七年级全等测试
一．选择题（共3小题）
1．如图，EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若BP=4，则PF的长（ ）
A．2 B．3 C．1 D．2
3．如图，OA=OC，OB=OD且OA⊥OB，OC⊥OD，下列结论：①△AOD≌△COB；②CD=AB；③∠CDA=∠ABC； 其中正确的结论是（ ）
A．①②
B．①②③ C．①③ D．②③
二．解答题（共11小题）
4．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=AC，点E是BD上一
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点，且AE=AD，∠EAD=∠BAC． （1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）若∠ACB=65°，求∠BDC的度数．
5．（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试探究AB，AD，DC之间的等量关系，证明你的结论；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，证明你的结论．
6．已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．
7．已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点．
（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE=AF； （2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？请利用图②说明理由．
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8．如图，在 Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，分别过A、B作直线l的垂线，垂足分别为M、N．
（1）求证：△AMC≌△CNB； （2）若AM=3，BN=5，求AB的长．
9．已知，如图，在等腰直角三角形中，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E、F在AC、BC上，求证：DE=DF．
10．如图，OC是∠MON内的一条射线，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，PA=PB，连接AB，AB与OP交于点E． （1）求证：△OPA≌△OPB； （2）若AB=6，求AE的长．
11．如图，△ABC和△ADE分别是以BC，DE为底边且顶角相等的等腰三角形，点D在线段BC上，AF平分DE交BC于点F，连接BE，EF．
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（1）CD与BE相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由； （2）若∠BAC=90°，求证：BF2+CD2=FD2．
12．如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．F是OC上另一点，连接DF，EF． 求证：DF=EF．
13．如图，OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，点M在OA上，点N在OB上，且PM=PN．求证：EM=FN．
14．如图，△ABC中，D为BC边上一点，BE⊥AD的延长线于E，CF⊥AD于F，BE=CF．求证：D为BC的中点．
答案
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一．选择题（共3小题）
1．如图，EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF ∴△ABE≌△ACF ∴BE=CF ∠BAE=∠CAF
∠BAE﹣∠BAC=∠CAF﹣∠BAC ∴∠1=∠2 △ABE≌△ACF ∴∠B=∠C，AB=AC 又∠BAC=∠CAB △ACN≌△ABM．
④CD=DN不能证明成立，3个结论对． 故选：B．
2．如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若BP=4，则PF的长（ ）
A．2 B．3 C．1 D．2
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【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC． ∴∠BAC=∠C． 在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（SAS）． ∴∠ABD=∠CAE．
∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°． ∴∠BPF=∠APD=60°． ∵∠BFP=90°，∠BPF=60°， ∴∠PBF=30°． ∴PF=故选：A．
3．如图，OA=OC，OB=OD且OA⊥OB，OC⊥OD，下列结论：①△AOD≌△COB；②CD=AB；③∠CDA=∠ABC； 其中正确的结论是（ ）
．
A．①② B．①②③ C．①③ D．②③
【解答】解：∵OA⊥OB，OC⊥OD， ∴∠AOB=∠COD=90°．
∴∠AOB+∠AOC=∠COD+∠AOC， 即∠COB=∠AOD． 在△AOB和△COD中，
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，
∴△AOB≌△COD（SAS）， ∴AB=CD，∠ABO=∠CDO． 在△AOD和△COB中
，
∴△AOD≌△COB（SAS） ∴∠CBO=∠ADO，
∴∠ABO﹣∠CBO=∠CDO﹣∠ADO， 即∠ABC=∠CDA．
综上所述，①②③都是正确的． 故选：B．
二．解答题（共11小题）
4．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=AC，点E是BD上一点，且AE=AD，∠EAD=∠BAC． （1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）若∠ACB=65°，求∠BDC的度数．
【解答】证明：（1）∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAD﹣∠EAC 即：∠BAE=∠CAD 在△ABE和△ACD中
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∴△ABE≌△ACD ∴∠ABD=∠ACD
（2）∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角 ∴∠BOC=∠ABD+∠BAC，∠BOC=∠ACD+∠BDC ∴∠ABD+∠BAC=∠ACD+∠BDC ∵∠ABD=∠ACD ∴∠BAC=∠BDC ∵∠ACB=65°，AB=AC ∴∠ABC=∠ACB=65°
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣65°﹣65°=50° ∴∠BDC=∠BAC=50°．
5．（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试探究AB，AD，DC之间的等量关系，证明你的结论；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，证明你的结论．
【解答】解：（1）证明：延长AE交DC的延长线于点F，∵E是BC的中点， ∴CE=BE， ∵AB∥DC，
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∴∠BAE=∠F， 在△AEB和△FEC中，∴△AEB≌△FEC， ∴AB=FC，
∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠BAE=∠EAD， ∵AB∥CD， ∴∠BAE=∠F， ∴∠EAD=∠F， ∴AD=DF，
∴AD=DF=DC+CF=DC+AB，
，
（2）如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点， ∴CE=BE， ∵AB∥DC， ∴∠BAE=∠G， 在△AEB和△GEC中，∴△AEB≌△GEC， ∴AB=GC，
∵AE是∠BAF的平分线， ∴∠BAG=∠FAG， ∵AB∥CD， ∴∠BAG=∠G，
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，
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∴∠FAG=∠G， ∴FA=FG， ∴AB=CG=AF+CF，
6．已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F， ∴∠AED=∠CFD=90°， ∵D为AC的中点， ∴AD=DC，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF， ∴∠A=∠C，
∴BA=BC，∵AB=AC， ∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形．
7．已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点．
（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE=AF； （2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？请利用图②说明理由．
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【解答】（1）证明：连接AD，如图①所示． ∵∠A=90°，AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD=45°． ∵点D为BC的中点， ∴AD=BC=BD，∠FAD=45°．
∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°， ∴∠BDE=∠ADF． 在△BDE和△ADF中，∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴BE=AF；
（2）BE=AF，证明如下： 连接AD，如图②所示． ∵∠ABD=∠BAD=45°， ∴∠EBD=∠FAD=135°．
∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°， ∴∠EDB=∠FDA． 在△EDB和△FDA中，∴△EDB≌△FDA（ASA）， ∴BE=AF．
， ，
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8．如图，在 Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，分别过A、B作直线l的垂线，垂足分别为M、N．
（1）求证：△AMC≌△CNB； （2）若AM=3，BN=5，求AB的长．
【解答】解：（1）∵AM⊥l，BN⊥l，∠ACB=90°， ∴∠AMC=∠ACB=∠BNC=90°，
∴∠MAC+∠MCA=90°，∠MCA+∠NCB=180°﹣90°=90°， ∴∠MAC=∠NCB， 在△AMC和△CNB中，
，
∴△AMC≌△CNB（AAS）；
（2）∵△AMC≌△CNB， ∴CM=BN=5， ∴Rt△ACM中，AC=
=
，
=
，
∵Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=∴AB=
=
=2
．
9．已知，如图，在等腰直角三角形中，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点
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E、F在AC、BC上，求证：DE=DF．
【解答】证明：连接CD．
∵在等腰直角三角形ABC中，D是AB的中点． ∴CD为 等腰直角三角形ABC 斜边BC上的中线． ∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，CD=BD=AD． 又∵DE⊥DF
∴∠EDC=∠FDB 在△ECD和△FBD中
∴△ECD≌△FDB（ASA） ∴DE=DF
10．如图，OC是∠MON内的一条射线，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，PA=PB，连接AB，AB与OP交于点E． （1）求证：△OPA≌△OPB； （2）若AB=6，求AE的长．
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【解答】解：（1）∵PA⊥OM，PB⊥ON， ∴∠PAO=∠PBO=90°， 又∵PA=PB，PO=PO， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP；
（2）∵△OPA≌△OPB， ∴∠APE=∠BPE， 又∵PA=PB， ∴AE=BE， ∴AE=AB=3．
11．如图，△ABC和△ADE分别是以BC，DE为底边且顶角相等的等腰三角形，点D在线段BC上，AF平分DE交BC于点F，连接BE，EF． （1）CD与BE相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由； （2）若∠BAC=90°，求证：BF2+CD2=FD2．
【解答】解：（1）CD=BE，理由如下： ∵△ABC和△ADE为等腰三角形， ∴AB=AC，AD=AE， ∵∠EAD=∠BAC，
∴∠EAD﹣∠BAD=∠BAC﹣∠BAD，
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即∠EAB=∠CAD， 在△EAB与△CAD中∴△EAB≌△CAD， ∴BE=CD，
（2）∵∠BAC=90°，
∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴∠ABF=∠C=45°， ∵△EAB≌△CAD， ∴∠EBA=∠C， ∴∠EBA=45°， ∴∠EBF=90°，
在Rt△BFE中，BF2+BE2=EF2， ∵AF平分DE， ∴AF垂直平分DE， ∴EF=FD，
由（1）可知，BE=CD， ∴BF2+CD2=FD2
12．如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．F是OC上另一点，连接DF，EF． 求证：DF=EF．
，
【解答】证明：∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠DOP=∠EOP，PD=PE．
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在Rt△POD和Rt△POE中，∴Rt△POD≌Rt△POE（HL）， ∴OD=OE．
，
在△ODF和△OEF中，∴△ODF≌△OEF（SAS）， ∴DF=EF．
，
13．如图，OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，点M在OA上，点N在OB上，且PM=PN．求证：EM=FN．
【解答】证明：∵点P在∠AOB的平分线上，PE丄0A于E，PF丄OB于F，
∴PF=PE，
在Rt△PEM和Rt△PEN中
，
∴Rt△PEM≌Rt△PEN（HL），
∴EM=FN．
14．如图，△ABC中，D为BC边上一点，BE⊥AD的延长线于E，CF⊥AD于F，BE=CF．求证：D为BC的中点．
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【解答】证明：∵BE⊥AD的延长线于E，CF⊥AD于F，
∴∠CFD=∠BED=90°， 在△BED和△CFD中，∴△CDF≌△BDE（AAS）
∴CD=BD． ∴D为BC的中点．
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