因式分解题型(提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法)

1.因式分解概念：

把一个多项式化成几个整式的 的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。 2．常用的因式分解方法：

（1）提公因式法：对于mambmc， 叫做公因式， 叫做提公因式法。

①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 ②公因式的构成：系数：各项系数的 ； 字母：各项都含有的相同字母； 指数：相同字母的最低次幂。 （2）公式法： }

①常用公式

平方差： 完全平方：

3322立方和：ab(a+b)(a-ab+b) 立方差：

②常见的两个二项式幂的变号规律：

2n2n2n1(ba)2n1． (ab)(ba)；(ab)（n为正整数）

（3）十字相乘法

2 ①二次项系数为1的二次三项式xpxq中，如果能把常数项q分解成两个因式a,b的积，并且ab等于一次项系数中p，那么它就可以分解成

22xpxqxabxabxaxb

②二次项系数不为1的二次三项式axbxc中，如果能把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积，并且a1c2a2c1等于一次项系数b，那么它就可以分解成：

2ax2bxca1a2x2a1c2a2c1xc1c2a1xaa2xc2。

（4）分组分解法

，

①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如abab没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式或利用公式法，即可达到分解因式的目的。

2222(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab1)， abab例如=

22 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

②原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。

③有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。

方法 分组分解法 分类 \"分组方法 二项、二项 三项、一项 三项、二项 特点 ①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组 先完全平方公式后平方差公式 > 各组之间有公因式 四项 五项 /

六项 三项、三项 各组之间有公因式 二项、二项、二项 三项、二项、一项 可化为二次三项式 【题型解析】

【题型一】 提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

例1 分解因式：（1） (1) 8ab—12abc (2) 3mn12mn9mn

32343322

【训练1】 分解因式（1）-x²y+4xy-5y （2）m²（a-3）+m（3-a）

（3）a2(x2a)2a(2ax)3 （4）x4-x²

@

【题型二】 运用公式法

运用平方差公式，完全平方公式，把一个多项式分解因式的方法叫做运用公式法． （1）平方差公式 a —b= (a+b)（a-b）．

（2）完全平方公式 a +2ab+ b=(ab) a - 2ab+b=(ab) 例1 分解下列因式：

22222222x4xy14y （3）(m1)6(1m)9 -2a24ab2b2 （2）（1）

22222

1222324252622003220042……+（4）计算： 12345620032004*

【训练1】 把下列各式分解因式：

（1）11m1m2 （2）－49a2＋112ab－64b2

216

（3）已知x=a -b，求

x22axb2a2．

【题型三】 十字相乘法

例1 因式分解(1) x10x9； (2) x3x10

…

2【训练1】因式分解

x5x6___ __ __ ____ （2）x5x6___ __ __ _____（1）

（3）x5x6___ __ __ ____ （4）x5x6___ __ __ ____ 例2 分解因式：（1）2x27x3； （2）6x27x5

【训练1】因式分解

（1）2x2 ＋7x＋3 （2）3x2 －5x＋2

（3）2x2 ＋5x－7 （4）5x2 －3x－2 `

【题型四】分组分解法 例1 四项

1. 将x3-x2y-xy2+y3分组分解，下列的分组方法不恰当的是 A．（x3-x2y）+（-xy2+y3） B．（x3-xy2）+（-x2y+y3） C．（x3+y3）+（-x2y-xy2） D．（x3-x2y-xy2）+y3 2.将下列各式因式分解

(1) 7x2-3y+xy-21x (2)5x15xx3 (3)

!

2222321n2m2m (4) 1-x2+4xy-4y2 4

例2 五项

432(1) xx4x3x3 (2) xx2xyyy

3223

(3) a4ab4b2a4b (4)a4ab4bac2bc

例3 六项 !

(1)axbxbxaxab (2)2ax4bx2x3ay6by3y

(3)aaa2a2a2 (4)ax2bycx2aybx2cy

5432222222

【强化训练】

1、a5－a 2、16ab1 3、a2＋2ab＋b2－a－b

4、3x12x 5、a2bc－3a2c2＋8abc－6ac2 6、2x2x

-

22321 27、(2xy)(x2y) 8、（y2＋3y）－（2y＋6）2

9、16a2－9b2 10、4x2－12x＋9 11、4x3＋8x2＋4x

12、3m(a－b)3－18n(b－a)3 13、20a3x－45ay2

14、(m＋n)2－(m－n)2 15、(x2＋1)2－4x2

2216、6x2＋13x＋5 17、4x2－12x＋5 18、9x2－35x－4 《

19、2x2＋x－1 20、2x2-5x-3 21、5x2-21x+18

22、2x2x3 23、 2x25x7 24、3a22a1

22225、3b14b5 26、3a4a4 27、2b7b15

28、(x23)24x2； 29、x2(x2)29； 30、 (3x22x1)2(2x23x3)2；

31、(x2x)217(x2x)60； 32、(x22x)27(x22x)8； $

【复习提高】

1. 2x4y2－4x3y2＋10xy4 2. 5xn+1－15xn＋60xn—1

3.3ab124a3b1 4. a2b22ab4

25. x3x2x1 6.xyy212xyy236y2y4

22247. x2xy12xxy36xyxy

8.已知x2+y2-4x+6y+13=0,求x,y. 9、已知x＋y=4,xy=,求x3y＋2x2y2＋xy3的值。

11、

已知a、b、c是△ABC的三边，且满足abcabbcac，求证：△

222ABC为等边三角形。 12、

计算：11111111 22329210213、计算：2002200120001999199821

222222214、已知：m2＝n＋2，n2＝m＋2(m≠n)，求：m3－2mn＋n3的值。

15、11111122324211••121299100 16、若mn10，mn24，则m2n2 .

ba17、已知a2b26a8b250，则代数式的值是_______________。

ab18、已知：x22xy26y100，则x_________，y_________。