2016年江苏省南通市通州区高三查缺补漏数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1．设集合A={1，2，3，5}，B={2，3，6}，则A∪B=______． 2．复数z满足iz=i+1，则z共轭复数为______．
3．已知一组数据3，5，4，7，6，那么这组数据的标准差为______． 4．如图是一个算法流程图，则输出k的值是______．
5．袋中有形状、大小都相同的5只球，其中有2只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为______．
6．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为______．
7．已知圆（x+1）2+y2=4与抛物线y2=2px（p＞0）的准线交于A、B两点，且AB=2，则p的值为______．
8．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2016π）成立，则ω的最小值为______． 9．在正项等比数列{an}中，若3a1，
10．若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则
成等差数列，则
=______．
的值等于______．
11．已知函数f（x）=的取值范围是______．
（k∈R），若函数y=|f（x）|+k有三个零点，则实数k
12．O为直角顶点．已知直角△AOB的面积为1，设向量=则
的最大值为______．
， =， =+2，
13．已知实数x，y满足，则的最小值为______．
14．已知函数f（x）=ax﹣x2﹣lnx，若函数f（x）存在极值，且所有极值之和小于5+ln2，则实数a的取值范围是______．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（tanA+tanC，），=（tanAtanC﹣1，1），且∥． （1）求角B；
（2）若b=2，求△ABC的面积的最大值． 16．在三棱锥P﹣ABC中，D为AB的中点．
（1）与BC平行的平面PDE交AC于点E，判断点E在AC上的位置并说明理由如下： （2）若PA=PB，且△PCD为锐角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求证：AB⊥PC．
17． 如图，景点A在景点B的正北方向2千米处，景点C在景点B的正东方向千米处．（Ⅰ）游客甲沿CA从景点C出发行至与景点B相距千米的点P处，记∠PBC=α，求sinα的值；
（Ⅱ）甲沿CA从景点C出发前往景点A，乙沿AB从景点A出发前往景点B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时．若甲乙两人之间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话距离为3千米，问有多长时间两人不能通话？（精确到0.1小时，参考数据：）
18．已知椭圆C：
F2构成三角形MF1F2的上顶点M与左、右焦点F1、．
面积为，又椭圆C的离心率为
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值． 19．已知函数f（x）=x﹣1﹣a（x﹣1）2﹣lnx（a∈R）． （1）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣x+1有一个极小值点和一个极大值点，求a的取值范围； （3）若存在k∈（1，2），使得当x∈（0，k]时，f（x）的值域是[f（k），+∞），求a的取值范围．注：自然对数的底数e=2.71828…
20．数列{an}的前n项和记为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“G数列”．
（1）若数列{an}的通项公式an=2n，判断{an}是否为“G数列”； （2）等差数列{an}，公差d≠0，a1=2d，求证：{an}是“G数列”；
（3）设Sn与an满足（1﹣q）Sn+an+1=r，其中a1=2t＞0，q≠0．若{an}是“G数列”，求q，r满足的条件．
[选修4-2：矩阵与变换] 21．求曲线|x|+|y|=1在矩阵M=
[选修4-4：极坐标与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为且曲线C上的点M（2，
）对应的参数φ=
（a＞b＞0，φ为参数），
对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．
，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立
极坐标系．
（1）求曲线C的普通方程； （2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+
）是曲线C上的两点，求
+
的值．
23． 在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛．（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X的数学期望；
（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？
24．已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），点R（1，2）在抛物线C上． （1）求抛物线C的方程；
（2）过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B．若直线AR，BR分别交直线l：y=2x+2于M，N两点，求线段MN最小时直线AB的方程．
2016年江苏省南通市通州区高三查缺补漏数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1．设集合A={1，2，3，5}，B={2，3，6}，则A∪B= {1，2，3，5，6} ． 【考点】并集及其运算．
【分析】直接利用集合的并集的定义求解即可．
【解答】解：集合A={1，2，3，5}，B={2，3，6}，则A∪B={1，2，3，5，6}． 故答案为：{1，2，3，5，6}．
2．复数z满足iz=i+1，则z共轭复数为 1+i ． 【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】根据复数的有关概念进行计算即可得到结论． 【解答】解：由iz=i+1得z=
，
故=1+i， 故答案为：1+i
3．已知一组数据3，5，4，7，6，那么这组数据的标准差为 ． 【考点】极差、方差与标准差．
【分析】先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出这组数据的标准差．
【解答】解：∵一组数据3，5，4，7，6， ∴这组数据的平均数=（3+5+4+7+6）=5， ∴这组数据的方差为：
S2= [（3﹣5）2+（5﹣5）2+（4﹣5）2+（7﹣5）2+（6﹣5）2]=2， ∴这组数据的标准差S=．
4．如图是一个算法流程图，则输出k的值是 6 ．
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序是计算S的值，输出满足S≤0时k的值． 【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下； k=1，S=40，S≤0？，N，S=40﹣2=38； k=2，S≤0？N，S=38﹣22=34； k=3，S≤0？，N，S=34﹣23=26； k=4，S≤0？，N，S=26﹣24=10； k=5，S≤0？，N，S=10﹣25=﹣22； k=6，S≤0？Y，输出k=6． 故答案为：6．
5．袋中有形状、大小都相同的5只球，其中有2只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为
．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出这2只球颜色不同的概率．
【解答】解：袋中有形状、大小都相同的5只球，其中有2只红球，3只白球， 从中随机一次摸出2只球，基本事件总数n=这2只球颜色不同包含的基本事件个数m=∴这2只球颜色不同的概率p==故答案为：．
6．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为 4+4 ． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】由已知中正四棱锥的底面边长为2，高为2，求出棱锥的侧高，进而求出棱锥的侧面积，加上底面积后，可得答案．
．
=10，
，
【解答】解：如下图所示：正四棱锥S﹣ABCD中，AB=BC=CD=AD=2，S0=2，E为BC中点，
在Rt△SOE中，OE=AB=1， 则侧高SE=
=
，
故棱锥的表面积S=2×2+4×（×2×）=4+4．
故答案为：4+4．
7．已知圆（x+1）2+y2=4与抛物线y2=2px（p＞0）的准线交于A、B两点，且AB=2，则p的值为 4 ．
【考点】抛物线的简单性质．
22
【分析】先求出抛物线的准线方程，代入到圆（x+1）+y=4中，求出y的值，再根据|AB|=|y2﹣y1|即可求出答案．
【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣，设A、B两点坐标为（﹣，y1），（﹣，y2）， ∴（﹣+1）2+y2=4， 即y2=4﹣（﹣+1）2， ∴y=±
∴|AB|=|y2﹣y1|=2∴4﹣（﹣+1）2=3，
解得p=4， 故答案为：4．
8．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2016π）成立，则ω的最小值为 【考点】正弦函数的图象．
．
，
=2
，
【分析】根据条件f（x0）≤f（x）≤f（x1+2016π）成立得到函数的最大值和最小值，结合三角函数的周期的性质建立不等式关系即可得到结论． 【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），如果存在实数x0， 使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2016π）成立， 则f（x0）为函数的最小值，f（x0+2016π）为函数的最大值， 则x0+2016π﹣x0=n•=2016π，∵T=即ω=故答案为：
9．在正项等比数列{an}中，若3a1，【考点】等比数列的通项公式．
【分析】设正项等比数列{an}的公比为q＞0，根据3a1，×
=3a1+2a2，即
成等差数列，可得：2
成等差数列，则
=
．
×=．
，∴
=2016π，
为最小值，
，∵n∈N•，∴当n=1时，ω=
=3a1+2a1q，解出q，再利用等比数列的通项公式即可得出．
成等差数列，
【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q＞0，∵3a1，∴2×
=3a1+2a2，即
=3a1+2a1q，
∴q2﹣2q﹣3=0，q＞0， 解得q=3． 则
=
=．
故答案为：．
10．若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则
的值等于 ．
【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．
【分析】由条件利用两角和差的余弦公式、二倍角的余弦公式、同角三角函数的基本关，求得要求式子的值．
【解答】解：∵点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，∴sinα=﹣2cosα，即tanα=﹣2， ∴
=cos2α﹣
sin2α=•
﹣
•
=•﹣•
=•﹣•
．
=，
故答案为：
11．已知函数f（x）=（k∈R），若函数y=|f（x）|+k有三个零点，则实数k
的取值范围是 k≤﹣2 ．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】由题意可得|f（x）|=﹣k≥0，进而可得k≤0，作出图象，结合图象可得答案． 【解答】解：由y=|f（x）|+k=0得|f（x）|=﹣k≥0， 所以k≤0，作出函数y=|f（x）|的图象，
由图象可知：要使y=﹣k与函数y=|f（x）|有三个交点， 则有﹣k≥2，即k≤﹣2， 故答案为：k≤﹣2．
12．O为直角顶点．已知直角△AOB的面积为1，设向量=则的最大值为 1 ．
【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】设
=x，
=y，用
表示出
，得出
关于x，y的函数，利， =
， =+2，
用基本不等式得出最值．
【解答】解：设OA=x，OB=y，则xy=2，∵OA⊥OB，∴． ∵=
， =
，∴
=
=1．
=x， =y，
∴==（x﹣1）﹣2.==﹣+（y﹣2）．
∴=[（x﹣1）﹣2]•[﹣+（y﹣2）]=（1﹣x）﹣2（y﹣2）=5﹣（x+2y） ．
=4． ∵x+2y≥2
∴5﹣（x+2y）≤1． 故答案为：1．
13．已知实数x，y满足，则的最小值为 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用换元法，结合分式函数的性质，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x＞0，y＞0，
则==1+=1+，
设k=，（k＞0），则y=kx
则1+=1+=1+，
设y=2k+，
由由图象知当直线y=kx和AB：y=x重合时，k取得最大值，此时k=1， 当y=kx与y=x2+相切时，直线y=kx的斜率最小， 由y=x2+=kx， 即x2﹣4kx+1=0，
则判别式△=16k2﹣4=0，
得k2=，得k=或k=﹣（舍）， 即≤k≤1，
y=2k+的导数y′=2﹣=，
则由y′＞0得＜k≤1，即函数y=2k+为增函数，
由y′＜0得≤k＜，即函数y=2k+为减函数，
故当k=时，y取得极小值同时也是最小值y=×2+==2，
当k=1时，y=2+1=3， 当k=时，y=2×+2=3， 即y的最大值为3， 则2≤y≤3， 要求1+
=1+的最小值，即求y的最大值，
即当y=3时，1+取得最大值1+=1+=1+=，
故的最小值为，
故答案为：
14．已知函数f（x）=ax﹣x2﹣lnx，若函数f（x）存在极值，且所有极值之和小于5+ln2，则实数a的取值范围是 （2，4） ． 【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】由f（x）存在极值，得到其导数值在（0，+∞）上有根，设出方程的根，由根与系数的关系，得到不等式解出即可． 【解答】解：f（x）=﹣
，
∵f（x）存在极值，
∴f′（x）=0在（0，+∞）上有根，
即方程2x2﹣ax+1=0在（0，+∞）上有根． 设方程2x2﹣ax+1=0的两根为x1，x2，
由韦达定理得：，
所以方程的根必为两不等正根．
f（x1）+f（x2）=a（x1+x2）﹣（x12+x22）﹣（lnx1+lnx2） =
﹣
+1﹣ln＜5﹣ln，∴a2＜16，﹣4＜a＜4，
由△=a2﹣8＞0，解得：a＞2， 故所求a的取值范围为（2，4）， 故答案为：（2，4）
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（tanA+tanC，），=（tanAtanC﹣1，1），且∥． （1）求角B；
（2）若b=2，求△ABC的面积的最大值． 【考点】正弦定理；基本不等式． 【分析】（1）通过两向量平行，求得tanA和tanC的关系，求得tanB，进而求得B．
（2）利用余弦定理求得a和c的关系式，利用基本不等式的性质求得ac的最大值，进而利用三角形面积公式求得其最大值． 【解答】解：（1）∵m∥n， ∴， ∴
∴
∵B∈（0，π）， ∴
．
，即，
，
（2）在△ABC中，由余弦定理有，∴a2+c2=ac+4， ∵a2+c2≥2ac，
∴ac≤4，当且仅当a=c=2时，取等， ∴△ABC的面积
，
，
故△ABC的面积的最大值为．
16．在三棱锥P﹣ABC中，D为AB的中点．
（1）与BC平行的平面PDE交AC于点E，判断点E在AC上的位置并说明理由如下： （2）若PA=PB，且△PCD为锐角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求证：AB⊥PC．
【考点】平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）根据线面平行的性质进行判断即可： （2）根据面面垂直的性质定理进行证明． 【解答】（1）解：E为AC中点．理由如下： 平面PDE交AC于E，
即平面PDE∩平面ABC=DE，
而BC∥平面PDF，BC⊂平面ABC， 所以BC∥DE，
在△ABC中，因为D为AB的中点，所以E为AC中点； （2）证：因为PA=PB，D为AB的中点， 所以AB⊥PD，
因为平面PCD⊥平面ABC，平面PCD∩平面ABC=CD， 在锐角△PCD所在平面内作PO⊥CD于O， 则PO⊥平面ABC， 因为AB⊂平面ABC， 所以PO⊥AB
又PO∩PD=P，PO，PD⊂平面PCD， 则AB⊥平面PCD， 又PC⊂平面PCD， 所以AB⊥PC．
17． 如图，景点A在景点B的正北方向2千米处，景点C在景点B的正东方向千米处．（Ⅰ）游客甲沿CA从景点C出发行至与景点B相距千米的点P处，记∠PBC=α，求sinα的值；
（Ⅱ）甲沿CA从景点C出发前往景点A，乙沿AB从景点A出发前往景点B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时．若甲乙两人之间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话距离为3千米，问有多长时间两人不能通话？（精确到0.1小时，参考数据：）
【考点】解三角形的实际应用． 【分析】（Ⅰ）在Rt△ABC中，求出∠C=30°，在△PBC中，由余弦定理，求得PC，在△PBC中，由正弦定理求sinα的值；
（Ⅱ）设甲出发后的时间为t小时，①当1≤t≤4时，乙在景点B处，甲在线段PA上，甲乙间的距离d≤BP＜3，此时不合题意；…
②当0≤t＜1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，在△AMQ中，由余弦定理可得结论． 【解答】解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，，∴∠C=30° 在△PBC中，由余弦定理得BC2+PC2﹣2BC•PC•cos30°=BP2，即
化简，得PC2﹣6PC+5=0，解得PC=1或PC=5（舍去） … 在△PBC中，由正弦定理得
，即
∴…
（Ⅱ）Rt△ABC中，
AM=4设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，﹣t
在△PBC中，由余弦定理得BC2+PC2﹣2BC•PC•cos30°=BP2， 即
，化简得PC2﹣6PC+5=0
解得PC=1或PC=5（舍去）
①当1≤t≤4时，乙在景点B处，甲在线段PA上，甲乙间的距离d≤BP＜3，此时不合题意；…
②当0≤t＜1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t
22
MQ2=在△AMQ中，由余弦定理得，（4﹣t）+（2t）﹣2×2t×（4﹣t）×cos60°=7t2﹣16t+16 令MQ＞3即MQ2＞9，得7t2﹣16t+7＞0，解得∴综上，当又
18．已知椭圆C：
F2构成三角形MF1F2的上顶点M与左、右焦点F1、．
…
时，甲、乙间的距离大于3米．
，故两人不能通话的时间大约为0.6小时 …
或
面积为，又椭圆C的离心率为
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值． 【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由椭圆的上顶点M与左、右焦点构成三角形面积为a，b，由此能求出椭圆C的方程．
S△TMN=|MN||t|=|t|，y=（2）直线TM的方程为：
y=，直线TN的方程为：
，
，离心率为
，求出
F、E到直线TN：3x﹣ty﹣t=0的距离和TF，求出E、从而得到k=由此能求出k的最大值．
【解答】解：（1）椭圆离心率e==又，a2=b2+c2， 解得a=2，b=1， ∴椭圆C的方程为
．
，
=，
（2）∵S△TMN=|MN||t|=|t|，
直线TM的方程为：y=，
联立，得，
∴E（，），
直线TN的方程为：y=，
联立，得，
∴F（，），
∵E到直线TN：3x﹣ty﹣t=0的距离：
d==，
TF=
=
=
=，
∴S△TEF=
==，
∴S△TEF=
==，
∴k==，
令t2+12=n＞12，则k=当且仅当n=24，即t=∴k的最大值为．
=1+
时，等号成立，
≤，
19．已知函数f（x）=x﹣1﹣a（x﹣1）2﹣lnx（a∈R）． （1）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣x+1有一个极小值点和一个极大值点，求a的取值范围； （3）若存在k∈（1，2），使得当x∈（0，k]时，f（x）的值域是[f（k），+∞），求a的取值范围．注：自然对数的底数e=2.71828…
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）求出g（x）的导数，得到关于a的不等式组，解出验算即可；
（3）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围确定函数的单调区间，得到关于a的不等式，解出即可． 【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）． 当a=0时，
．…
f'（x）＜0⇔0＜x＜1； f'（x）＞0⇔x＞1． 所以，函数f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．… （2）g（x）=﹣a（x﹣1）2﹣lnx，则
令h（x）=2ax2﹣2ax+1（x＞0），若函数g（x）有两个极值点， 则方程h（x）=0必有两个不等的正根，设两根为x1，x2，
．…
于是…
解得a＞2．…
当a＞2时，h（x）=0有两个不相等的正实根，设为x1，x2，不妨设x1＜x2， 则
．
当0＜x＜x1时，h（x）＞0，g'（x）＜0，g（x）g'（x）＞0 在（0，x1）上为减函数；
当x1＜x＜x2时，h（x）＜0，g（x）在（x1，x2）上为增函数；
当x＞x2时，h（x）＞0，g'（x）＜0，函数g（x）在（x2，+∞）上为减函数．
由此，x=x1是函数g（x）的极小值点，x=x2是函数g（x）的极大值点．符合题意． 综上，所求实数a的取值范围是（2，+∞）．…
（3）．…
①当a≤0时，．
当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）在（0，1）上为减函数； 当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上为增函数．
所以，当x∈（0，k]（1＜k＜2）时，f（x）min=f（1）=0＜f（k），f（x）的值域是[0，+∞）．
不符合题意．… ②当a＞0时，
．
（ i）当x ，即
时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：
+ 增函数 ，即
．…
1 0 极大值 （1，+∞）﹣ 减函数 ．
f'（x） ﹣ f（x） 减函数 0 极小值 若满足题意，只需满足整理得
令，当时，，
所以F（a）在所以，当可见，当故若
时，时，
上为增函数，
．
恒成立．
，当x∈（0，k]（1＜k＜2）时，函数f（x）的值域是[f（k），+∞）．
所以满足题意．…（ ii）当，即时，，当且仅当
x=1时取等号．
所以f（x）在（0，+∞）上为减函数．从而f（x）在（0，k]上为减函数．符合题意．… （ iii）当x ，即
时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
+ 增函数 0 极大值 ﹣ 减函数 1 （0，1）0 极小值0 f'（x） ﹣ f（x） 减函数
若满足题意，只需满足f（2）＜f（1），且且又
．
，所以a＞1﹣ln2．此时，
（若，不符合题意），即a＞1﹣ln2，
．
综上，a＞1﹣ln2．
所以实数a的取值范围是（1﹣ln2，+∞）．…
20．数列{an}的前n项和记为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“G数列”．
（1）若数列{an}的通项公式an=2n，判断{an}是否为“G数列”； （2）等差数列{an}，公差d≠0，a1=2d，求证：{an}是“G数列”；
（3）设Sn与an满足（1﹣q）Sn+an+1=r，其中a1=2t＞0，q≠0．若{an}是“G数列”，求q，r满足的条件．
【考点】等差数列的前n项和． 【分析】（1）通过n=1，a1=S1=2，然后求解数列的Sn，利用新定义判断即可． （2）求出Sn，对任意n∈N*，存在m∈N*使Sn=am，利用新定义判断即可．
（3）n≥2时，推出an+1=qan，求出，通过q=1时，推出{an}不是“G数列”，q≠1时，求出Sn，利用新定义推出q=2，r=0，t＞0的正实数 【解答】解：（1）n=1，a1=S1=2， 当n≥2时，Sn=
=2n﹣1
∴2n﹣1是奇数，2m是偶数， ∴2n﹣1≠2m，
∴{an}不是“G数列”
（2）Sn=na1+n（n﹣1）d=2dn+n（n﹣1）d=n（n+3）d，am=a1+（m﹣1）d=（m+1）d 对任意n∈N*，存在m∈N*使Sn=am，即n（n+3）d=（m+1）d， ∵公差d≠0，
∴n（n+3）=2（m+1）， ∵n，n+3是一奇一偶， ∴m一定是自然数，
∴{an}是“G数列”；
（3）n≥2时（1﹣q）Sn+an+1=r，（1﹣q）Sn﹣1+an=r（1﹣q）an+an+1﹣an=0， ∴an+1=qan，
（1﹣q）×2t+a2=ra2=r+2qt﹣2t=p， ∴an=
．
q=1时，an=，Sn=2t+（n﹣1）r=r不恒成立 显然{an}不是“G数列”，
q≠1时，Sn=2t+
=2t+﹣，
n=1，S1=a1，{an}是“H数列”，所以对任意n≥2时，存在m∈N*成立， ∴Sn=2t+∴q=2，由2t+
﹣
=pqm﹣2可得
=pqm﹣2，即qn﹣1=（q﹣1）qm﹣2，解得q=2，
，得p=2t，
由r+2qt﹣2t=p，∴r+4t﹣2t=2t，r=0， ∴q=2，r=0，t＞0的正实数．
[选修4-2：矩阵与变换] 21．求曲线|x|+|y|=1在矩阵M=【考点】几种特殊的矩阵变换． 【分析】将曲线|x|+|y|=1在矩阵M=围成的图形即可得到结论．
【解答】解：设曲线|x|+|y|=1上（x0，y0）在矩阵M=线对应点为（x，y）， ∴
[
]=[]，即x0=x，y0=3y，
对应的变换作用下得到的曲
对应的变换作用进行化简，作出表示的曲线所对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．
代入|x|+|y|=1中得：|x|+|3y|=1， 当x≥0，y≥0时，方程等价于x+3y=1； 当x≥0，y≤0时，方程等价于x﹣3y=1； 当x≤0，y≥0时，方程等价于﹣x+3y=1； 当x≤0，y≤0时，方程等价于﹣x﹣3y=1， 其图象为菱形ABCD， 则曲线|x|+|y|=1在矩阵M=
对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积为×
2×=．
[选修4-4：极坐标与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为且曲线C上的点M（2，
）对应的参数φ=
（a＞b＞0，φ为参数），
，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立
极坐标系．
（1）求曲线C的普通方程； （2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+
）是曲线C上的两点，求
+
的值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）由题意可得：，解得a，b，即可得出椭圆的标准方程．
（2）A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+
）是曲线C上的两点，可得，化简整理即可得出．
，
【解答】解：（1）由题意可得：，解得a=4，b=2．
∴曲线C的普通方程为=1．
（2）A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+
）是曲线C上的两点，
可得直角坐标（ρ1cosθ，ρ1sinθ），（﹣ρ2sinθ，ρ2cosθ）， 代入椭圆标准方程可得：
，
．
∴+=+==．
23． 在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛．（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X的数学期望；
（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？
【考点】离散型随机变量的期望与方差；排列、组合的实际应用． 【分析】（1）由题意知随机变量X的取值是0、1、2、3、4、5，当X=0时，表示主力队员参加比赛的人数为0，当X=1时，表示主力队员参加比赛的人数为1，当X=2时，表示主力队员参加比赛的人数为2，以此类推，写出概率和分布列求出期望．
（2）上场队员有3名主力，方案有：（C63﹣C41）（C52﹣C22）=144（种）；上场队员有4名主力，方案有：（C64﹣C42）C51=45（种）；上场队员有5名主力，方案有：（C65﹣C43）C50=C44C21=2（种）．列出三种情况，相加得到结论． 【解答】解：（1）由题意知随机变量X的取值是0、1、2、3、4、5， ∵当X=0时，表示主力队员参加比赛的人数为0，以此类推， ∴P（X=0）=
；
P（X=1）=；
P（X=2）=；
P（X=3）=；
P（X=4）=；
P（X=5）=．
∴随机变量X的概率分布如下表：
E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×
=≈2.73
（2）由题意知
①上场队员有3名主力，方案有：（C63﹣C41）（C52﹣C22）=144（种） ②上场队员有4名主力，方案有：（C64﹣C42）C51=45（种） ③上场队员有5名主力，方案有：（C65﹣C43）C50=C44C21=2（种） 教练员组队方案共有144+45+2=191种．
24．已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），点R（1，2）在抛物线C上． （1）求抛物线C的方程；
（2）过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B．若直线AR，BR分别交直线l：y=2x+2于M，N两点，求线段MN最小时直线AB的方程．
【考点】抛物线的简单性质． 【分析】（1）由点R（1，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，求出p=2，由此能求出抛物线C的方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2y2），设直线AB的方程为x=m（y﹣1）+1，m≠0，设直线AR的方程为y=k1（x﹣1）+2，由已知条件推导出xM=﹣
，xN=﹣
，由此求出|MN|=2
，再用换元法能求出|MN|的最小值及此时直线AB的方程．
【解答】解：（1）∵点R（1，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上， ∴4=2p，解得p=2，
∴抛物线C的方程为y2=4x． （2）设A（x1，y1），B（x2y2），直线AB的方程为x=m（y﹣1）+1，m≠0， 由
，消去x，并整理，得：y2﹣4my+4（m﹣1）=0，
∴y1+y2=4m，y1•y2=4（m﹣1），
设直线AR的方程为y=k1（x﹣1）+2，
由
，解得点M的横坐标xM=
，
又k1=
=，
∴xM=
=﹣，
同理点N的横坐标xN=﹣|y2﹣y1|=
∴|MN|=|xM﹣xN|=
，
=4，
|﹣+|=2||，
=8=2，
令m﹣1=t，t≠0，则m=t=1， ∴|MN|=2
≥
，
，
即当t=﹣2，m=﹣1时，|MN|取最小值为此时直线AB的方程为x+y﹣2=0
2016年9月10日
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