang-song2

（1. Shenzhen Key Laboratory for Durability of Civil Engineering, College of Civil Engineering, Shenzhen University, Shenzhen 518060, China;

2. Department of Civil Engineering, Hong Kong University of Science and Technology, Hong Kong, China）

1

Abstract: Analysis of response of level ground subjected to earthquake is one of the most important problems in geotechnical engineering practice. By use of the bi-axial shaker installed on the geotechnical centrifuge at the Hong Kong University of Science and Technology, a centrifuge dynamic test was performed on a saturated sand ground model under a bi-axial earthquake loading. Based on definitions of stress and strain, and the D'Alembert's principle, stress and strain of soils at various depths were derived from the data of acceleration, displacement, as well as excess pore pressure measured in the test. The stress paths and stress-strain relationships of saturated sand during the shaking event, and their connection with development of excess pore pressure were revealed.

Key words: centrifuge; shaking table; sand; stress path; stress-strain relationship; D'Alembert's principle

1 前 言

水平自由场地震响应分析是岩土地震工程实践的重要内容，也是过去几十年世界岩土工程界热门研究领域之一。由于地震发生的时间和地点难以预测，直接观测实际地震中场地的响应十分困难。利用土工离心机振动台进行模型试验是研究土工材料及构筑物在地震荷载作用下动力特性的有效手 段，这一地震模拟方法在国外已得到了广泛的应 用[1

－5]

震作用下的响应研究，观测了振动过程中模型多个位置的加速度、位移和孔隙水压力的变化。

土的动力特性是影响场地地震响应最主要的因素，目前土的动力特性主要还是通过室内单元体试验诸如三轴试验、直剪试验等获得。然而，由于排水条件和荷载特性与现场有较大区别，难以完全模拟地震荷载下土的应力变形特性。根据应力和应变的定义以及达朗贝尔原理，笔者采用试验过程中观测到的加速度、位移和水压力数据，直接推导得到了水平自由场中饱和砂土在振动过程中遭受的应力和应变，揭示了地震作用过程中不同深度处土的应力路径及应力-应变关系的演化特性。

，目前在国内也正得到逐步的发展[6

－8]

。本次

利用香港科技大学的双向振动台，以Toyoura砂为试验材料，进行了饱和砂土自由场的在水平双向地

收稿日期：2008-07-03 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No. 50608051）；深圳市公共科技项目（No. SY200806270074A）；深圳市基础研究项目（No. JC200903130268A）。 第一作者简介：苏栋，男，1978年生，副教授，主要从事岩土地震工程及岩土数值分析等方面的研究。E-mail: sudong@szu.edu.cn

278 岩 土 力 学 2010年

2 离心机振动试验

2.1 试验设备与试验过程

试验在香港科技大学的400 g-t土工专用离心机上进行。该机配有世界上第1台可在高速旋转状态下运行的双向振动台。振动台为液压伺服式，能够在50 g的离心加速度下运行，产生沿两个水平方向的振动。振动台配有可沿任意水平方向自由形变的层状剪切箱，以模拟多向地震作用下水平场地的边界条件。

试验使用日本Toyoura砂，物理参数：D50 = 0.17 mm，Cu =1.7，emax = 0.977，emin = 0.597。砂先在烘箱中烘干，然后，通过干落法制备均匀的干土样，并在制备过程中埋入量测仪器。密封干土样，抽取其内空气，通入二氧化碳并静置0.5 h；抽取气体至近乎真空，再缓慢滴入脱气去离子水，直至土样完全饱和。饱和后的土层高40 cm，砂土的相对密度约为40 %。

土层中埋设的以及模型箱边界上布置的传感器包括微型加速度传感器、微型孔隙压力传感器和位移传感器（表1）。传感器的布置如图1所示，加速度传感器的竖向间距为10 cm；孔隙压力传感器的竖向间距浅层为5 cm，深层为10 cm。位移传感器安装在模型箱的侧面和土层表面，以量测土层的侧向变性和竖向沉降。由于铝环有3个水平运动自由度，所以每个水平测点沿不同水平方向布置了3支位移传感器。

表1 传感器参数

Table 1 Parameters of transducers

传感器

型号

特性

量程 100 kPa 300 kPa 50g 100g

位移传感器 CD375－1000

交流激励 ±2.54 cm

量测仪器安装完毕后，将模型箱固定在振动台上，逐步加速离心机直至模型中心点的离心加速度为40g，此状态稳定一段时间后通过控制系统向控制台发送双向振动信号，信号为经过Hanning窗口修正的正弦信号，振动频率f=50 Hz，振动时长T =0.6 s。试验过程中数据的采样频率为2 500 Hz。 2.2 试验结果

图2为振动过程中所观测到的砂土层沿X方向的加速度响应，其中ACCbx是箱底输入加速度， ACC2x和ACC4x分别为距离土层表面20 cm和土层表面的加速度。由图2可以看出，箱底的实际输入加速度和目标振动信号非常接近，加速度峰值为4.0g，对应的原型值为0.10g，振动强度不大。20 cm处的加速度时程曲线和输入加速度的形状相似，但峰值不同，为3.05g；土层表面的加速度在0.25 s左右出现峰值（3.16g）。随后加速度急剧减小。后期加速度的减小和砂土液化有关，是因为剪切波不能在完全液化的土中传播。从图2还可以看出，底部输入的加速度波含有部分高频成分，但这些成分随着加速度向上传播，逐渐被土滤掉。试验对砂土层的Y方向加速度响应也进行了量测，其底部输入的峰值为4.4g，与X方向的峰值接近，传播特性也与X方向相近；Y方向不同深度的加速度时程曲线参见文献[9]。

加速度/g 630-3-600.10.20.3 0.4 0.5时间/s （a）ACC4x

0.6

微型孔隙压力传感器 PDCR81 直流激励 微型加速度传感器 PCB 352B68 石英剪切型

加速度/g 630-3-600.10.20.3 0.4 0.50.6时间/s （b）ACC2x

加速度/g 630-3-600.10.20.3 0.4 0.5时间/s 0.6

图1 试验传感器布置图

Fig.1 Layout of transducers in test

（c）ACCbx

图2 X方向的加速度响应

Fig.2 Acceleration response along X direction

第1期 苏 栋等：地震作用下自由场中饱和砂土的应力应变推导 279

图3为土层表面处土体的侧向位移时程曲线。在0.26 s之前的振动基本关于0点对称，但之后振动幅度开始减小，X方向位移往负值方向发展，Y方向位移往正值方向发展。振动结束后，X方向的残余位移为0.09 cm左右，而Y方向的残余位移为0.27 cm左右。Y方向的残余位移为X方向的3倍，这是由于Y方向为离心机的切向方向，当土体接近液化时，作用在该方向的风荷载使土体产生了附加的位移，具体的分析参见文献[10]。

3 砂土应力-应变关系的推导

3.1 计算原理与过程

在试验过程中，观测到的是加速度、位移和水压力等物理量，对于砂土在振动过程中遭受的应力和应变并不能直接测量和记录，后者可以根据物理定律并应用一些数值方法由前者推导得到[11

－12]

。

由达朗贝尔原理可知，砂土模型在离心机中遭受水平地震波时，土体上的水平惯性力与土体所受的水平剪力大小相同、方向相反。如图5所示，作用在从表面到深度H处的土体所受惯性力由作用在深度H截面的水平剪力平衡。假设z处的加速度为a(z)，则惯性力的大小为

位移/cm 0.4 0.2 0-0.2-0.400.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6时间/s （a）X3

Fi(H)=A∫a(z)ρ(z)dz （1）

0

H

式中：A、a和ρ分别为水平截面积、水平加速度和土体密度。作用在深度H截面上的水平剪力为

位移/cm 0.4 0.2 0-0.2-0.4F(H)=τ(H)A （2）

式中：τ为截面上的平均水平剪应力。

00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6时间/s （b）Y3

A HFi:水平惯性力 图3 土层表面土体的侧向位移

Fig.3 Lateral displacements at the ground surface

图4为砂不同土层深度中心测点的压力传感器所测的超静孔隙水压力时程曲线。所有深度处的超静孔隙水压力在0.15 s后才开始出现，滞后于振动信号。随着深度的增加，水压力增长的速度越快，峰值越大，这几个测点的超静孔隙水压力的峰值分别为18.0、33.3、43.4、47.7 kPa和49.5 kPa，其中5 cm 处的峰值达到了该处土体的初始上覆有效压力，土体发生了液化。

zF:水平剪力

图5 剪应力示意图

Fig.5 Illustration of shear stress

试验过程中只能通过传感器测量一些离散点上的物理量，因而惯性力不能由式（1）积分直接得到，而只能通过测点的加速度计算。如图6所示，假设测点间的加速度沿深度线性分布，则第n土层 （n =1，2，3，4）中点以上土体所受的总水平惯性力可以通过式（3）得到。

Fi(n)=

图4 超静孔隙水压力时程曲线

Fig.4 Time histories of excess pore pressure

1⎞1⎛3

ajHjAρ+⎜an+1+an⎟HnAρ （3）

442j=n+1⎝⎠

∑

N

式中：N为总的土层数；Hn为第n土层的高度；an为测点n上的加速度；aj为第j土层中点的加速度。

280 岩 土 力 学 2010年

a5 H4 a4 H3 a3 H2 a2 土层1 土层2 土层3 土层4 u5 移，需要进行数据处理，滤去线性成份，所以得到的结果不能反映出永久位移，而用位移传感器直接测量位移可以避免这一缺点。本文利用直接测量的位移计算应变，但计算前先用截断频率为100 Hz的10阶Butterworth低通数字过滤器滤掉次要的高频成份，如图7所示。

u4 u3 u2

H1 a1 u1

标准化富氏强度1.51.00.50截断频率为100 Hz 图6 分层示意图

Fig.6 Illustration of divided layers

由水平惯性力和水平剪力相等可得

F(z)Fi(z)τ(z)== （4）

AA因而，由式（3）、（4）即可计算各层中点的剪应力。为了便于比较不同深度处的剪应力水平，定义剪应力比为

050100150200 250 300 350频率/Hz 400

图7 截断频率示意图

Fig.7 Illustration of cut-off frequency

3.2 砂土的应力路径

根据3.1节介绍的原理和方法，可以推导出深度为5、15 cm和30 cm的垂向有效应力比、X方向的剪应力比。图8为3处的应力路径（竖向有效应力比-剪应力比）。从图中可以看出，①振动开始后，随着振动引起的周期剪应力的不断施加，垂向有效应力比由1开始逐渐减小。②随着深度的增加，垂向有效应力比的变化速率明显减小。③5 cm处的竖向有效应力比最小值接近0（即砂土发生了液化），而15 cm和30 cm处的最小值分别为0.14和0.53。④不同深度处的最大剪应力比值接近，都为0.1左右。从图8还可以看出，5 cm处的砂土在接近液化时剪应力值并没有减至0，这是由于接近土层表面的砂土的围压很小，砂土在接近液化时发生了瞬时剪胀，刚度得到部分恢复。Wilson在进行液化场地土-桩动力相互作用振动台模型试验中也有类似现象报道[13]。

3.3 砂土的应力-应变关系

图9为推导得出的3个不同位置的应力-应变关系曲线（剪应变-剪应力比）。从图中可以看出，各深度处的应力-应变关系都出现明显的滞回圈，30 cm处的滞回圈具有较好的对称性，而15 cm 和5 cm处的滞回圈明显向负应变方向移动。综合图8的应力路径和图3的侧向位移-时程曲线分析可得，浅层引处的砂土垂向有效应力比较快降低，软化明 显，起土体塑性剪切变形的产生和累积。在振动过程中，

rτ(z)=

τ(z)

（5） σv′0(z)

′0(z)为同一位式中：τ(z)为深度z处的剪应力；σv

置的初始竖向有效压力。

另一方面，试验过程中观测到了孔隙水压力的变化，根据有效应力原理，可以定义竖向有效应力比为

rσ′(z)=

v

σv′(z)σv′0(z)−u(z)

= （6）

σv′0(z)σv′0(z)

式中：σv′(z)为深度z处当前竖向有效应力；u(z)为同一位置当前的超静孔压。一般而言，地震发生前

rσ′=1，而土体液化时rσ′=0。

v

v

根据定义，剪应变为

∂u(z)γ= （7）

∂z式中：u(z)为深度z处土的水平位移。由于只有测点上的位移，不能通过式（7）求导得到应变，但可以由下式得到各土层的平均剪应变：

γn=(un+1−un)/Hn （8）

式中：γn为第n土层的平均剪应变；un、un＋1分别为第n土层底端和顶端的位移。

获得水平位移通常有两种方法：直接通过位移传感器（如LVDT）测量，或者由测得的加速度时程2次积分得到。Kazama等采用采用了后种方法得到位移，但2次积分法可能导致位移时程的漂

30 cm处的最大剪应变约为0.2 %，5 cm和15 cm处的最大剪应变都约为0.6 %，浅层土发展的剪应变要大于深层土发展的剪应变。

第1期 苏 栋等：地震作用下自由场中饱和砂土的应力应变推导 281

0.2 0.1 0-0.1-0.20 0.20.4 0.6 0.8垂向有效应力比 （a）深度5 cm

0.2 0.1 1.0 1.2

为了考察土体应力-应变关系的演化过程，图10比较了3个时段（0.18～0.20 s, 0.28～0.30 s及0.38～0.40 s）15 cm处的应力-应变关系曲线，可见随着时间的推移，应变的幅值在增加，滞回圈在增大，反映了随着振动引起的土体内孔隙水压力的上升以及塑性应变的累积，土体的刚度逐渐衰化，而阻尼却在不断增大。

0.150.100.050-0.05-0.10-0.15-1.0剪应力比 剪应力比剪应力比0-0.1-0.20 0.20.4 0.6 0.8垂向有效应力比 （b）深度15 cm

0.2 0.1 1.0 1.2-0.50 0.5 1.0剪应变/%

（a）时段0.18～0.20 s

剪应力比 0-0.1-0.20 0.20.4 0.6 0.8垂向有效应力比 （c）深度30 cm

1.0 1.20.150.100.050-0.05-0.10-0.15-1.0 剪应力比-0.50 0.5 1.0剪应变/%

0.150.100.050-0.05-0.10-0.15-1.0 剪应力比 （b）时段0.28～0.30 s

图8 不同深度砂土的应力路径

Fig.8 Stress paths of sand at different depths

剪应力比 0.150.100.050 -0.05 -0.10-0.15 -1.0 -0.50 0.5 1.0剪应变/% （c）时段0.38～0.40 s

-0.5 0 0.5 1.0剪应变/% （a）深度5 cm

图10 15 cm处砂土应力-应变关系的演化

Fig.10 Evolution of stress-strain relationship of sand

at the depth of 15 cm

剪应力比 0.150.10 0.050-0.05 -0.10 -0.15 -1.0 4 结 语

利用香港科技大学的双向振动台，进行了饱和砂土自由场地在水平双向地震作用下的响应研究，观测了振动过程中模型多个位置的加速度、位移和孔隙水压力的变化。根据应力和应变的定义以及达朗贝尔原理，依据试验过程中观测到的加速度、位移和水压力数据，推导得到了水平自由场中饱和砂土在振动过程中遭受的应力和应变，揭示了地震作用过程中土的应力路径及应力-应变关系的演化特性。结果表明，不同深度处的最大剪应力比值接近，但垂向有效应力比的变化速率随深度的增大明显减小；浅层土发展的剪应变要大于深层土发展的剪应变，而在某一深度处随着超静孔压的增长，应变的幅值在增加，滞回圈在增大，反映出在这个过程中土体的刚度衰化、阻尼增大的实质。

下转第308页

-0.5 0 0.5 1.0剪应变/% （b）深度15 cm

剪应力比 0.15 0.100.05 0-0.05-0.10 -0.15-1.0 -0.5 0 0.5 1.0剪应变/% （c）深度30 cm

图9 不同深度砂土的应力-应变关系

Fig.9 Stress-strain relationships of sand at different depths

308 岩 土 力 学 2010年

参 考 文 献

[1] 郑峰. 爆破地震效应影响因素的研究及工程应用[D]. 武汉: 武汉科技大学, 2007.

[2] 张艺峰, 姚道平, 谢志招. 基于BP神经网络的爆破振

动峰值及主频预测[J]. 工程地球物理学报, 2008, 5(2): 222－226.

ZHANG Yi-feng, YAO Dao-ping, XIE Zhi-zhao. The prediction of blasting vibration peak value & main frequency by BP neural network[J]. Chinese Journal of Engineering Geophysics, 2008, 5(2): 222－226.

[3] 邓聚龙. 灰色系统基本方法[M]. 武汉: 华中理工大学

出版社, 1987.

[4] 刘思峰, 党耀国, 方志耕. 灰色系统理论及其应用[M].

北京: 科学出版社, 2004.

[5] 邓聚龙. 灰色系统理论教程[M]. 武汉: 华中理工大学

出版社, 1990.

[6] 邓聚龙. 灰理论基础[M]. 武汉: 华中理工大学出版社,

2002.

[7] 赵云胜, 龙昱, 赵钦球. 灰色系统理论在地学中的应用

研究[M]. 武汉: 华中理工大学出版社, 1997.

[8] 吕锋. 灰色系统关联度之分辨系数的研究[J]. 系统工

程理论与实践, 1997, (6): 49－54.

LÜ Feng. Study on resolution ratio of grey system relativity[J]. Systems Engineering——Theory & Practice, 1997, (6): 49－54.

[9] 谢志招, 姚道平, 张艺峰. 爆破振动对古建筑物影响测

试和分析方法的研究[J]. 爆破, 2007, 24(4): 77－84.

XIE Zhi-zhao, YAO Dao-ping, ZHANG Yi-feng. Research on blasting vibration measuring and analysis 上接第281页

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

methods for historical building[J]. Blasting, 2007, 24(4): 77－84.

言志信, 吴德伦, 王漪, 等. 地震效应及安全研究[J]. 岩土力学, 2002, 23(2): 201－203.

YAN Zhi-xin, WU De-lun, WANG Yi, et al. The study of blasting vibration effect and safety[J]. Rock and Soil Mechanics, 2002, 23(2): 201－203.

李长洪, 李军财, 蔡美峰, 等. 露天矿边坡高精度非电雷管爆破振动测试分析[J]. 金属矿山, 2004, (11): 15－21. LI Chang-hong, LI Jun-cai, CAI Mei-feng, et al. Testing and analysis of vibration caused by blasting using high precision non-electric detonator in open-pit slope[J]. Metal Mine, 2004, (11): 15－21.

舒大强, 赖世骧, 朱传云, 等. 岩石高边坡爆破振动效应观测及分析[J]. 爆破, 2000, 17: 245－248.

SHU Da-qiang, LAI Shi-xiang, ZHU Chuang-yun, et al. Analysis of explosive vibration effect in rock high slope blasting[J]. Blasting, 2000, 17: 245－248.

曾勇. 论爆破减震技术在露天矿的应用[J]. 矿业快报, 2003, (6): 39－41.

ZENG Yong. Discussion on the application of blasting damping technique to opencast mine[J]. Express Information of Mining Industry, 2003, (6): 39－41. 高晓初. 炮孔直径、超深及起爆方案对爆破震动的影响[J]. 西部探矿工程, 1995, (1): 17－19.

GAO Xiao-chu. Influence of diameter of blast hole, super depth and blasting scheme on the blasting vibration[J]. West-China Exploration Engineering, 1995, (1): 17－19.

参 考 文 献

[1] KOGA Y, MATSUO O. Shaking table tests of

embankments resting on liquefiable sandy ground[J]. Soils and Foundations, 1990, 30(4): 162－174.

[2] KAZAMA M, SENTO N, OMURA H, et al. Liquefaction

and settlement of reclaimed ground with gravelly decamped granite soil[J]. Soils and Foundations, 2003, 43(3): 57－72.

[3] DOBRY R, TABOADA V, LIU L. Centrifuge modeling

of liquefaction effects during earthquake[C]//Proc. 1st. Intern. Conf. on Earthquake Geotech. Engrg., Rotterdam: A. A. Balkema, 1995.

[4] ARULANANDAN K, ANANDARAJAH A, ABGHARI

A. Centrifuge modeling of soil liquefaction susceptibility [J]. Journal of Geotechnical Engineering, 1983, 109(3): 281－300.

[5] HUSHMAND B, SCOTT R F, CROUSE C B. Centrifuge

liquefaction tests in a laminar box[J]. Geotechnique, 1988, 38(2): 253－262.

[6] 张霆, 刘汉龙, 胡玉霞, 等. 鼓式土工离心机技术及其

工程应用研究[J]. 岩土力学, 2009, 30(4): 1191－1196. ZHANG Ting, LIU Han-long, HU Yu-xia, et al. Geotechnical drum centrifuge technique and its engineering application[J]. Rock and Soil Mechanics, 2009, 30(4): 1191－1196.

[7] 侯瑜京. 土工离心机振动台及其试验技术[J]. 中国水

利水电科学研究院学报, 2006, 4(1): 15－22.

HOU Yu-jing. Centrifuge shakers and testing technique[J]. Journal of China Institute of Water Resources and Hydropower Research, 2006, 4(1): 15－22.

[8] 张丙印, 张美聪, 孙逊. 土石坝横向裂缝的土工离心机

模型试验研究[J]. 岩土力学, 2008, 29(5): 1254－1258. ZHANG Bing-yin, ZHANG Mei-cong, SUN Xun. Centrifugal modeling of transverse cracking in earth core dams[J]. Rock and Soil Mechanics, 2008, 29(5): 1254－1258.

[9] SU D. Centrifuge investigation on responses of sand

deposit and sand-pile system under multi-directional earthquake loading[D]. Hong Kong: The Hong Kong University of Science and Technology, 2005.

[10] 苏栋, 李相崧. 科氏力和风阻力对离心机双向振动的

影响[C]//土工测试技术实践与发展. 北京: 黄河水利出版社, 2005.

[11] KAZAMA M, YANAGISAWA E, TOYOTA H. et al.

Stress strain relationship of sandy soils directly obtained from 1-D centrifuge shaking table tests[C]//Proc. 1st. Intern. Conf. on Earthquake Geotech. Engrg., Rotterdam: A. A. Balkema, 1995.

[12] ZEGHAL M, ELGAMAL A W. Analysis of site

liquefaction using earthquake records[J]. J. of Geotech. Engrg., ASCE, 1994, 120(6): 996－1017.

[13] WILSON D W. Soil-pile-superstructure interaction in

liquefying sand and soft clay[Ph. D]. Californiai University of California, 1998.