一、选择题（共12小题）
1．设集合A＝{x|﹣2＜x≤2，x∈Z}，B＝{x|log2x＜1}，则A∩B＝（ ） A．（0，2）
B．（﹣2，2]
C．{1}
D．{﹣1，0，1，2}
，以
2．在复平面内，复数z＝a+bi（a，b∈R）对应向量（O为坐标原点），设
射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为θ，则z＝r（cosθ+isinθ），法国数学家棣莫弗发z1＝r1现了棣莫弗定理：（cosθ1+isinθ1），z2＝r2（cosθ2+isinθ2），则z1z2＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ），已知A．
B．4
，则||＝（ ）
C．
D．16
3．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）
A．甲的数据分析素养优于乙
B．乙的数据分析素养优于数学建模素养 C．甲的六大素养整体水平优于乙 D．甲的六大素养中数学运算最强
4．已知sinα﹣2cosα＝1，α∈（π，），则＝（ ）
A．﹣ B．﹣2 C．
，
D．2
，则λ+μ＝（ ）
5．在△ABC中，点D是线段BC上任意一点，
A． B．﹣2 C． D．2
6．设椭圆的右顶点为A，右焦点为F，B、C为椭圆上关于原
点对称的两点，直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点，则椭圆E的离心率是（ ）A．
B．
C．
D．
7．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：n＝2及n＝3时，如图：
记Sn为每个序列中最后一列数之和，则S6为（ ） A．147 8．已知函数
B．294
C．882
D．1764
为奇函数，则m＝（ ）
A． B．1 C．2 D．3
9．已知正四面体的内切球体积为v，外接球的体积为V，则＝（ ） A．4
B．8
C．9
D．27
10．要得到函数f（x）＝sin（3x+A．向右平移B．向右平移C．向左平移
）的导函数f′（x）的图象，只需将f（x）的图象（ ）
个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（ 横坐标不变） 个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的3倍（ 横坐标不变） 个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的 3倍（ 横坐标不变）
D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 3倍（ 横坐标不变）
11．已知平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，CD⊥AD，且AB＝3，AD＝CD＝6，ADEF是正方形，在正方形ADEF内部有一点M，满足MB，MC与平面ADEF所成的角相等，则点M的轨迹长度为（ ） A．
B．16
C．
D．8π
12．已知y＝ax+b与函数f（x）＝2lnx+5和g（x）＝x2+4都相切，则不等式组所确定的平面区域在x2+y2+2x﹣2y﹣22＝0内的面积为（ ） A．2π 二、填空题
13．设x1、x2、x3、x4为互不相等的正实数，随机变量X和Y的分布列如表，若记DX，DY分别为X，Y的方差，则DX DY．（填＞，＜，＝）
X Y P
x1
x2
x3
，则x4
B．3π
C．6π
D．12π
14．△ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知∠B＝ ． 15．若双曲线C：值 ．
（a＞0，b＞0）的顶点到渐近线的距离为，则
的最小
16．若奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），g（x）为R上的单调函数，对任意实数x∈R 都有g[g（x）﹣2x+2]＝1，当x∈[0，1]时，f（x）＝g（x），则f（log212）＝ ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
d＞0，a4＝4，a3，a9依次成等比数列，17．已知数列{an}为公差为d的等差数列，且a1，（1）求数列{bn}的前n项和Sn；
．
（2）若，求数列{cn}的前n项和为Tn．
18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝1，AB＝
（1）证明：PA⊥BD；
（2）求二面角A﹣PB﹣C的正弦值．
．
19．已知动圆过定点F（0，1），且与直线l：y＝﹣1相切，动圆圆心的轨迹为C，过F作斜率为k（k≠0）的直线m与C交于两点A，B，过A，B分别作C的切线，两切线的交点为P，直线PF与C交于两点M，N． （1）证明：点P始终在直线l上且PF⊥AB； （2）求四边形AMBN的面积的最小值．
20．2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（CoronavirusDisease2019，COVID﹣19），简称“新冠肺炎”，下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图．
为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y与时间变量t的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量t的值依次1，2，10）建立模型
和
与
．
哪一个适宜作为累计确诊人数y与时间
（1）根据散点图判断，
变量t的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）； （2）根据（1）的判断结果及附表中数据，建立y关于t的回归方程；
（3）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题：
时间
累计确诊人数的真实数据
1月25日 1月26日 1975
2744
1月27日 1月28日 1月29日 4515
5974
7111
（i）当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？ （ii）2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），……，（un，vn），其回归直线v＝α+βu的
斜率和截距的最小二乘估计分别为：．
参考数据：其中
．
1.511 1.512 1.513 1.514 1.515
5.5 390 19 385 7640 31525 154700 100 150 225 338 507
21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax+a，其中a＞0． （1）讨论函数f（x）的零点个数； （2）求证：ex+sinx＞xlnx+1．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知C1：x2+y2﹣2y＝0，C2：（1）求C1与C2的极坐标方程；
（2）若C1与C3交于点A，C2与C3交于点B，|OA|＝λ|OB|，求λ的最大值． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝2|x|+|x﹣4|，设f（x）的最小值为m． （1）求m的值；
（2）是否存在实数a，b，使得
？并说明理由．
：kx﹣y＝0（k＞0）．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{x|﹣2＜x≤2，x∈Z}，B＝{x|log2x＜1}，则A∩B＝（ ） A．（0，2）
B．（﹣2，2]
C．{1}
D．{﹣1，0，1，2}
【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可． 解：∵A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜2}， ∴A∩B＝{1}． 故选：C．
2．在复平面内，复数z＝a+bi（a，b∈R）对应向量
（O为坐标原点），设
，以
射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为θ，则z＝r（cosθ+isinθ），法国数学家棣莫弗发z1＝r1现了棣莫弗定理：（cosθ1+isinθ1），z2＝r2（cosθ2+isinθ2），则z1z2＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ），已知A．
B．4
，则||＝（ ）
C．
D．16 ，则
求解．
，
＝
．
，
＝
【分析】由已知可得
，再由
解：∵∴则故选：D．
3．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）
A．甲的数据分析素养优于乙
B．乙的数据分析素养优于数学建模素养 C．甲的六大素养整体水平优于乙 D．甲的六大素养中数学运算最强
【分析】结合已知图形分析甲乙各素养数值，比较即可判断选项是否正确． 解：甲乙的六大素养指标如下表：
结合表格中数据可知，A：甲的数据分析素养优于乙，故A正确； B：乙的数据分析优于数学建模素养相同；故B正确； C：甲的六大素养整体水平优于乙，故C正确；
D：甲的六大素养中，直观想象，数据分析与逻辑推理能力最强，故D错误．
甲 乙 故选：D．
数学抽象 80 60
数学建模 80 60
直观想象 100 60
数学运算 80 100
数据分析 100 80
逻辑推理 100 80
4．已知sinα﹣2cosα＝1，α∈（π，），则＝（ ）
A．﹣ B．﹣2 C． D．2
【分析】推导出∈（），tan∈（﹣1，0），＝，由
此利用sinα﹣2cosα＝1，α∈（π，），能求出的值．
解：∵α∈（π，），∴∈（），∴tan∈（﹣1，0），
∴＝
＝
＝＝，
∵sinα﹣2cosα＝1，α∈（π，），
∴＝＝﹣2．
故选：B．
5．在△ABC中，点D是线段BC上任意一点，A．
B．﹣2
，C．
，则λ+μ＝（ ）D．2
，从而可得
【分析】可画出图形，根据条件可得出点M为AD的中点，并可设出
解：如图，
，然后根据平面向量基本定理即可得出λ+μ的值．
∵，
，
∴M为AD的中点，且设
∴∴故选：A． 6．设椭圆
＝
．
＝＝，
的右顶点为A，右焦点为F，B、C为椭圆上关于原
点对称的两点，直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点，则椭圆E的离心率是（ ）A．
B．
C．
D．
【分析】由题意可得A，F的坐标，设B，C的坐标，由题意可得B，F，M三点共线，即斜率相等可得a，c的关系，求出离心率．
解：由题意可得右顶点A（a，0），F（c，0），设B（﹣x1，﹣y1），C（x1，y1）， 因为直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点，所以M（
，
），
所以B，F，M三点共线，即＝，可得c+x1＝x1+a﹣2c，可得a＝3c，
所以离心率为：＝， 故选：C．
7．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：n＝2及n＝3时，如图：
记Sn为每个序列中最后一列数之和，则S6为（ ）
A．147 B．294 C．882 D．1764
【分析】根据题意，写出n＝6时的序列图，求出最后一列，相加即可． 解：当n＝6时，序列如图： 1 6 3 2 1 6 3 2 1
30 15 10 6 5
60 30 20 15 12 10
故S6＝60+30+20+15+12+10＝147， 故选：A． 8．已知函数
为奇函数，则m＝（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【分析】根据题意，由奇函数的定义可得＝﹣
，变形分析可得答案．
解：根据题意，函数 为奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x），
即＝﹣，
变形可得：（1﹣x）（m+x）＝（1+x）（m﹣x），
整理变形可得：（m﹣1）x＝0，即m＝1； 故选：B．
9．已知正四面体的内切球体积为v，外接球的体积为V，则＝（ ） A．4
B．8
C．9
D．27
【分析】由题意画出图形，设正四面体的棱长为a，分别把正四面体外接球与内切球的半径用a表示，再由体积公式求解． 解：如图，
设正四面体的棱长为a，过定点P作底面垂线PG，则G为底面三角形的中心， 连接AG并延长，角BC于D，可得AD＝
AG＝，
PG＝，
，
设正四面体的内切球与外接球的球心为O，连接AO， 设正四面体的内切球的半径为r，外接球的半径为R， 在Rt△OGA中，由勾股定理可得由等积法可得解得R＝
，r＝
．
，
，
∴＝＝27．
故选：D．
10．要得到函数f（x）＝sin（3x+A．向右平移B．向右平移C．向左平移
）的导函数f′（x）的图象，只需将f（x）的图象（ ）
个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（ 横坐标不变） 个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的3倍（ 横坐标不变） 个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的 3倍（ 横坐标不变）
D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 3倍（ 横坐标不变）
【分析】求导，根据同角的正弦函数图象向左平移四分之一个周期可得同角的余弦函数图象，结合纵向伸缩变换的法则，可得答案． 解：∵函数 f（x）＝sin（3x+∴f′（x）＝3cos（3x+
），
），
要得到函数f′（x）的图象，只需将f（x）的图象： 向左平移
个单位得到y＝cos（3x+
）的图象，
再保持 横坐标不变把各点的纵坐标伸长到原来的 3倍， 故选：D．
11．已知平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，CD⊥AD，且AB＝3，AD＝CD＝6，ADEF是正方形，在正方形ADEF内部有一点M，满足MB，MC与平面ADEF所成的角相等，则点M的轨迹长度为（ ） A．
B．16
C．
D．8π
【分析】建立空间直角坐标，求得B，C和M点坐标，由题意可知2|MB|＝|MC|，利用空间中两点之间的距离公式，即可求得M的轨迹方程，即可求得点M的轨迹长度． 解：由题意可知，以D为原点，分别以DA，DC，DE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，AB＝3，AD＝CD＝6，
则B（6，3，0），C（0，6，0），M（x，0，z），
由直线MB，MC与平面ADEF所成的角，∠AMB，∠DMC，均为锐角， ∴sin∠AMB＝sin∠DMC，即则2
＝＝
，即2|MB|＝|MC|，
，整理得：（x﹣8）2+z2＝16，
由此可得：M在正方形ADEF内的轨迹是以点O（8，0，0）为圆心，以4为半径的圆弧M1M2，
则圆心角∠M1OM2＝
，
＝
，
则圆弧M1M2弧长l，l＝故选：C．
12．已知y＝ax+b与函数f（x）＝2lnx+5和g（x）＝x2+4都相切，则不等式组所确定的平面区域在x2+y2+2x﹣2y﹣22＝0内的面积为（ ） A．2π
【分析】由题意可得
B．3π
，即
C．6π
D．12π
，换元后利用函数零点
的判定列式求解a，b的值，可得不等式组表示的平面区域，画出图形，再由到角公式求两直线的夹角，再由圆的面积公式求解．
解：设直线y＝ax+b与函数f（x）＝2lnx+5相切于P（x1，y1），与g（x）＝x2+4相切于（x2，y2），
∵f′（x）＝，g′（x）＝2x，∴ax1+b＝2lnx1+5，联立以上三式可得：令
，则
，
，
，即
，
，
令h（t）＝，则h′（t）＝（t＞0），
h（t）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 又h（1）＝0，∴h（t）＝有一个根a＝2， ∴b＝3． 则不等式组
化为
，
与x2+y2+2x﹣2y﹣22＝0的区域如图： 只有一个零点t＝1，即方程
仅
在平面直角坐标系内作出
直线x﹣2y+3＝0与直线x+3y﹣2＝0均过圆心（﹣1，1），
设两直线的夹角为θ，由到角公式可得：tanθ＝，则．
∴阴影部分的面积为故选：B．
．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设x1、x2、x3、x4为互不相等的正实数，随机变量X和Y的分布列如表，若记DX，DY分别为X，Y的方差，则DX ＞ DY．（填＞，＜，＝）
X Y P
x1
x2
x3
x4
【分析】根据题意，求出数学期望和方差，根据基本不等式比较即可． 解：EX＝EY＝
，
＝
，
故EX＝EY＝， 所以DX＝DY
＝
＝
， ＝
＝DX，
当且仅当x1＝x2＝x3＝x4时，取等号， 因为x1、x2、x3、x4为互不相等的正实数， 所以DX＞DY， 故答案为：＞．
14．△ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知∠B＝ 150° ．
【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinAcosB+结合sinA≠0，可得cosB＝﹣解：∵
，
sinA，
sinA＝0，
，则
，结合范围B∈（0°，180°）即可求解B的值．
∴由正弦定理可得：2sinBcosA＝2sinC+
∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB， ∴2sinBcosA＝2sinAcosB+2cosAsinB+∵A是三角形内角，sinA≠0， ∴2cosB+
＝0，可得cosB＝﹣
，
sinA，可得：2sinAcosB+
sinA＝0，
∵B∈（0°，180°）， ∴B＝150°． 故答案为：150°． 15．若双曲线C：值 2 ．
【分析】由题意求出双曲线的顶点坐标及渐近线的方程，进而求出顶点到渐近线的距离，
（a＞0，b＞0）的顶点到渐近线的距离为，则
的最小
由题意可得a，c的关系，再由a，b，c的关系求出它的最小值．
的表达式，由均值不等式可得
解：由双曲线的方程可得顶点坐标为：（±a，0），渐近线的方程为：bx±ay＝0， 所以顶点到渐近线的距离为＝
＝
，所以c＝2a，
所以＝＝＝+＝2，
所以的最小值为2，
故答案为：2．
16．若奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），g（x）为R上的单调函数，对任意实数x∈R都有g[g（x）﹣2x+2]＝1，当x∈[0，1]时，f（x）＝g（x），则f（log212）＝
．
【分析】可设g（x）﹣2x+2＝t即g（x）＝2x﹣2+t，结合g（t）＝1可求t，进而可求g（x），然后结合f（x+2）＝﹣f（x），可得f（x+4）＝f（x），代入可求． 解：因为g（x）为R上的单调函数，且对任意实数x∈R都有g[g（x）﹣2x+2]＝1， 故可设g（x）﹣2x+2＝t即g（x）＝2x﹣2+t， 因为g（t）＝2t﹣2+t＝1，故t＝1， 所以g（x）＝2x﹣1，
因为f（x+2）＝﹣f（x），所以f（x+4）＝f（x）， 又x∈[0，1]时，f（x）＝g（x）＝2x﹣1， 则f（log212）＝f（log212﹣4）＝f（
，
故答案为：﹣．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
d＞0，a4＝4，a3，a9依次成等比数列，17．已知数列{an}为公差为d的等差数列，且a1，
．
）＝﹣f（
）＝﹣（
﹣1）＝
（1）求数列{bn}的前n项和Sn； （2）若
，求数列{cn}的前n项和为Tn．
【分析】（1）运用等差数列和等比数列的通项公式、求和公式和等比数列的中项性质，计算可得所求和； （2）求得
和，计算可得所求和．
解：（1）a4＝4，且a1，a3，a9依次成等比数列，∴
，
，再由数列的裂项相消求
即（4﹣d）2＝（4﹣3d）（4+5d），∵d＞0，∴d＝1，a1＝a4﹣3d＝1， ∴an＝1+n﹣1＝n，∴∴
；
，
（2）∵，
∴Tn＝﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝﹣．
18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝1，AB＝
（1）证明：PA⊥BD；
（2）求二面角A﹣PB﹣C的正弦值．
．
【分析】（1）通过证明BD⊥平面PAD，再利用线面垂直的性质定理即可证得PA⊥BD；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PAB及平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．
解：（1）在△ABD中，由正弦定理可得：
，
∴
∴∠ADB＝90°， ∴BD⊥AD， ∵PD⊥底面ABCD， ∴PD⊥BD， ∴BD⊥平面PAD， ∴PA⊥BD；
，
（2）以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， ∵
∴BD＝2， ∴
，
，
设平面ABP的法向量为
，则
，令y＝1，则
，
设平面PBC的法向量为，则，令y1＝1，则
，
则，
∴，
故二面角A﹣PB﹣C的正弦值为．
19．已知动圆过定点F（0，1），且与直线l：y＝﹣1相切，动圆圆心的轨迹为C，过F作斜率为k（k≠0）的直线m与C交于两点A，B，过A，B分别作C的切线，两切线的交点为P，直线PF与C交于两点M，N． （1）证明：点P始终在直线l上且PF⊥AB； （2）求四边形AMBN的面积的最小值．
【分析】（1）先利用定义法求出动圆圆心的轨迹方程C，再设
，通过求导，分别写出切线PA和PB的直线方程，联立
用x1，x2表示出点P的坐标；然后联立直线m的方程和x2＝4y，结合韦达定理，可把点P的坐标表示为（2k，﹣1），最后证明
即可得解；
（2）先利用弦长公式求出|AB|，设直线AB的倾斜角为α，用α分别表示出|AB|和|MN|，然后表示出四边形AMBN的面积，最后利用三角函数求出最小值即可． 解：（1）∵动圆过定点F（0，1），且与直线l：y＝﹣1相切， ∴动圆圆心到定点F（0，1）和定直线y＝﹣1的距离相等， ∴动圆圆心的轨迹C是以F（0，1）为焦点的抛物线， ∴轨迹C的方程为：x2＝4y， 设
，
∵x2＝4y，∴，
∴直线PA的方程为：，即：①，
同理，直线PB的方程为：②，
由①②可得：，
因为过F作斜率为k（k≠0）的直线m，所以直线m方程为：y＝kx+1， 联立
可得：x2﹣4kx﹣4＝0，所以
，
∴P（2k，﹣1）， ∴
，
∴点P始终在直线l上且PF⊥AB．
（2）设直线AB的倾斜角为α，由（1）可得：
＝
∴
∴四边形AMBN的面积为：
当且仅当α＝45°或135°，即k＝±1时取等号， ∴四边形AMBN的面积的最小值为32．
20．2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（CoronavirusDisease2019，COVID﹣19），简称“新冠肺炎”，下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图．
，
，
，
为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y与时间变
量t的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量t的值依次1，2，10）建立模型
和
与
．
哪一个适宜作为累计确诊人数y与时间
（1）根据散点图判断，
变量t的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）； （2）根据（1）的判断结果及附表中数据，建立y关于t的回归方程；
（3）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题：
时间
累计确诊人数的真实数据
1月25日 1月26日 1975
2744
1月27日 1月28日 1月29日 4515
5974
7111
（i）当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？ （ii）2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），……，（un，vn），其回归直线v＝α+βu的
斜率和截距的最小二乘估计分别为：．
参考数据：其中
．
1.511 1.512 1.513 1.514 1.515
5.5 390 19 385 7640 31525 154700 100 150 225 338 507
【分析】（1）直接由散点图得结论； （2）设ω＝1.5t，则
，求出与的值，则回归方程可求；
（3）（i）在（2）中求得的回归方程中，分别取t＝11、12、13求得，再比较误差与0.1的大小得结论；
（ii）在回归方程中取t＝15求得y值，与7111比较大小得结论． 解：（1）根据散点图可知：方程类型； （2）设ω＝1.5t，则
，
适宜作为累计确诊人数y与时间变量t的回归
＝，
，
∴
；
，
， ．
（3）（i）当t＝11时，当t＝12时，当t＝13时，
∴（2）的回归方程可靠； （ii）当t＝15时，
，
10150远大于7111，故防护措施有效． 21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax+a，其中a＞0． （1）讨论函数f（x）的零点个数； （2）求证：ex+sinx＞xlnx+1． 【分析】（1）利用导数得到
，令g（x）＝﹣lnx+x﹣1＝﹣（lnx
﹣x+1），分类讨论a＝1，a＞1以及0＜a＜1时的零点个数即可；
（2）由（1）可知：lnx≤x﹣1，令h（x）＝ex+sinx﹣xlnx﹣1，利用导数即可证得 【解答】（1）解：∵∴当∴f（x）在∴
时，f（x）＞0，当上递增，在
．
，
时，f′（x）＜0，
上递减，
令g（x）＝﹣lnx+x﹣1＝﹣（lnx﹣x+1），
∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）＝0， ∴﹣lna+a﹣1≥0，当且仅当a＝1时取等号． ①a＝1时，f（x）有一个零点； ②a
＞
1
时
，
，此时f（x）有两个零点； ③0＜a＜1时，
，
，令
∴，
∴φ（x）在（0，1）上递增，φ（x）＜φ（1）＝0， ∴
，此时f（x）有两个零点；
综上：a＝1时，f（x）有一个零点；当a＞0且a≠1时，f（x）有两个零点； （2）证明：由（1）可知：lnx≤x﹣1，∴xlnx+1≤x2﹣x+1，ex1≥x，
令h（x）＝ex+sinx﹣x2+x﹣1，h′（x）＝ex+cosx﹣2x+1≥ex﹣2x+1+cosx＞0， ∴h（x）在（0，+∞）上递增，h（x）＞h（0）＝0， ∴ex+sinx＞x2﹣x+1＞xlnx+1．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知C1：x2+y2﹣2y＝0，C2：（1）求C1与C2的极坐标方程；
（2）若C1与C3交于点A，C2与C3交于点B，|OA|＝λ|OB|，求λ的最大值． 【分析】（1）直接利用转换关系的应用求出结果．
（2）利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． 解：（1）∵
，
：kx﹣y＝0（k＞0）．
﹣
转换为直角坐标方程为ρ2＝2ρsinθ，
∴C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ． ∵∴
∴C2的极坐标方程为：
（2）∵C3；kx﹣y＝0（k＞0）， ∴θ＝α（α为锐角）， ∴∴
，
，
，
，
， 当
时，等号成立．
即λ的最大值为． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝2|x|+|x﹣4|，设f（x）的最小值为m． （1）求m的值；
（2）是否存在实数a，b，使得
？并说明理由．
【分析】（1）对分段去绝对值，再求每一段的最小值，可求， （2）先对其相乘得到值，再用不等式去求函数值，矛盾，故不存在．
解：（1），
∴m＝f（0）＝4； （2）若a，b同号，若a，b异号，
故不存在实数a，b，使得
， ，不成立； ，不成立；
．
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