一轮复习 函数的解析式(精编文档).doc

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一轮复习： 第三讲 函 数 解 析 式 的 几种 求 法 一、待定系数法：在已知函数的类型，可用待定系数法。 例1 （1） 设f(x)是一次函数，且f[f(x)]4x3，求f(x)

（2）已知二次函数f(x)满足f(1)1，f(1)5，图象过原点，求f(x)

二、配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。 例2 已知f(x11)x22xx (x0) ，求 f(x)的解析式

三、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。注意所换元的定义域的变化。 例3 （1） 已知f(x1)x22x，（x>1）求f(x).

（2）已知f(x1)x2x，求f(x1)

3f1sinx(cosx)2

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四、代入法：根据已知条件，求函数表达式． 例4已知f(x)x24x3（x>1），求f(x1)

五、相关点法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法 例4已知：函数yx2x与yg(x)的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式

六、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 例5 （1） 设f(x)满足f(x)2f(

（2）已知f(x)满足2f(x)f(x)3x，求f(x)

（3）设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)g(x)【最新整理，下载后即可编辑】

1)x,求f(x) x1,试求f(x)和g(x)的解析x1

式

七、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例7 已知：f(0)1，对于任意实数x、y，等式f(xy)f(x)y(2xy1)恒成立，

求f(x)

八、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。

例8 设f(x)是定义在N上的函数，满足f(1)1，对任意的自然数a,b 都有f(a)f(b)f(ab)ab，求f(x)

函 数 解 析 式 的 几 种 求

一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

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例1 设f(x)是一次函数，且f[f(x)]4x3，求f(x) 解：设f(x)axb (a0)，则

f[f(x)]af(x)ba(axb)ba2xabb

a24 abb3二、

a2a2 　或　　b3b1f(x)2x1　　或　　f(x)2x3

配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容

易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。

11)x22 (x0) ，求 f(x)的解析式 xx111解：f(x)(x)22， x2

xxx例2 已知f(x f(x)x22 (x2)

三、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知f(x1)x2x，求f(x1) 解：令tx1，则t1，x(t1)2

f(x1)x2x f(t)(t1)22(t1)t21,

f(x)x21 (x1)

f(x1)(x1)21x22x (x0)

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数yx2x与yg(x)的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式 解：设M(x,y)为yg(x)上任一点，且M(x,y)为M(x,y)关于点(2,3)的对称点

xx22xx4则yy，解得：

y6y32点M(x,y)在yg(x)上

，

yx2x xx4把代入得：

y6y 整理得yx27x6

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6y(x4)2(x4)

g(x)x27x6

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 例5 设f(x)满足f(x)2f()x,求f(x) 解 1f(x)2f()x

x1x ①

1x显然x0,将x换成，得：

11f()2f(x) xxx2 f(x)33x ②

解① ②联立的方程组，得：

1,试求f(x)和g(x)的解析式 x1例6 设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)g(x)解 

f(x)为偶函数，g(x)为奇函数， f(x)f(x),g(x)g(x)

1 又f(x)g(x) ① ，

x1用x替换x得：f(x)g(x)即f(x)g(x)

1， 2x11② x11 x1

1 2xx解① ②联立的方程组，得

f(x)

g(x)六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例7 已知：f(0)1，对于任意实数x、y，等式f(xy)f(x)y(2xy1)恒成立，

求f(x)

解对于任意实数x、y，等式f(xy)f(x)y(2xy1)恒成立，

不妨令x0，则有f(y)f(0)y(y1)1y(y1)y2y1 再令 yx 得函数解析式为：f(x)x2x1

七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然

后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。

例8 设f(x)是定义在N上的函数，满足f(1)1，对任意的自然数a,b 都有f(a)f(b)f(ab)ab，求f(x)

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解 f(a)f(b)f(ab)ab，a,bN，

不妨令ax,b1，得：f(x)f(1)f(x1)x， 又f(1)1,故f(x1)f(x)x1 ① 分别令①式中的x1,2n1 得：

f(2)f(1)2,f(3)f(2)3,f(n)f(n1)n,

将上述各式相加得：f(n)f(1)23n，

f(n)123nf(x)n(n1) 2

121xx,xN 22

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