２０１２年６月 误区分析 学 谋 ＿＿＿ －＿－－ Ｅｊ 同 中数学解题困惑成因 ⑧江西省会昌中学王少群 反，区间［２，５］是 的取值范围而不是 一１的取值范围，本题只要 解出不等式２≤ 一１≤５即为函数 ）的定义域． 许多刚步入高中的同学学习数学都有一种共同的感觉，那 就是数学课听懂容易但做题难．不会做题、做不对题是许多学生 面临的困惑．那么学生不会做题的症结在哪里？学生真的把数学 课听懂了？本文笔者将通过几个例题，来探讨高一学生数学解题 的困惑及应对策略． 一三、抽象思维不够 数学的最大特点是高度抽象性，而高中数学比初中数学更 加注重数学的抽象化，如果学生的抽象思维没有达到一定的程 、概念理解不透 度，将会对数学解题造成一定影响． 数学概念是抽象化的空间形式和数量关系，是反映数学对 象本质属性的思维形式．数学概念也是数学基础知识和基本技 能的核心，更是数学解题的基础，只有对概念的理解做到全面、 准确、透彻，才能顺利解题． 例１图ｌ中的哪个图可以表示函数？ ｊ 例３已知厂（ ＋ｙ） －ｙ）： ）厂（ｙ），对一切实数 、ｙ都成 立，且，（０）≠０，求证厂（ ）为偶函数． 典型困惑：抽象函数和具体函数不一样，学生看不懂抽象函 数是什么，不知道该从何处下手，也有的学生对函数奇偶性的定 义理解不透造成解题困难． 解题策略：证明抽象函数的一般是从求厂（０）开始，奇函 ４ ＿ 数厂（ｏ）＝０，本题中可以令ｘ＝ｙ＝Ｏ，可解的，（０）＝１．再令ｘ＝Ｏ，可得 ＿厂（ｙ） 一 ）＝ Ｙ），目 ｙ） 一Ｙ），本题证完 ４ ＿ ＿ 四、分类讨论不全 分类讨论思想是高中数学的重要解题思想，分类的要求是 — 图１ 不重不漏，在高一学习中最大的问题是分类不全． 典型困惑：学生对函数概念理解不透，不知道函数本质是从 一例４求函数 ）＝３ｘ －ｘ＋２， ∈［ｍ，ｎ］的最大值． 典型困惑：本题是利用二次函数的性质求最大值的问题，难 点在于由于定义域的不确定，从而无法判断函数在区间内的单 调性，导致学生解题无从下手． 个数集到另一个数集的映射，从而导致无从下手． 解：在以上Ａ、Ｂ、Ｃ图中，所给点集的横坐标数 的集合 ，到 纵坐标Ｙ的集合ｌ，都构不成映射，即它们的对应都是一对多．所以 答案是Ｄ． 解题策略：正确解答本题需要讨论二次函数的对称轴与区 间的位置关系，讨论函数在区间内的单调性． 二、符号认识不清 数学发展到今天，已成为一个符号化的世界．符号就是数学 函数 ）＝３ｘ －ｘ＋２， ∈［ｍ，ｎ］的对称轴为直线 ＝。１，若ｍ≥ ６ １存在的具体化身．数学离不开符号，数学处处要用到符号．数学符 号化也是数学抽象化的基础，在解题中，如果对数学符号认识不 清，将直接导致解题受阻 ＿，则函 ）在区间［ｍ，ｎ］上单调递增，此时函 ）的最大 例２ （１）已知函数ｙ＿厂（ ）的定义域为（０，１］，求ｙ＝ｆ（ｘ ）＋ 厂（ ＋１）的定义域．（２）已知函数，，＝厂（ 一１）的定义域为［２，５］，求 ｙ＝ｆ（ｘ）的定义域． 典型困惑：对函数表达式中的 、ｘ＋ｌ等表示的意义不理解， 也就是对函数表达式中的代表元素理解不透，从而造成解题困 难． 值 ｎ）＝３ｎｚ－ｎ＋２；若ｍ＜÷＜ｎ，则函数 ）在区间［ｍ，ｎ ３￣先增 后减，此时函数 ）的最大值材（吉）： ２３；若ｎ≤吉，则函数 ） 在区间［ｍ，ｎ］上单调递减，此时函数 ）的最大值为厂（ｍ）＝３ｍ２一 ｍ＋２． 解题策略：在（１）中只要将ｙ ） ｘ＋１）的 改成ｔ￣ｌｙ＝ｆ（ｔ ） 五、数形结合不会 数形结合思想在高中数学解题中占有很大的比重，如果能 ＋ ￡＋１），那么就可分别取ｘ＝ｔ２， ＝Ｈ１，而 的取值范围就是ｔ 的范 围，也是抖１的取值范围．因此本题只要解出不等式组｛ 的解就可求得ｙ ） ｘ＋１）的定义域．而（２）题正好与（１）题相 熟练使用数形结合思想，将会大大提高解题效率，相反如果不会 运用数形结合思想将会导致解题受阻 例５设Ａ＝ 一２≤ ≤ｏｌ，Ｂ＝｛ｙｌｙ＝２ｘ＋３，且（下转第９１页） 高中版中’？毒｛Ｉ：・？ 豳 ２０１２年６月 误区分析 学 谋 ：ｃｏｓ￣＋ｓｉｎａ＝－÷， ＋２ｓｉｎ㈣ｓ ＝ １ １ ３ Ｔｆ ｃ 一 一 一…一ｑＴ 盯． ５ ｃｏｓ曰： ２ ４ ４４ ２一吾，ｃｏｓ２ａ＝＋＿ 吾）２＝± ｃｏｓ ＋ｓｉｎａ＝－—１＜ ：ｃｏｓ一，ｆ－，即 ＜Ｂ＜一＂Ｔｉ． １３ ２ ３ ３ ２ ＜０． 则 十Ｂ＜ ，与Ａ＋曰＋ｃ＝百矛盾． 由 ２ｓｉｎ ｃ。ｓ ８知ｓｉｎａ与ｃｏｓ 异号，且负数的绝对值 ＜Ｏ． ９ 则ｃ。 ＝ ４．故ｃ。ｓｃ＝ ‘ 一詈‘ ＝ ． 比正数大． 例７已知在ＡＡＢＣ￣，３ｓｉｎＡ＋４ｃｏｓＢ＝６，４ｓｉｎＢ＋３ｃｏｓＡ＝１，则 角Ｃ的大小． 解：把３ｓｉｎＡ＋４ｃｏｓＢ＝６，４ｓｉｎＢ＋３ｃｏｓＡ＝ｌ两式平方后相加： ２４ｓｉｎ（Ａ＋曰）＝１２．即ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝ｓｉｎＣ＝—１因Ｏｔ∈（０，叮Ｔ），￣１］ｓｉｎａ＞０，ｃｏｓｏ￣＜０，ｌｓｉｎ Ｉ＜Ｉｃ０ｓｄ１ ．３＂Ｒ ４ 孚ｃ２ ２ ｃ２诎… ９． ｃ ＜ ，评注：由两三角函数的“积”可以判断两式是异号还是同号． ． ２ 若为同号．根据“和”可判断两式的正负号．若为负号．根据“和” 可判断两式绝对值的大小． 则ｃ＝詈，或 ５ｇｒ． 四、隐含在三角形内角和中 例６ 已知在△Ａ曰ｃ中，ｓｉｎＡ＝了３ｃｏｓＢ＝５，，当ｃ＝ 求ｃ。ｓｃ的值． ｃ： ． ６ ＜詈删ｃ。 ＞ ． ＮｓｉｎＢ＞０，则４ｓｉｎ ＋３ｃ。 ＞ ＞ｌ，与４ｓｉｎＢ＋３ｃ。 ：１矛盾．故 解：因ｃｏｓＣ＝一ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）＝ｓｉＭｓｉｎＢ—ｃｏｓＡｃｏｓＢ， 即ｓｉｎａ＝一１２ｃ０ｓＡ：±一４．． ’１３ ５ 评注：若在三角形中，我们常常根据内角和定理来排除增 当 。 ：一 时， 根■ （上接第８９页） ＥＡ｝，Ｃ＝｛ｚＩｚ＝ｘ ，且 ∈Ａ｝，若ＣＣ＿Ｂ，求实数ａ的 取值范围． ≤０≤２． ２ 典型困惑：学生不能很好地利用数学结合思想，导致解题困 难． ③当ｎ＞２时，０≤ ａ２，即ｃ＝ ０≤ ≤“ ｝．要使ＣＣ＿Ｂ，必须且只 需ｆ ≤２叶 ，解得２＜。≤３． 解题策略：因ｙ＝２ｘ＋３在［一２，。］上是增函数， 则一ｌ≤ｙ≤２叶３，ｌ￣１］Ｂ＝｛ｙｌ－１≤ｙ≤２。＋３｝． 【ＤＺ． ④当 一２时，Ａ＝ ，此时启＝Ｃ＝ 。Ｎｃｃ＿Ｂ成立． 作出ｚ 。的图象，该函数定义域右端点 ＝。有三种不同的位 置情况如图２所示． 综上所述，。的取值范围是（一 ，一２）ｕ ｆ １，３１． 六、转化思路不畅 “抓基础，重转化”是学好高中数学的金钥匙，恰当地转化能 使复杂的问题简单化、抽象的问题具体化、陌生的问题熟悉化． 例６ 已知集合Ａ＝｛（ ，ｙ）ｌｘ ＋ ＋２＝０， ∈Ｒ｝，曰＝｛（ ，ｙ）ｌｘ— ｙ＋ｌ＝０，０≤ ≤２ｌ，若Ａ ＮＢ＃ ，求实数ｍ的取值范围． 典型困惑：学生不会将集合的问题转化为直线和二次函数 图２ 在区间内的交点问题，从而出现思维短路，无从下手． ①当一２≤ｎ≤邮寸，ａ２＜ｚ≤４，ＲＯＣ＝｛￣ｚｌｚ ≤ ≤４１．要使ＣＣ＿Ｂ，必 须且只需２ｎ＋３≥４，得。≥ ，这与一２≤ ０矛盾． （ 当Ｏ≤ｒＩ≤２时，０≤ｚ≤４，即 Ｃ＝｛ｚ１０≤ｚ≤４｝．要使ＣＧＢ，由图３ 解题策略：由题意知方程组｛ 眦 ＝０’有解即 ＋（ 一 ，【 —ｙ＋ｌ＝０ １）ｘ＋ｌ＝Ｏ有解． 因为 ：０显然不是方程的解．因而有 ：１一ｆ ＋ｌ＿１， （０， 可知，必须且只需｛２。 １＞４，解得 【０≤ａ≤２． ２］，由于 ∈（０，２］时，ｆ ＋ １ ＥＩ２，＋。。），所以ｍ≤一１．・ 高中版中。？擞・？ 纛 蘸蓬