数学课程标准若干“核心词”的实践研究
曹培英 引言
义务教育数学课程标准（2011年版） 最大的改变：“双基”→“四基”；“六个核心词”→“十个核心词” 四基：数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。 意味着：
我国数学教育优良传统得到肯定； 回归“结果”与“过程”并重的理念。
十个核心词：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识。
下面基于长期从回溯经验到探索试验的实践研究，对十个核心词作出解读。因时间所限，只能选讲其中几个。
“四基”都融合在实施案例中，有机地予以落实。 一、数感
数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。
建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。 如同球员的球感，歌手的乐感一样，学习数学必然会有数感„„ 数感培养实践的误区„„
有效教学案例的启示„„
（1）在数概念教学中培养数感 （2）在计算教学中发展数感 （3）在解决实际问题中展现数感
总而言之，数感：最朴实的数学素养，就是关于数的感觉与理解。数感可以：数出来、读出来、算出来、估出来、用出来。
二、符号意识
符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。
建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。
培养符号意识的误区主要表现： 生活中的符号等同数学符号； 规律的表征混同符号意识； 一概让小学生自创符号。 对于小学数学来说：
（1）首先是让学生亲近符号，接受、理解符号 例如：运算符号； 又如：关系符号。
数学符号如同“象形文字”，简洁、生动、形象、传神，符号本身就具有促进理解，帮助记忆的教学功能。任何教学艺术、任何语言描绘，都相形见绌！
（2）其次是让学生感悟符号表达的优势与作用 三、数据分析观念 数据分析观念包括：
了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会
数据中蕴涵着信息；
了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法； 通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。
数据分析是统计的核心。
案例1：小学生的研究性学习；
案例2：两幅条形图蕴含的信息。图的直观性也可能产生“误导”。 以条形统计图为例，探讨： 1. 关于读图
2. 关于图的知识点 3. 关于图的选择 四、创新意识
创新意识的培养是现代数学教育的基本任务。
学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。
创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。 怎样培养？
创设宽松、和谐的学习氛围 提供刺激，激活学生的潜能 „„
案例1、2：分数的表示；
案例3：三角形面积公式的推导。
跨越断层，走出误区：
数学课程标准“十个核心词”的实践研究
曹培英 引言
义务教育数学课程标准（2011年版） 最大的改变：“双基”→“四基”；“六个核心词”→“十个核心词” 四基：数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。 意味着：
我国数学教育优良传统得到肯定； 回归“结果”与“过程”并重的理念。
十个核心词：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识。
下面基于长期从回溯经验到探索试验的实践研究，对十个核心词作出解读。因时间所限，只能有详有略。
“四基”都融合在实施案例中，有机地予以落实。 一、数感
数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。
建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。 如同球员的球感，歌手的乐感一样，学习数学必然会有数感„„
数感培养实践的误区„„
有效教学案例的启示„„
（1）在数概念教学中培养数感 （2）在计算教学中发展数感 （3）在解决实际问题中展现数感
总而言之，数感：最朴实的数学素养，就是关于数的感觉与理解。数感可以：数出来、读出来、算出来、估出来、用出来。
二、符号意识
符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。
建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。
培养符号意识的误区主要表现： 生活中的符号等同数学符号； 规律的表征混同符号意识； 一概让小学生自创符号。 对于小学数学来说：
（1）首先是让学生亲近符号，接受、理解符号 例如：运算符号； 又如：关系符号。
数学符号如同“象形文字”，简洁、生动、形象、传神，符号本身就具有促进理解，帮助记忆的教学功能。任何教学艺术、任何语言描绘，都相形见绌！
（2）其次是让学生感悟符号表达的优势与作用 三、空间观念
空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。
简单地说，就是在物体形状与相应的几何图形、图形特征之间建立起可逆的联系。 小学生空间观念发展的若干特点： （1）从感知强成份到感知弱成份 （2）从认识单一要素到认识要素关系 （3）从熟悉标准图形到熟悉变式图形 （4）从直观辨认图形到语言描述特征 （5）从使用日常语言到使用几何语言
（6）从形成二维空间观念到三维空间观念 怎样发展学生的空间观念？
（1）观察：有序观察，选择对象，变换角度 （2）操作：学会画图，动手操作，自我释疑 （3）变式：变化形状，变化位置，变化大小 （4）辨析：同中见异，异中求同，精确分化 （5）结合：形象与语言结合，数与形结合 四、几何直观
几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
案例1：团体操原来队伍每行10人,有5行。现在调整成每行增加3人，增加2行，现在需要增加多少人？
案例2： 121111148163264有必要区分两种层次的几何直观：
感性认识阶段、较低层次的几何直观：“直观感知” 理性认识阶段、更高层次的几何直观：“直观洞察” 案例3：一道竞赛口答题。 怎样培养几何直观 1.加强空间观念的建立 2.加强数形结合的运用 3.加强构造直观的训练
如：示意图→线段图→韦恩图→面积图→„„ 4.重视数学的直观理解 5.重视数学的直观洞察 五、数据分析观念 数据分析观念包括：
了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；
了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法； 通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。
数据分析是统计的核心。
案例1：小学生的研究性学习；
案例2：两幅条形图蕴含的信息。图的直观性也可能产生“误导”。 以条形统计图为例，探讨： 1. 关于读图
2. 关于图的知识点 3. 关于图的选择 六、运算能力
主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。
培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。 合理选择算法正确运算； 估算过程中的合理判断； 传统简便运算的适度保留； 解决问题中的简洁运算。 七、推理能力
推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。
推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。
在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。
案例1：计算方法的得出； 案例2：体积公式的得出。 八、模型思想
模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。 建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。
这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。 模型思想与问题解决策略的优化：“多题一解”。 九、应用意识
应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。
在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。
案例1：实际应用； 案例2：解释现实； 案例3：抽象问题。 十、创新意识
创新意识的培养是现代数学教育的基本任务。
学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。
创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。 怎样培养？
创设宽松、和谐的学习氛围 提供刺激，激活学生的潜能 „„
案例1、2：分数的表示；
案例3：三角形面积公式的推导。
跨越断层，走出误区：
《数学课程标准》核心词的实践解读之一
上海市静安区教育学院 曹培英
教育部《数学课程标准（2011年版）》（以下简称“新版课标”）前言部分关于“课程内容”的阐述，最大的亮点在于修改、充实了十个核心词。
坊间有人调侃，核心词居然有十个之多，还有“核心”吗？
但若细细研读，不难发现，十个核心词所指称的，确实都是构成数学素养的重要因素，值得反复学习、领会。
对于义务教育阶段的数学教师来说，最感兴趣的也是最为重要的是基于实践的解读。 笔者愿意结合自身多年的教学实践、多年的课堂观察与研究，细述个人的学习心得，尝试跨越理论与实践的断层，走出认知与教学的误区，以供同仁借鉴。
一、数感，“你”是什么
教育部《数学课程标准（实验稿）》的诠释是：“数感主要表现在：理解数的意义，并能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算结果，并对结果的合理性作出解释。”
这段话试图从学习行为改变的视角，一一刻画数感的表现，即理解数的意义，主要表现为五个“能”。它比那种将数感等同于“数学头脑”，认为“建立数感可以理解为会‘数学地’思考”的广义解释，要收敛许多，但仍显宽泛。例如，“为解决问题而选择适当的算法”，有时数感能起一点作用，但更一般地起主要作用的是对运算、对算法的理解。
“新版课标”的表述是：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”
这一表述由两句话组成。前一句侧重数感的界定，“数感主要是„„感悟”；后一句侧重数感的作用，“数感有助于„„”。两句话的共同点，都描述了数感的表现。
作为课程标准，尽可能地给出学习行为的表现性评价标准，是可取的。然而，一线教师又希望看到浅显、通俗的解释。这一要求并不过分。
既然数感是一种感悟，而“感悟”的本意是“有所感触而领悟”，那么，简单地说，数感就是关于数的感觉和理解。
我的工作室，有两位学员撰写了一篇关于培养数感的论文，经层层筛选，送交中国教育学会小学数学教学专业委员会第12届年会，获一等奖。有关人员审查发现，其中关于数感内涵的界定：
“数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识。”
网上有难计其数的论文，出现一字不差的语句。因此建议改成自己的陈述。经查，这句话源自《数学课程标准（实验稿）解读》一书，被人广为引用不足为奇。
两位作者要我帮忙修改，但对我的解释“数的感觉和理解”又不太满意，认为过于直白，缺乏学术味。无奈，只好绞尽脑汁，替她们动笔改为：
“数感是数的抽象意义与数的具体意义的统一，是一种自觉地联系量，主动地基于数学的或现实的问题情境解释数和应用数的意识与能力。”
两位作者看了欣喜有加，认为一语道破“心求通而未得”，数感的确是两种意义的统一，也确实是解释数、应用数的意识与能力。但部分读者反映这一界定“抽象、难懂”，“深入了，没有浅出”。
的确，理论阐述越玄，实践解读就越困难，两者之间的断裂也就越明显。但深刻与浅显兼备，谈何容易。看来“众口难调”，权且一并呈现，由读者各取所好。
二、数感，想说“爱你”不容易
曾经观摩过两节教学数概念的课，难以忘怀，内容分别是“100以内数的认识”、“1000以内数的认识”。
前一节课，教师给每位学生发一小袋黄豆（教师悄悄告诉我，她数好的，每小袋100颗），让学生小心翼翼倒出来，先估、再数，看谁估的准。
后一节课，教师出示一叠A4纸，指导语是：“请小朋友们先估一估，然后我来数，看谁估的最准哦”。课后教师说，为了数得快，她拜能者为师，反复练习。课堂表现果然不俗，5、10、15„„很快数完，200张。
面对这样的教学情境，坐在教室里听课的我，深感惭愧，感觉自己成了一位必须重返小学补习的人。因为我对豆子的颗数没有感觉，尽管几乎天天用纸，但看着教师拿着的那叠纸，同样估不出大约有多少张。
当时我的第一反应，除了“猜”，别无他法。
再一想，可以先数出10粒、20张，再估有多少个10粒、20张，但毕竟缺乏训练，恐怕还会估不准。
学生很兴奋，争先恐后说出自己的“猜想”，如同我的第一反应。
我感慨两位教师的付出，为了培养学生的数感，课前花费大量精力，充分准备，令人肃然起敬。但又不能不反思。
如果说估豆子、估纸，培养的是数感，那么上世纪6、70年代北京王府井百货大楼糖果柜台营业员张秉贵，就是数感极佳的人。想当年，天灾人祸，人们买糖果，少有称上一斤的。张师傅不管顾客要二两、三两还是半斤，甚至还有几两半的，随手一抓放到称上，保证足金足两。“一抓准”成了他的标签。
试问：这是数感吗？
问题在哪里呢？我陷入深思，终有所获：“数感”与“量感”混淆。 研究高等数学的学者，可以轻松地说，“数感就是数量意识”。因为数是量的共同属性的抽象与表征，数与量可以混为一谈，例如变数与变量是同义词。但在小学数学中，数与量却是两个既有联系又有区别，并且常常不能不加以区分的概念。
在现实生活中，没有抽象的数，有的都是数与量的混合体。因此，培养数感，难免牵涉到量。而且，在现实生活中，数感又常常表现为观察事物时的数量意识，或者反映为将数与实际背景联系起来。
可是，以上两例，无疑是在提醒我们，培养数感，不宜过于依赖量，尤其是不能选择特殊的量。比如小小的豆，薄薄的纸。毋容置疑，豆、纸的量感，不是人人都需要建立的，肯定不是义务教育的内容。
那么，我们又该如何帮助学生建立数感呢？ 三、数感，可以怎样培养 1.“数”出数感
首先，数感是数出来的。
学龄儿童通过日常生活中有意、无意的数数活动，已经自主地实现了物体个数的数量守恒。
在这过程中他们还掌握了被数物体与数的一一对应，如五个手指与1～5的依次匹配，并且知道从左、从右数，都是五个手指，即数数的结果与数的顺序无关，特别是知道了数到最后的“5”表示一共五个手指，即数到最后一个数的值就是这个集合的基数。
这些都是儿童最初的数感。小学数学教学只是在此基础上引导学生逐步扩大数数、认数的范围，相应地逐步丰富、发展学生的数感。期间每一步进展的有效性，很大程度上取决于教学设计与实施的科学性、艺术性。
记得是在山东淄博城乡结合部的一个小学，教学“1000以内数的认识”。教师出示一篇
古文（下图为该文的一部分），让学生数一数，共多少字。
学生看到4字一句，5句一行，发现一行20字，于是自发地20、40、60„„地数起来，数到100，看到正好组成一段，就又自发地从一行行数转向一段段数，100、200、300„„数完，迫不及待地报出答案，一共1000字。
5行一段，要空至少半行！
老师给以赞赏，并边说“这是古代的千字文”，边揭示文首的“千字文”三字。
这是我第一次看到以“千字文”为载体创设数数的情境，不禁为教师的设计、加工所折服。
千字文原本只是4字一句，教师有意识地把它排列成5句一行，5行一段，以诱导学生20、20地数，100、100地数。用时不多，过程明了。数完，1000的感觉，自然而然地来了。
真是太好了！
数实物，离不开“量”。但汉字的量感，每个二年级学生都有，无须格外关注，因此注意力都集中在数数上。而且引进1000，正需要引导学生利用已有基础，100、100地数。
可见，精心选择适当的载体，可以排除“量”的干扰。
教师安排的一系列巩固练习，既有课本的，又有继续利用千字文的。后者如： （1）找出学习的“学”，从头数，它是第几个字？
（2）从头数，第996个是什么字？第192个是什么字？
我仔细观察，学生找到“学”后，都100、100地数，轻而易举，“学”是第305个字。 第（2）题明显加大了难度。第996个字，学生都是倒数的。第192个字，多数学生从第二段起，120、140地数；部分学生从第二段末尾起，往回倒数；还有个别学生交流时说：200－8＝192，从第二段最后一行，去掉后面2句，就找到了第192个字是“量”。
讨厌的“量”，在这里变得如此可爱，竟能量出学生的“智力”，显现他们的个性化解答。 多么巧妙的练习！千字文给用活了。
走出先估再数，为“量”所困扰的误区，原来十分简单。感谢淄博的那位老师，以她科学性、艺术性兼备的教学，给予我们深刻的启迪。
其实，很多教师都有自己的数数教学的精彩故事，透视这些案例，不难总结“数出数感”
的教学经验。
是什么蒙蔽了思绪，使我们忘了回溯个体与群体的经验，另起炉灶，从头摸索？ 原因固然是多方面的，其中一个主要原因恐怕是认知的偏差。总以为汉语词汇原来只有“语感”、“乐感”等，没有“数感”，既然是外国翻译过来的新名词，那就是新生事物，需要寻找新的表现形式与新的教学对策。
看来，对待新名词、新口号，应当自觉警惕两种片面性。
一是割裂历史，即无视古今中外的某些事物本是相通的，被新包装迷惑，盲目摸石头过河；二是漠视发展，即发现了某些事物的源头、渊源或原型，就固步自封，不再与时俱进。两种片面性都会误导实践。
2.“读”出数感
其次，数感是读出来的。
多年前，某地教学评比，有老师上“大数的认识”，其中一个数3000006000，它的读法引起了争论：应该读作三十亿零六千，还是读作三十亿六千。双方征询我的意见。
我嘴上回应，两种读法都没问题。心里实在感叹：我们的老师真有才，居然找到一个例子，令读数法则左右为难。
众所周知的读数法则是：每一级末尾的0不读，其他数位不论连续有几个0，只读一个
零。
该数“6”后面的三个0在个级末尾，“3”后面的第一个0在亿级末尾，都不读，没有争议。整个万级连续四个0，是看作“万级的末尾”呢，还是看作“其他数位”？模棱两可。
为什么没人想到将读数法则修订的严密些呢？其实并不十分必要。请看：
30600， 30060
分别读作三万零六百，三万零六十。
为什么这两个数的中间分别有一个、两个0，都只读一个零，却不会发生混淆呢？因为读出了计数单位。既然读出了计数单位，那么不读“零”就不会有任何歧义。例如：30600读作三万六百，30060读作三万六十，分别是3个万与6个百、3个万与6个十，清清楚楚。
可惜，30006中间的0不能不读，因为我们有不读计数单位的习惯。例如，30006读作三万零六，而不是三万零六个，36000可以读作三万六千，也可以读作三万六。正是由于不读计数单位的习惯，所以一概而论，不读“零”是行不通的。因为数学教师不可能也不应该为了小学数学的教学方便而改变社会大众千百年来形成的习惯。其他国家的语言，也有给小学数学教学带来麻烦的情况。如德国人读数，三位数是先读百位数、再读个位数，最后读十位数，在我们看来匪夷所思，他们也只能面对。
应该反思的是，提炼了读数的通则之后，忘了通则通法有时也是可以“通融”的。特别是：视通则为不可逾越的“红线”和判断对错的准则，以致师生的注意力都紧盯着“红线”，当然这没错，但极为遗憾的是忽略了读数的数感功能。
读数有数的感悟功能吗？请看：
（1）6789读作( )千( )百( )十( )；
（2）6789由( )个千，( )个百，( )个十和( )个一组成； （3）6789＝( )×1000＋( )×100＋( )×10＋( )
分开看，第（1）题会读数的学生都能正确填写，后两题却被认为一题比一题更抽象，更形式化。现在将三题放在一起对比，不难发现它们原来是一回事，只要会读数，就应该都能正确回答。那么，一题比一题更难，难度从何而来？原来，一部分学生虽能正确读出六千七百八十九，却有如“小和尚念经，有口无心”，并没有意识到六千就是6个千，就是6×1000„„
语言本是思维的外壳，但当思维的内容充斥读数法则，读后又不去想一想读了什么，这
时读数的语言就只是法则的外壳了。
换句话说，只要让学生在理解的基础上读数，知道自己读的是什么，就能读出数感，而且是脱离了“量”的抽象的数感。
不仅整数，分数也能读出数感。
例如，在认识分数的教学中，教师经常让学生叙述某一分数的含义，如问：意思？岂不知问题的话语，就已经给出了答案的陈述：
2是什么32就是三分之二的意思。 3正由于分数的汉语读法，具有读出数的含义即读出数感的功能，所以，中国教师教学分数，不仅强调单位“1”的等分，还重视分数的书写顺序：先写分数线，表示平均分，再写分母，表示平均分成几份，最后写分子，表示有这样的几份。数学教师之所以敢于彻底颠覆从上往下的常规书写顺序，就是为了确保读与写的一致性。并且，整个书写过程与分数的常见生成过程也是一致的。
植根于民族文化的这一切，是如此的和谐统一，它为小学生学习数学，提供了得天独厚的条件，我们没有理由弃之不用。
事实上，除了数数、读数，教学数的基数意义与序数意义，区分几个与第几个，教学数序与数的大小比较，等等，都有助于形成数感。因为这些教学活动，都能帮助学生获得关于数的感觉，增进对数的理解。
应该说，我国的小学数学历来重视数的感悟，虽说没有数感这一名词，但名词背后的实在之物，还是有所把握的。引进新词的主要贡献，在于提醒我们从“自发”走向“自觉”。
3.“算”出数感与“估”出数感 数感可以“算出来”、“估出来”，已被认识并实践了多年，也有相关经验总结见刊，本文限于篇幅，就不再给出实证、展开论述。
4. “用”出数感
小学数学的实际问题，大多涉及数。因此，在应用所学数学知识解决实际问题的过程中，数感常常会自然而然地得以表现。
例如，解答下题（江苏教育出版社义务教育课程标准实验教科书数学三年级下册的一道习题）：
已知条件是步行的时间与速度，求路程，用到的计算是很简单的两位数乘法，72×15＝1080（米）。与众不同的是，本题的两个问题，综合了“上北下南，左西右东”的图上方位的知识。回答问题的大致思考过程是，如图：
（1）学校的东面是少年宫，相距1000米，从学校出发向东走1080米，超过了少年宫，
所以在少年宫的东面。
（2）学校的北面是烈士陵园，相距2000米，从学校出发向北走1080米，所以在全程中点的偏北处。
询问作出正确解答与标注的学生，他们的回答都包含两个判断： 1080比1000大一点；
1080比2000的一半大一点。 作出这两个判断，无须考虑1080米有多长，也不用顾及1000米、2000米的实际长度。如果将长度单位“米”换成“千米”或别的什么单位，正确的反应还是这两个判断。显然，这就是数感的“自动化”反应，是与量无关的单纯的数感。
诸如此类的实例，举不胜举。
其实，在以往的教学中，一些有关数量关系的专项练习，也有“用出数感”的效果。例如：
学校舞蹈队有12名男生，30名女生。
请根据以上信息，补充条件，并列出求女生（得数是30）的算式。
已知学校舞蹈队有12名男生， 。学校舞蹈队有多少名女生？ 你能想出几种不同的条件？
学生首先想到的是“女生比男生多18名”，其次是“女生比男生的2倍多6名”，部分学生还想到了“女生比男生的3倍少6名”。学了小数除法之后，学生的第二反应大多是“女生人数是男生的2.5倍”。显然，数域的扩展也会丰富、发展学生的数感。
事实上，即便是解决脱离现实背景的数学问题，也常常要用到数感。例如求两个数的最大公约数、最小公倍数，分数的约分、通分，分数与小数的互化，等等。反过来，激活数感的过程也使数感得到了进一步的锻炼。
总而言之，一旦认识了数感的本来面目，就不难跨越理论与实践的断层，数感的建立、发展与练习巩固，就显得十分平常，相应的教学措施也就不必煞费苦心，另辟蹊径了。
当然，事物总是会发展的。理论工作者可以继续考证数感的词源，引经据典，演绎推论；实践工作者可以不断探索，在应用原有经验的同时，发展经验、丰富经验。
主要参考资料：
1.教育部：全日制义务教育数学课程标准（实验稿）.北京师范大学出版社，2001. 2. 教育部：全日制义务教育数学课程标准（2011版）.北京师范大学出版社，2011. 3. 刘兼、孙晓天主编：全日制义务教育数学课程标准（实验稿）解读.北京师范大学出版社，2002.
跨越断层，走出误区：
《数学课程标准》核心词的实践解读之二
上海市静安区教育学院 曹培英
本文基于小学数学教学实际，探讨新版课标中的第二个核心词“符号意识”。 一、符号与数学符号 1. 符号的世界
所谓符号，通常是指具有某种代表意义的记号、标识。它源于规定或约定俗成。比如，路口的红绿灯并不具备“灯”的照明功能，而是交通规则的标识；北京故宫、京剧等，已在相当程度上成为中国文化的符号。
符号具有两方面的内涵。一方面它承载着意义、精神；另一方面它有着能被感知的特定表现形式，可以是图形图像、文字组合，也可以是声音信号、建筑造型，甚至是一种思想文化、一个时事人物。举例来说，红色的“十”，原本是红十字会的专用标志，现在已具有医疗卫生、救死扶伤的公认意义，并象征着人道主义精神。
如今，全社会都在使用符号。
先看生活世界，从交通标志到店铺招牌，再到各种商标，符号随处可见。生活在符号的世界里，儿童从小就在不断地感知符号背后的现实意义，逐步形成初步的符号意识。例如，城市里的孩子，看到红底黄色的“m”，就会自动联想到麦当劳。
再看数学世界，罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑”。可以说，没有符号，就没有近代数学、现代数学。
因此，符号感、符号意识理所当然受到数学教育的重视。
但是，至少在幼儿园，就已开始培养儿童的符号意识，如让孩子选择一个小动物或其他什么，作为个人的记号、标志，贴在自己的储物箱上。无疑，小学数学教学不应停留在此水平，敢问，脚下的路迈向何方？
2. 数学符号的特殊性
毫无疑问，儿童在生活中获得了关于符号的认知经验，以及相应的符号意识，对于认知数学符号，会有帮助。但是，相关的生活经验，是否就能自动地迁移到数学学习中来，进而形成数学的符号意识呢？有经验的小学数学老师都会回答：没那么简单。
为什么？因为数学符号具有自身的特殊性。
关于数学符号的特性，人们首先想到的，是它的抽象性、简洁性、普遍性。然而，社会学意义上的、生活中的符号，同样具有这些特性。符号的表现形式是具象的，但它指代的意义都是抽象的，人们之所以刻意设计某一符号，就是为了实现具象与抽象的和谐统一。符号都是简洁的，因为简洁的符号容易记忆、便于识别。符号也都具有普遍性，比如音乐符号，它与数学符号一样，可以不分地域、民族，全世界通行无阻。
同样，数学符号的某些功能，如表述和理解功能、交流和传达功能，以及简化、促进思维的功能，也都是一般符号的功能，这在符号学里都有论述。
那么，数学符号究竟特殊在哪里？
首先，数学符号是精确的、严谨的。这一特性使得与人类其他语言形影相随的含糊性在数学里荡然无存。而其他符号，特别是文化、艺术符号，不仅具有一定的含糊性，而且灵活多变。很多符号，追求新颖、独到而刻意变化，是生命力的体现。然而，符号的多变性，对于数学来说，却是可怕的。数学符号几十年、几百年不变都很正常。
其次，数学符号可以参与运算。从算术运算到代数运算（包括向量运算、矩阵运算），从微积分运算到逻辑运算（包括集合运算），如今，“几乎数学的每一个分支都靠一种符号语言而生存” ，几乎所有运算，都表现为符号的推演。
正是由于数学符号的精确、严谨性与可运算性，使数学符号的思维功能被放大到了极
致。数学思维常常成了可视的符号操作过程，不仅简洁，而且可以集中注意符号本身而不去顾及符号背后的东西。
类似地，数学符号的抽象性，也因数学研究对象的特殊性而显得与众不同。 3. 略述实践偏颇
看不到或者不了解数学符号的这些特殊性，难免误导教学实践。这里，略述一二。 其一，几次观摩联系生活实际的数学课，针对培养学生符号感的目标，教师花费大量的时间，将日常生活中的各种符号引进课堂，并诠释符号的含义。这些课因其轻松、活泼具有观赏性，又贴上了培养符号感的标签，而一度受到追捧。
在笔者看来，由生活中的符号导入数学教学的主题，激活学生的相关认知经验等，都是可取的。明显的作用是拉近数学与学生的距离，并创建一个接纳新知识的“港口”，亦即请来了一个同化新知识的“先行组织者”。然而，过分热衷流行元素，以非数学的符号为主要教学内容的做法，让人疑惑：这到底是一场符号学的普及讲座呢，还是一节数学课？
其二，为发展学生的符号感，特意开发学习材料，组织专项教学活动： 用自己的方式表示你发现的规律。
„„
学生交流的表示方式有：
红 绿 红 绿 红 绿 „„ ● ○ ● ○ ● ○ „„ □ △ □ △ □ △ „„ 1 2 1 2 1 2 „„
不少关于培养符号感的经验总结，都有大同小异的问题情境与教学活动。
学生的这些个性化表达，与其说是反映了数学的符号感，不如说是在训练他们发现规律、表征规律。因为学生的各种表示，都只是一种记号，其间反映的符号感与社会生活中的符号感类似。这样的符号感小学音乐课也在训练，如让学生用自己的方式记录拍手节奏(有些变化规律比上面的“灯笼”更复杂)，学生想到的大多也是这些记号，数学课何必再去凑热闹呢。
二、符号感与符号意识
教育部《数学课程标准（实验稿）》（以下简称“课标实验稿”）认为：“符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。”
新版课标修改为“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。”
首先，将“符号感”更改为“符号意识”，意味着什么？ 从字面看，似乎“符号感”强调对符号的感觉、直觉和对符号的敏感性，而“符号意识”则突出了学生主动理解和运用符号的心理倾向。
其次，如果将名词看作符号，那么更为重要的是考量符号被赋予的内涵。
显然，课标实验稿刻画了符号感的四种表现，前两种表现被新版课标概括成了一句话。值得注意，新版课标在这句话里增加了“符号表示数”。可以认为它既指用字母表示数，又包括用阿拉伯数字符号表示数。
按此理解，小学数学培养学生的符号意识，从一年级教学第一个数字1就已开始。可见，修改后的表现性刻画，内涵更加全面，也更加贴近小学数学教学的实际。
课标实验稿关于符号感的第三种表现“会进行符号间的转换”，常有老师问：小学数学有符号间的转换吗？
笔者曾尝试举例回答：
长方形的周长等于长加宽之和的两倍，习惯上用字母表示为C＝2(a＋b)，以米为单位，当a＝8，b＝5时，则2×(8＋5)＝26。
这里，从“周长等于长加宽之和的两倍”到“C＝2a＋2b＝2(a＋b)”，再到“2×(8＋5)＝26”，都是“符号间的转换”。
但多数老师不以为然，他们觉得从文字叙述到字母表示，是数学语言形式的转换，上述恒等变形是分配律的运用，代入求值的过程才是符号间的转换。
同样，符号感的第四种表现“能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题”，也有争议：这到底是解决问题的能力，还是符号感，或是两者的“合力”？
也有老师认为，“管它是什么，都有作用，都应加以训练，不就完了吗。”
不无道理，非要在“是什么”上争个明白，有时对于教学实践的帮助可能并不很大。 新版课标的解释似乎包含三层意思：首先，符号意识的“对象”是“数、数量关系和变化规律”；其次，符号意识的行为表现，一是能够理解并用符号表示对象，二是知道使用符号可以进行运算和推理，得到结论；再次，扼要表述了符号意识的作用。
当然，对于教学实践工作者，更为关注的是如何落实，即“怎样做”。 三、小学数学怎样培养学生的符号意识 培养小学生的符号意识，从何着手？
教学实践研究的路径无非两条，一是回溯式研究，即回顾、追溯曾经的教学经历，从相关经验中筛选、提炼有效策略；二是探索式研究，即针对存在的问题或根据新的设想进行试验性、开拓性的实践，以获得新认识、新经验。以下教学对策是从回溯到探索，两条路径结合、互补的产物。
1.首先是让学生亲近符号，接受、理解符号
数学符号有多种分类。比较常见的是按照符号的用处分为：对象符号（如数字符号、圆周率符号）、运算符号、关系符号、结合符号（如小括号、中括号）、性质符号（如正号、负号）、略写符号（如因为“∵”、所以“∴”）等。下面以数字符号、运算符号、关系符号为例，说明如何让小学生亲近、喜欢符号，接受、理解符号。 （1）数字符号
老师们都有自己的教学阿拉伯数字符号的经验，其中最为经典的中国式策略就是让学生诵读儿歌，如：1像铅笔，细又长；2 像鸭子，水中游；3 像耳朵，两道弯；4 像小旗，迎风飘；„„
实践表明，富有童趣的儿歌能激起学生的认知兴趣，有助于他们记忆字形并掌握书写体。但仅仅停留于此是不够的，还必须重视引导学生初步体会数的抽象。如：
1
数学教育家曹飞羽先生曾经讲过这样一个真实的故事：拨乱反正后，人民教育出版社着手编写全国通用教材，实验初期的油印本，5＞3的插图是5只小鸡与3只母鸡，尽管画了三条一一对应的虚线，不少学生还是认为“3大于5”。他们的理由是1只母鸡都可能比5只小鸡大，何况3只母鸡。教材的意图是明确的，引导学生抽象的设计也有道理。但考虑到一年级小学生还难以彻底摆脱量（特别是质量）对抽象出数的干扰，所以最后把3只母鸡改
成了3只小鸭。
三十多年过去了，这个案例之所以始终保持在记忆里，是因为它能给我们很多提醒。用在这里是想提示：数字符号，作为事物共同属性的标志，它的抽象不是一朝一夕就能完成的，需要一个发展过程，需要持续的教学努力。当然，也和数感的建立密切相关。
（2）运算符号
小学数学主要教学加、减、乘、除四种运算的符号。这些符号可以通过动态演示，揭示符号指代的运算含义。
加号的演示：先出现一横，再移来一竖，以显示“合并”、“添上”、“增加”的意思。 减号的演示：从“＋”里拿走一竖，表示“去掉”、“减少”的意思。 乘号的演示：将“＋”转动 45°成“×”，表示特殊的加即同数连加。 加号的生成 减号的生成 乘号的生成
可见，运算符号的直观形态与其内在含义，呈现高度的和谐、统一。学生看到了这些符号的动态生成，也就记住了相应运算的含义。
我们的实践表明，教学加、减、乘时演示了三个运算符号的生成与含义，到教学除法时，学生一般都会自己解释除号“÷”的含义：“先写中间一横表示平均分，上面、下面各一点，表示每份同样多”。
这些诠释，用历史的真实来考察，有些可能并非符号原创者最初的想法，与符号演变史实也有些许出入，但从教学工艺学的视角考量，却是基本符合符号本意的教学艺术加工。其教学效果非常明显，尤其是孩子喜闻乐见，印象深刻，容易内化。
（3）关系符号
小学数学首先出现的关系符号是等号，接着是大于号、小于号，然后是约等号和不等号。 1557年，等号的首创者英国数学家列科尔德在其论文《智慧的磨刀石》中说：“为了避免枯燥地重复is equal to（等于）这个短语，我认真比较了许多的图形和记号，觉得世界上再也没有比两条平行而又等长的线段，意义更相同了。”
小学生容易感知“等长”，怎样让他们在学习平行概念之前初步感知“平行”呢？在“＝”两头各嵌入两个小正方形，以显示距离相等，用学生的语言来说“一样宽”：
在此基础上，以线段的中点为旋转中心，将其分别朝相反方向旋转30度，使等长线段的一端并拢，一端张开，就生成了大于号、小于号。
老师们都知道概括这两个符号的共同点是开口对大数，尖头对小数。若能通过动画演示让他们看到“开口”、“尖头”原来是从等号演变过来的，符号活了，亲近感油然而生，教学效果自然更为理想。
有教师发现，伸出右手，张开食指、中指，就是一个相当标准的大于号；反之，伸出左手，张开食指、中指，就是一个相当标准的小于号。
进而，约等号、不等号，也可以在等号基础上引进：
让等长的线段弯一弯，等号就变成了约等号；等号添上斜杠，就表示no，不等于。
看来，认为数学符号抽象、难懂的习惯性认识含有偏见。很多数学符号如同“象形文字”，是那样的简洁、生动、形象、传神。面对这些充满简约美的符号，任何教学艺术、任何语言描绘，都相形见绌。而且，符号本身就具有促进理解，帮助记忆的教学功能。如此有效的功能不加以开发、利用，实在是非常可惜的。
事实上，数学符号按其形成方式来分类的话，又可以分为象形、缩写、约定（如用a、b、c表示已知数，用x、y、z表示未知数）等类。非常庆幸，小学数学所引进的符号以“象形”为主。除了运算符号、关系符号，几何中的很多符号，如“∥”、“⊥”、“△”等，都具有明显的象形特征。这些符号给我们从一开始就让孩子领略数学符号的美妙与可爱，提供了有利条件。
也正是因为数学的象形符号与生俱来的简约记忆功能、辅助理解功能，所以，小学数学符号教学的基本任务是让学生欣赏符号、感悟符号。那些不切实际，花费可观的时间让学生自创符号的做法，值得反思。给学生自创符号的机会，并鼓励他们张扬个性，是很好的。但若脱离学生的实际，且厚此薄彼，忽视已有符号的认知与领会，就难免流于形式，适得其反。
2.其次是让学生初步感悟符号表达的优势与作用
多年来，用字母表示数的教学成为培养学生符号感的主要途径，因此，这方面的教学经验可谓汗牛充栋，还有什么需要讨论的呢？
一般认为，用字母表示数的优越性主要是简单明了，即“简洁”。除此之外，从特殊到一般，揭示一般规律的优点似乎并不突出。比如加法结合律用字母表示“a＋b＝b＋a”，用语言描述“两数相加，交换位置，和不变”，都能揭示一般规律。
这是由于小学数学学习内容简单、学生认知水平有限等因素造成的教学局限性。
仅从中国古代数学的发展历程来看，曾经有过辉煌，明朝中叶之后，一直停滞不前，固然有多方面的原因，其中公认的一个重要原因就是忽视了符号的使用。以初中数学的内容为
bb24ac例，就不难看出这一点。例如一元二次方程ax＋bx＋c＝0的求根公式x，
2a2
没有包括字母表示数在内的符号系统，它的推导将变得异常困难，推导过程的表述更是难上加难，即便写出来，也没人能看懂。
那么，怎样利用小学数学现有的内容，使学生对用字母表示数的优越性有更深入一些的认识呢？
乘法分配律是一个可以充分利用的载体。下面是人教版教材的一个片段：
用字母 a、b、c分别表示三个数，学生不难写出乘法分配律：
(a＋b)×c＝a×c＋b×c。
将它和算式比较，一个特殊，一个一般；与文字叙述比较，一个冗长，一个简洁。通常比较到此为止，实在有些遗憾。
细致分析女孩说的那段话，前面是“两个数”、“一个数”，后面变成了“它们”、“这个数”。原来这么长的一段话，谁和谁先加、再乘，又是谁和谁先乘、再加，仍然没有说清楚，不理解的人读了也白读。可见，用字母表示数的 “优势”不仅在于“简洁”，在于由特殊
到一般，更在于“准确”、“无歧义”。
还可以给出乘法分配律的几何模型，如：
c
a b 这里，先后出现了数学语言的三种形态。将图形语言比文字语言、符号语言比较，无可争议，图形语言更直观，但长度、面积都不可能是负的，而用字母，还能表示以后将要学习的其他数。
理论与实践都能告诉我们，数学语言的转化训练，也有助于符号意识的建立。
进一步，即使在小学，也能通过具体实例，让学生在解决问题的过程中，初步体会“使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。”例如，设计如下“数学小魔术”：
请你想一个整数，把它乘2加7，再把结果乘3减21。告诉我计算结果，我立即能判断出你想的整数是多少？
不妨先让学生尝试，每次教师都能准确说出学生心里想的数，有意制造悬念，令他们惊讶不已。然后“解密”：
设所想的数为x，则(2x＋7)×3－21＝6x＋21－21＝6x。
因此，只要计算正确，结果一定是偶数，且能被3整除，将计算结果除以6，就是对方所想的数。 高年级小学生乐此不疲，他们受到启发，在教师的鼓动下自己尝试修改规则，使计算结果为4x、8x、10x，于是兴趣倍增，从中还能体会引入符号的必要性，并初步感悟“符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。”
实践表明，新版课标关于符号意识的所有表述，都能在小学得到初步的落实。尽管如此，笔者还是不想把相关经验再加以细分、展开，一方面是为了突出符号意识培养的主要内容与主要对策，另一方面是笔者认为，与数感相比，符号意识并非小学数学教学的重点，过于铺开、处处着力难成上策。
这一工作角度的主次之分，并不妨碍研究的深入。重点固然值得研究，非重点也需要研究。相信随着教学探索的深入，还会生成更多的新经验、新策略。
主要参考资料：
1.史宁中：数学思想概论（第1辑）——数量与数量关系的抽象.东北师范大学出版社，2008.
2.姚相全：中小学数学符号感研究评述.《才智》2009年第7期.
3.车燕，任开隆：数学符号及其历史和作用.《北京联合大学学报》2001年6月.
跨越断层，走出误区：
《数学课程标准》核心词的实践解读之三
上海市静安区教育学院 曹培英
核心词三“空间观念”
一、还原空间观念的本来面目 1. 空间观念一词的由来
建国以来，历次颁布的小学算术（数学）教学大纲中，最早出现“空间观念”一词的是1956年印发的《小学算术教学大纲（修订草案）》。原文是：“在小学里学习几何教材，除了可以使儿童获得几何方面的一些初步知识和应用这些知识的技能之外，还可以发展他们的空间观念”。⑴
该“草案”是根据前苏联小学算术教学大纲编译的。据参加编译和修订工作的曹飞羽先生说，本应译成“表象”，考虑到当时这一心理学名词比较生僻，怕教师不理解，所以改译成“观念”。因为观念的词义，除了作思想意识或认识、看法解之外，还可以解释为“客观事物在人脑里留下的概括形象”，也就是表象。
从此，“空间观念”就一直沿用至今。
1986年，笔者参加《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》研制工作时，鉴于当时还没有空间观念的明确界定，且“表象”一词已被多数小学数学教师所熟知，曾提议是否改回“表象”。
经研究，发现小学数学的教学实践，已经突破了“表象”的局限。例如，教师给出长方体长、宽、高的厘米数，学生能够比划出长方体的大小，这实际上是空间想象的初步表现。本来，表象有记忆表象与想象表象之分，想象有再造想象与创造想象之别，表象与想象，很难截然划清边界。但当时初中数学教学大纲继续采用“空间观念”的提法，小学数学教学大纲自然不宜出现“想象”。
比较而言，空间观念的内涵比空间表象更为宽泛，留有余地。既然如此，还是不改为好。 2. 相关概念的梳理
作为实践解读，本不该过于追究术语、概念，但由于空间观念这一核心词的重要性（仅次于数感）与特殊性（由来的中国特色），适当梳理是必要的。读者可根据个人的需要，选择性阅读。
一般认为，“观念”一词源自古希腊的“永恒不变的真实存在”。它同物质和意识关系密切。由此可以认为，它原本是一个哲学术语。
从心理学的视角看，与空间观念有着紧密联系的概念有空间知觉、空间表象、空间想象和空间能力。
（1）空间知觉、空间表象与空间想象⑵
空间知觉是指关于物体、图形的形状、大小及距离、方位等位置关系的知觉。
空间表象是在大量空间知觉的基础上，形成的关于物体、图形的形状、大小及相互位置关系的印象。在认知心理学中，表象既是信息加工的成果，又是信息加工的过程。 空间想象是指在事物或图形的影响下，在言语的调节下，头脑中已有空间表象经过加工、改造、结合，产生新表象的心理过程。
显然，空间知觉是空间表象的基础，空间想象是空间表象的发展。正是由于表象处在“承前启后”的地位，同时作为一种信息表征它在记忆与思维中又起着重要的作用，所以随着认知心理学的兴起，关于表象的研究，可谓方兴未艾。
一般来说，从知觉到表象、到想象，这三种认知水平是递进发展的。
教学观察表明，同一年龄阶段的小学生中，不同的个体又可能表现出不同的水平。例
如，让五年级学生指认圆柱的高：
个别学生能正确指认圆柱实物的高（如图1），但在指认圆柱图形的高时，出现了错误（如图2），表明这类学生只达到了“实物识别”即空间知觉的水平。
高
高
图2 图1
有的学生不仅能正确指认圆柱图形的高（如图3），表现出“图形识别”即空间表象的水平， 还能根据提示语“长方形绕着它的一条对称轴旋转”，在圆柱正视图上正确指认该圆柱的高（如图4），表明这类学生已经达到了“剖面识别”即空间想象的水平。
高 高
图4 图3
从实物识别到图形识别、剖面识别，实际上也反映了表象概括水平的发展，特别是表象的流动性、可操控性（心理操作）的发展。
教学观察还发现，同一个学生在某种场合表现出这种水平，换个情境又可能表现出另一种水平，说明三种空间认知水平在同一个体中还会交错共存。
上面的问题情境，没有刻意排除知识（如“高”的概念）的理解，对于空间认知水平表现的影响。这是因为笔者认为：试图完全剔除知识、经验影响的实验研究，比较适合学龄前儿童；当实验对象是小学生时，这方面的努力常常是徒劳的。
类似的例子如：从小喜欢玩积木及各种玩拼装玩具的男孩，与喜欢玩娃娃的女孩，入学后自然会表现出空间认知水平的性别差异。有经验的教师都能发现这一现象，尽管差异会随着年龄的增长而有所减弱。但很多量化分析空间认知性别差异的研究，在筛选实验对象时，几乎都没有考虑各种活动经验的同等条件，因为这样做是非常困难的。
再说，在数学教育的语境中讨论空间认知，自然会联系教学内容，剥离几何知识的研究，难免拉大与教学实际的距离。因此，教学环境下的实验，不那么精准，却具生态性，对教学实践更有启发意义。
（2）空间能力
心理学关于空间能力的研究由来已久。不少学者认为空间能力是智力的一个重要的相对独立的成分，比如被誉为多元智能之父的加德纳认为，空间能力是几种“相对自发的人类智能”中的一种。然而，对空间能力的界定与结构分析，至今尚无定论。
按照能力的通常定义推演，空间能力应该是指人们顺利完成空间问题解决活动所必备的个性心理特征。这与加德纳关于智能的定义“量度一个人问题解决能力的指标”是一致的。
就认知活动来说，空间能力是以空间形式为主要对象，以空间知觉、表象和想象为主要心理活动过程，在头脑中进行几何抽象、分析与综合（包括图形的分解与重组）、判断与推理（包括图形的运动及二维、三维间的转换）的思维能力。简言之，所谓空间能力主要是特定领域内的思维能力。
上述概念的关系，可以大致图示如下：
空间知觉→空间表象→空间想象及其他思维 空间能力
图5 空间能力也不仅仅是空间思维严格地说，思维与能力是两个有区别的概念，（信息加工），
还包含空间问题解决（信息输出），但无可否认的是，空间思维是空间能力最主要的构成要素，将两者视为一体并忽略其他附属因素不失为一种研究策略。
为数众多的研究已经表明：空间能力对从事数学研究和科学、技术工作甚至一般工作的人来说，都是重要的；经过一定的训练可以提高空间能力的水平；小学阶段的训练也是如此。⑶
（3）空间观念
笔者以为，所谓“空间观念”是一个具有中国特色的数学教育术语，它的内涵只能靠我们自己，基于实践研究，借鉴相关理论来给予界定或描述。
从词语的实际使用情况看：一般教师大多把它视为表象、也会不知不觉地进入想象；学者们大多把它作为空间能力即空间思维的代名词，尤其是在课程标准中，将图形的抽象、分析等典型思维活动都纳入空间观念的范畴，其实就是在空间能力的意义下使用“空间观念”这一术语。
通过前面的分析，不难看出两种使用倾向实际上是趋同的。 据此，本文以下论述就不再区分空间观念与空间能力、空间思维，一概称之为空间观念。 在小学，空间观念以空间表象为主要表征形态，也包括一定的命题表征，并涉及空间知觉与初步的空间想象。
关于空间观念这一术语的中国特色，不妨再补充一个例证。
全美数学教师理事会于1988年前后制订的《美国学校数学课程与评价标准》，于2000年出版的《美国学校数学教育的原则和标准》，人民教育出版社都有中译本。
前一书，由国内学者翻译，多处出现空间观念一词。如：
“对于2—3维图形及其性质的领会和感知，图形之间的相互关系和变换图形的效果是
空间观念的重要方面。” ⑷
后一书，主要由旅居海外的学者翻译，书中难觅空间观念。相应的语段如： “空间想象——建立和操纵二维和三维物体的心智表征，及从不同角度观察一个物体的能力，是几何思维的重要方面。” ⑸
询问前一书有关章节的译者张卫国先生，他说是按照我国的用语习惯意译的。经查，原词是spatial sense，如果直译，应为空间知觉或空间感。
感谢友人相助，仔细查阅后一书的原著，不见spatial sense，取而代之的是spatial visualization（空间想象）、spatial reasoning（空间推理）、Geometric thinking（几何思维）等，揣想可能是前后两书不同作者或研究进展的缘故。
关于空间观念也包括一定的空间想象，有必要再展开作些说明。
一段时间以来，国内数学教育界比较普遍的看法是，空间想象要求过高。所以包括初中在内的义务教育阶段只提培养空间观念。
事实是，想象的难易，很大程度上取决于想象的具体内容：简单的形体，小学生都能想象；复杂的形体，大学生也难以建立表象，更不要说想象。
例如，本人执教“圆柱的认识”时，曾经有过一段有趣的师生对话。
师：想象一下，一个圆柱体直径20厘米，高1厘米。谁来描绘一下这个圆柱？ 生：这个圆柱体比较大、很矮，像个圆盘。 师：见过这样的圆盘吗？ 生：没有。
师：能画出图来吗？ 生：可以。 „„
本以为学生会联系生活经验，回答这是一张大饼，实际却无人有此联想；先前教学中出
示了圆柱体的教具和一些圆柱形的实物图片，但没有如此特殊的形状。由此推断学生回答时，记忆表象中还没有这样的圆柱变式，他们是凭借想象，对头脑中的圆柱表象（标准图形），依据已知尺寸作了改造。
这是限制在基础知识范围内一般学生都能完成的想象，比较接近表象水平。进一步更典型的想象，在许多灵活应用的练习中常有充分表现。例如：
一根表面积是138平方厘米的长方体木料，相对的两个面是正方形，正方形的边长小于长方体的长。从木料一头锯下一个最大的正方体，剩下部分的表面积为98平方厘米，求锯下的正方体表面积。
习题没有图示，凡能正确解答的学生都能清楚解释“（138－98）÷4×6”每一步计算的结果是什么，表明他们在头脑里想象出了前后表面积的差，是锯下的正方体4个面的面积：
图6
相反的实例，如“马鞍面”即双曲抛物面（图7），很多大学生学过之后画不出草图，观察多媒体演示也无济于事，说明他们并没有形成该曲面标准z 图形的记忆表象。
y 透过诸如此类的例证，不难得出启示：尽管我们将小学生
的空间观念主要定位在空间表象水平上，因为它切合小学生空0 x 间观念的现实水平；但不应排斥空间想象，因为它在小学生空
间观念的邻近发展区内。
图7 二、怎样把握空间观念
1. 教学文件中关于空间观念的阐述
在我国，1963年颁布的《全日制小学算术教学大纲（草案）》，首次在“教学目的”中提出了“具有初步的逻辑推理的能力和空间观念”的要求⑹，但未阐述什么是空间观念。
1978年的《全日制十年制学校小学数学教学大纲（试行草案）》⑺，以及1986年的《全日制小学数学教学大纲》⑻，都只是提出同样的要求，仍没有加以阐述。
1992年的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》，第一次对培养初步空间观念的要求，作了比较具体的描述：
“使学生逐步形成简单几何形体的形状、大小和相互位置关系的表象，能够识别所学的几何形体，并能根据几何形体的名称再现它们的表象，培养初步的空间观念。” ⑼
这段话言简意赅，首先刻画空间观念是指建立什么样的表象，然后说明最主要的表现“识别”与“再现”，至于未尽内涵，则用“培养初步的空间观念”概括。
2001年的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，进一步作出更详细的阐述： “空间观念主要表现在：能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。” ⑽
这段文字的内容非常丰富，有五层意思。
一是空间想象方面的表现，包括两种转换，即实物形状与几何图形、几何体与三视图、展开图之间的可逆转换。
二是动手操作方面的表现，制作模型、画出图形。 三是空间分析方面的表现，复杂图形的分解、分析。
四是空间描述方面的表现，描述运动变化、位置关系。描述位置关系还特别强调“采用适当的方式”。因为即便是在小学阶段，也要先后学习多种方式，即“上下前后左右”、“有序数对”、“方向和距离”、“相交或平行”。
五是用图形描述问题和直观思考，相当于新版课标中的第四个核心词“几何直观”。 空间观念的种种表现，已经列举的相当全面、详尽了。如果说有遗漏的话，那就是图形的抽象、图形的特征或者说性质。
修订后的新版课标，关于空间观念的语段是： “主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。”⑾
很明显，比课标实验稿更为精炼、概括，揣摩意图，可能意在突出重点、削枝强干。 空间想象方面，增加了想象方位和位置关系，补上了根据特征抽象出几何图形。这里的“特征”显然是指几何特征，这里的“几何图形”可以理解为包括平面图形、立体图形及其三视图、展开图。
空间描述方面，只留描述运动变化，位置关系不再重复。
动手操作方面，强调画出图形，省略了制作模型。虽说“制作”是培养空间观念的有效手段，但毕竟不是数学教育的“核心”。
用图形描述问题和直观思考，单列了一个核心词“几何直观”予以强调。 删去了空间分析方面的要求，对小学数学来讲，关系不大。 立足于小学数学实际，课标两个文本中的“想象”，以空间表象水平的再认、再现及联想为主，可以认为主要是日常习惯用语，还不是心理学严格意义上的纯粹空间想象。
2. 空间观念的主要表现 不管把空间观念理解为“空间能力”，还是“表象＋初步的想象”，出于教学实践的需要，教师最为关注的还是空间观念的具体表现。
概括地说，小学生空间观念的表现，主要就是在所学几何形体的现实原型、几何图形与它们的名称、特征之间建立起可逆的“刺激—反应”。
实际事物 名称←→特征 图形←→变换
以受到实际事物的刺激生成的反应为例。
图8 看到手帕的反应是，这是一个正方形，头脑里出现图形，想到它的四条边相等，四个角
都是直角，等等。
提到香港特别行政区的区旗，想到旗面是长方形，五片花瓣可由其中一片旋转得到，有的学生还能看出瓣叶顶端的五个点在同一圆上，等等。
走在某一十字路口，反应出这两条路互相垂直，有时还联想到邻近的某条路与这两条路之一平行，等等。
看到皮鞋盒，头脑里出现它的立体图、三视图、展开图，想到它的面、棱、顶点的特征，等等。
上面例举的“刺激—反应”过程，包含了图形的抽象、图形及其位置关系的识别、图形性质的再现、图形的运动变化，以及立体图与其三视图、展开图的转换，也反映了表象与词语的双重编码效应。
至于空间观念的描述表达，无非是语言描述、画出图形和符号表示，其实就是数学语言的三种形态。以图形及其特征的描述为例：
A
3 B 3 C 图9
等腰直角三角形 △ABC，∠A＝90° 直角边长3厘米 AB＝AC＝3cm (单位：厘米)
文字语言 ←→ 图形语言 ←→ 符号语言
描述图形的运动变化和位置关系也是如此。 三、怎样提升培养空间观念的教学水平
小学阶段是人一生中空间观念发展的重要时期。在这阶段，怎样培养和发展学生的空间观念，是一个理论性和实践性都很强的课题，已有大量的相关论述与经验总结。这里本着“跨越断层，走出误区”的取向，择要表达一些个人见解。
1.借鉴相关理论
长期以来，我们研究“教”远多于研究“学”，随着“教育以学生发展为本” 的观念成为共识，情况开始好转，但心理学理论的应用仍处于教学研究的边缘。
例如教学体积概念的展示课，从老鼠与大象比大小开始，多媒体课件的演示一个接一个，有等长的两根木棍比粗细、封面面积相等的两本书比厚薄，还有各种各样体积不变的变换实例：
图10
位置变换 分解变换
形状变换(固体) 形状变换(液体)
图11 学生自然是兴趣盎然。可是，所有这些辨析内容，让人联想起幼儿园大班的教学活动。小学五年级学生还需要吗？
皮亚杰关于儿童获得体积守恒观念的实验及其结论告诉我们，受过教育和未受过教育的儿童大约在相同的年龄出现各种守恒能力，实现体积守恒的年龄是11-12岁。检测的方式是：
把纸片假设为湖，上面的方形是小岛，询问儿童在这些不同面积的小岛中盖房子，要能住下相同的人，该如何建。以此考察儿童是否理解通过高度的增加来弥补面积的减少，从而达到体积守恒（房子一样多）。⑿
把测试题改编成如下表述：
在两块地上建房子，一块地200平方米，建了三层楼。另一块地100平方米，要建同样大小、同样多房间的楼，你有办法吗？
在教学体积概念之前，对36名五年级学生（2名10岁，5名12岁，其他皆为11岁）进行检测，所有学生几乎都毫无困难地作出了正确的回答。
可见，教学的起点，应该是在学生已经具有体积守恒观念的基础上，使他们理解“体积”的词义，建立“三维”观念。如：
下面两支铅笔的体积一样大吗？两本书呢？为什么？
图12
有教师在教学前了解到学生对于体积的一个真实困惑“空气有体积吗？”于是准备了一个放了气的皮球和打气筒，打算在课堂上演示。教学过程中果然有学生提出这一问题，还没等老师拿出器具，一位学生说“我有办法证明给大家看”。只见他掏出一个塑料袋，往里吹气、抓住，“看！空气是有体积的。”事实教育我们，真的不能低估孩子的认知水平与能力。
再以皮亚杰理论的应用，反思两个教学案例：
其一，一年级教学球体的初步认识。鉴于儿童经常说“球是圆的”，为了区别“球”与“圆”，教师出示一个蛮大的塑料球，瓣开成两个半球面，让学生看到切口是圆。还给学生每人发了一个药丸的包装壳，让学生自己瓣开再观察。观摩者无不为教师的精心准备而折服。评课时有人提出疑问：儿童以为球是圆的，是因为球的剖面是圆吗？有人认为是的，因为西瓜切开来，就能看到圆面。也有人认为，恐怕主要是日常语言的误导，因为中国的语言习惯，“球”有骂人之嫌，“圆”富赞誉之意，所以该称“球”的地方常常代之“圆”，如歌词“地球是个美丽的圆。”
其二，三年级教学周长。为了引出“平面封闭图形一周的总长”这句话，教师煞费苦心创设情境，让学生区分平面图形有开口的、有封闭的，花费了不少时间。讨论时，相当一致的意见是：在此之前没有出现过封闭概念，区分封闭与否是必要的，需要改进的只是怎样节省用时。
反思两个案例，皮亚杰的理论能给我们什么启示呢？
关于儿童几何认知的发展，皮亚杰有一个非常著名的研究结论：与几何学的建立、发展顺序相反，儿童最初建构拓扑（如连通性、封闭性和连续性等）关系，后来是射影（直线构成等）以及欧几里得（多边形、平行和距离等）关系。⒀
尽管心理学界并未一致赞同这一认知发生次序，但可以肯定的是，儿童很早就能区分开放图形（如×）与封闭图形（如○）。也就是说，教学中出现“封闭”一词，是有认知基础的，无须过份展开，只要学生理解其意即可。
类似地，既然儿童从小就能感知射影关系，那么他们将球与圆混淆的主要原因，就应该是“球的正投影是圆”。因为在日常生活里，特别是从远处看球体，视觉效果往往是球的正视图。
其他理论（如范·希尔等人关于几何思维水平的研究）的应用，限于篇幅，不再举例。 总之，充分借鉴心理学已有的相关研究成果，可以启发我们更深入地研究“学”，从而真正“吃透”学生，减少教学的盲目性。
2.加强两种直观⒁
理论和实践都能告诉我们，小学生形成、发展空间观念主要依靠“视”与“触”，亦即主要途径、手段是观察与操作，两项都属于直观教学范畴。
（1）视觉直观
观察是一种有思维积极参与的感知活动。正是在这个意义上，人们常说观察是智力活动的门户。
小学生观察能力的发展与空间观念的发展，基本上是同步的。主要表现为：从感知强刺激成份到感知弱刺激成份；从认识单一要素到认识要素关系；从熟悉标准图形到熟悉变式图形。
笔者曾总结引导学生观察空间形式的基本教学策略：比较、辨析图形的异同；在运动变化中观察图形特征；在各种背景中识别基本图形。鉴于这些对策已为广大教师所熟知，因此本文不再展开。
（2）动作直观
小学图形与几何教学中的动作直观主要有两类，即操作实验活动与画图。 先谈操作实验。
最常用的操作实验有图形的拼摆、折叠、划分、测量、割补以及制作模型等。目前，各套教材都安排了很多这方面的内容，教师也积累了丰富的经验。
有必要指出：在整个小学阶段，触觉、运动觉与视觉的协同活动，始终是获得空间观念的有力支撑；即使到了高年级，当空间想象受阻时，提供操作材料动手实验，依然是行之有效的教学对策。试举一例。
有一道非常经典的几何题：
把一个表面涂色的大正方体木块，切割成27个同样大小的小正方体木块。三面、两面、一面涂色的小正方体木块各有多少个？表面无色的小正方体木块有多少个？
前一问的答案正好分别对应正方体有8个顶点（三个面的交点）、12条棱（两个面相交的边）、6个面，最后剩下
27―8―12―6＝1（个）
包在中间，六面无色，即后一问的答案。
这道题的经典意义在于形体特征与空间观念的有机整合，在于基本概念与答案之间简洁、明了的对应。自然也有遗憾，那就是挑战性不够。空间观念强的学生凭空就能想象，空间观念弱的学生看图也能明白。如果仅仅加大难度，比如将切割成27个改为1000个，或者将正方体改成长方体，并且去掉“同样大小”等，则破坏了答案的简洁性，且空间想象的余地并不大。
采用突破思维定势的方式对上题加以改造：
一个表面涂色的长方体木块，长、宽、高都是整数厘米，把它切割成若干个棱长1厘米的小正方体木块。
①如果存在恰有五个面涂色的小正方体，那么这样的小正方体最多有几个？
②如果其中只有两个面涂色的小正方体恰有4个，那么大长方体的长、宽、高各是多少厘米？
此题曾让教师解答，参加培训的近50名教师只有3人全对。
给五年级学生思考，允许用小立方体学具摆一摆，他们一动手，就发现了最多只有2个小正方体恰有五个涂色的面。部分学生还能说出理由：有五个涂色面的小正方体只有1个面与其他正方体重合，所以只能在长方体两头，而且长方体只能由一排小正方体组成。第②问也有不少学生找出了全部答案。 ① ② „„
最多只有2个五面涂色 恰有4个两面涂色
图13 图14
显然，让学生多种感官协同活动，自己构造直观，有效地支撑了空间想象，有利于空间观念最近发展区的最大化。
再讨论画图。
画图本是学习几何的常规直观手段，但在小学至今没有受到应有的重视。
一方面，在新版课标的课程内容中：第一学段没有明确的画图要求；第二学段除了方格纸上的简单作图之外，也只有“会用圆规画圆”，“能画指定度数的角，会用三角尺画30°,45°,60°,90°角”。
另一方面，在几何教学的实践中，画图常常处在可有可无的边缘地位。
很多教师非常重视算式书写习惯的培养，甚至要求等号必须用尺“写”，却很少有教师重视画图习惯的培养。比如，只有极少数教师会强调，画图必须用铅笔，而不是手上拿着什么笔就用什么笔画。多次听到初中教师抱怨：“为什么小学老师会容忍学生用圆珠笔、水笔画图。”
当然，培养良好的习惯，只是“重视”画图这一有效直观手段的浅层表现，更实质性的是通过画图，丰富学生的几何认知，促进空间观念的发展。
例如：过两点画直线、线段，可以感知两点确定一条直线，两点之间线段最短；过直线外一点画已知直线的平行线、垂线、垂线段，有助于体会平行公理、垂直的唯一性，以及垂直线段最短。
我们的教学实验表明，小学高年级学生完全能够独立探索、总结用刻度尺、量角器画三角形的方法，即已知两边与夹角、两角与一边画三角形。在教师的启发下，他们也能用刻度尺和圆规按已知的三边画出三角形，并总结出画法。
在这手脑并用的过程中，学生还经历了一系列的想象、验证活动，获得了可贵的探究体验和一定的操作经验。
基于多年的教学实证，可以初步得出结论：初中数学视为“公理”的几何事实，绝大部分能够也应该在小学阶段通过探索性画图活动，让学生积累感性认识，进而在发展学生空间观念的同时，切实改善、强化中小学数学教学的衔接。
当下的现状是：小学阶段，有时间铺垫，却少有作为；初中阶段，内容多，时间紧，大凡作公理处理的几何命题，难以展开，只能一带而过。能力强的学生，可以自己在短时间内填补认知空隙；学习困难学生，认识不能一次完成，常常处于似懂非懂状态。因此，客观上加大了两极分化。
十几年前，研究初中几何入门难问题时，已经发现了这一问题，然而大面积的教学实践，迄今未见明显改观。
真诚地呼吁、期望我们的教材、教学能在这方面多下点功夫！ 3.重视两个“结合”⒂
（1）语言与形象结合
语言是通过教学促进学生空间观念发展仅次于直观的重要手段。 从图形的认识来看，小学生空间观念的年龄特征，决定了他们正处在由以依据表象为主的直观辨认水平，逐步向以依据特征为主的初级概念判断水平发展。这种发展的中介，就是用语言概括、描述形体特征。
从语言的介入来看，小学生空间观念的发展，主要表现为两个特点：一是从直观辨认图形到语言描述特征；二是从使用日常用语到使用几何语言。
例如，从身高、树高等生活中“高”的认识，到几何图形中“高”的认识；从平行四边形的高（平行线间的距离）、三角形的高（点到直线的距离）的认识，到圆柱的高（平行平面间的距离）、圆锥的高（点到平面的距离）的认识，离开了语言描述是难以完成的。
这里的重要概念“垂直”与“垂直线段”，在小学通常只给出二维平面上的界定，回避三维空间中的说明，至多是用“距离最近”、“长度最短”等解释加以直观刻画，但语言描述仍然是不可或缺的。这里的表象倘若没有初步的、笼统的概念作支撑，就只剩空间知觉了。
可以说，小学生学习几何与形成空间观念的过程，在某种意义上也是掌握几何语言的过程。在这教学过程中，教师必须充分运用语言工具，通过引入几何语言同化、矫正日常用语，发挥其“调节”、“内化”功能，将大大促进小学生空间观念的形成与发展。
为此，首先应当重视适时抽象概括，并采用适当的语言，把图形及其位置关系的本质特征表达出来。这方面，教材上的用语，都经过周密考虑，精心设计。对于教师来说，重要的是在课堂教学过程中，如何根据小学生的认知特点和具体内容的
图15
实际情况，作出适当选择，相机给予启发。
例如，观察图15，大小两个正方形里的阴影部分，常有学生认为是平行四边形。主要原因是图形整体形状的刺激强度大。那么，怎样说明阴影部分不是平行四边形呢？
作为教师，有多种选择：左右两边不平行，两组对边都不相等，上下两边不相等。如果考虑学生，则上下两边不等应为首选。
理由之一，边的长短是仅次于图形整体形状、大小的强刺激成分，学生易于感知。
理由之二，左右两边不平行，在小学缺乏依据。虽说有个别学生，甚至能添上辅助线（如图16），说明两个正方形的对角线图16 才是平行的，但实际上用到了初中几何知识“同位角相等，两直线平行”。
其次，还应注意出示图形时尽可能配以说明。仍以图15为例，试比较下面两种指导语（尺寸、单位略）：
求图中阴影部分的面积；大小两个正方形（如图），求阴影部分的面积。 前者是目前小学数学的习惯用语，因为小学的几何属于直观几何，允许学生看着像什么图形，就认为是什么图形。
后者作了改进，理由是应该随着年级的升高，有意识地通过语言的介入，帮助学生逐步摆脱单纯依赖直观的习惯。
（2）数与形结合
数形结合在几何研究中的作用，数学家华罗庚有过非常精辟的论述“数让形更入微”。即便是小学的几何，无论是研究形体的形状、大小，还是研究它们的位置关系，都既需要定性描述，又离不开定量刻画。
例如，长方体的特征，决定了它们的一般形状，每一个长方体的具体形状、它的大小，还需要通过长、宽、高，用数量来刻画。
又如，平面上两条不重合直线的位置关系，要么相交，要么平行，这是定性分类。进一步的研究，就要通过度量，用到夹角的大小、平行线间的距离。如果两条直线相交，只要知道其中一个角是直角，就可以推出其他三个角都是直角，这些都是初步的定量研究。
可见，小学数学同样是“数让形更入微”。
在小学，尤其是在“求积”计算的教学过程中，数形结合还具有特殊的教学法意义。比较常用的策略如：将图形的特征与图形的计算相结合，通过图形、算式对照来讲清算法与算理，等等。这些策略在公式推导、问题解决的教学中，都有明显实效。
例如公式推导，从圆面积公式的导出，到圆柱体积公式的导出，将数形结合 的割补法由二维推广到了三维，在提升几何基础知识教学有效性的同时，也使学生空间观念的内涵得到了丰富。
r
πr S h 图17
又如问题解决：
问题1，一个圆与一个长方形的面积相等，圆的半径与长方形的宽相等，都是4厘米。求长方形的长。
问题2，一个圆柱与一个长方体的体积相等，圆柱的底面半径与长方体的高相等，都是4厘米，圆柱的高等于长方体的宽。求长方体的长。
图19 图18
解答问题1，常规的思路是先求圆面积，也就是长方形的面积，再除以宽。如果能联想到导出圆面积公式的割补转化（如图17），就能发现长方形的长是圆周长的一半，由此直接算得长方形的长是4π厘米。
解答问题2，由于计算圆柱侧面积缺少条件，常规思路受阻。小学生极少有人想到用字母表示圆柱的高，用代数方法求解。但他们只要联想到导出圆柱体积公式的割补转化，把圆柱侧面的一半看作长方体的底面（如图18），则长方体的长就是圆柱底面周长的一半，答案也是4π厘米。
显而易见，两题的问题解答空间不仅容纳了公式推导的过程，还诱发了学生数形结合的想象，使空间观念得到了激活与提升。
注释：
⑴ 原国家教委中小学教材办公室、课程教材研究所编印：建国以来中小学数学教学大纲汇编.1986年.
⑵ 曹培英：小学生空间观念的形成与发展有什么特点.《小学数学教育》2010年第4期.
⑶ 刘晓玫：小学生空间观念的发展及特点研究. 中国基础教育优秀博硕士学位论文全文数据库，2007年.
⑷ 人民教育出版社数学室译：美国学校数学课程与评价标准. 人民教育出版社，1994年.
⑸ 蔡金法等译：美国学校数学教育的原则和标准. 人民教育出版社，2004年.40 ⑹ 同⑴. ⑺ 同⑴.
⑻ 原国家教委：全日制小学数学教学大纲. 人民教育出版社，1986年. ⑼ 原国家教委：九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）.人民教育出版社，1992年.
⑽ 国家教育部：全日制义务教育数学课程标准（实验稿）.北京师范大学出版社，2001年.
⑾ 国家教育部：义务教育数学课程标准（2011年版）.北京师范大学出版社，2012年. ⑿ 朱智贤主编：儿童心理学史论丛.北京师范大学出版社，1982年.
⒀ R．W．Copelan著，李其维等译：儿童怎样学习数学——皮亚杰研究的教育含义．上海教育出版社，1985年.
⒁ 曹培英：怎样培养、发展小学生的空间观念.《小学数学教育》2010年第5期. ⒂ 同⒁.
跨越断层，走出误区：
《数学课程标准》核心词的实践解读之四
上海市静安区教育学院 曹培英
一、怎样理解几何直观
近年来，几何直观成了数学教育的热议话题之一，学者、教师纷纷撰文阐述，其中不乏深入的学理分析与经验总结。然而，不少教师反映，阅读之后总体感觉相关概念难以辨析，有些文章“越看越玄”。
那么，基于小学数学教学的实际，我们应该如何解读几何直观这一核心词？有必要从直观的本意说起。
1.直观与几何直观的本意
所谓直观，字面意义是“直接的观察”，通常指“通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识”，即人们在实践中对客观事物的直接的、生动的、具体的反映。
我们常常赋予直观可视的意思，但“直接接触”并不仅指视觉，各种感官及其协同活动都能获得直接的感性认识。
例如，年幼儿童坐翘翘板，他们能够发现，如果坐在对面的小朋友比自己重，那么他离中间近一点，而自己离中间远一点，能使翘翘板平衡。这实际上是通过动作在直观水平上获得了杠杆原理的感性认识。
又如，教师讲述猴王给小猴分桃的故事，通过语言，也能使学生初步感知商不变性质。 在教育心理学中，直观是相对于抽象、概括而言的。一般认为：在实际教学中，就直观的对象来分，可以把直观分为实物直观、模象直观和语言直观三种。三种直观都是直观教学的常规手段，上面“坐翘翘板”的实例，属于实物直观，“讲故事”是语言直观，平时大量使用的各种直观图形则为模象直观。
根据直观的本意，所谓几何直观，无非是指特殊的、数学的直观，即指借助于几何图形（空间形式）而获得的感性认识。虽说这里的感性认识过程离不开知识、经验的介入，但毕竟感知是其主要的心理活动。
如果将几何直观诠释为只是“感性认识”，则一切都十分平常。因为小学数学历来重视通过直观教学，使学生获得感性认识，其有效性的理论解释也早就为大家所熟知。
2.几何直观的引伸意义
当下有关几何直观的论文，大多引用了一些哲学、数学、心理学视角的论述。如： 西方哲学家通常认为，“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识。”
数学家克莱因指出，“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上，数学的直观就是对概念、证明的直接把握。”1
数学家希尔伯特在他的名著《直观几何》一书的序言中写道：“在数学中，象在任何科学研究中那样，有两种倾向。一种是抽象的倾向，即从所研究的错综复杂的材料中提炼出其内在的逻辑关系，并根据这些关系把这些材料作系统的有条理的处理。另一种是直观的倾向，即更直接地掌握所研究的对象，侧重它们之间关系的的意义，也可以说领会它们的生动的形象”。2
数学和数学教育家弗莱登塔尔认为，“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”3 1
M克莱因．古今数学思想（第四册）［M］．上海：上海科技出版社，1979：99． 2
D希尔伯特，S康福森著，王联芳译．直观几何［M］．北京：人民教育出版社，1959：6． 3
弗莱登塔尔著，陈昌平等译．作为教育任务的数学［M］．上海：上海教育出版社，1995：43．
我国数学家徐利治教授认为，“直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。”4
心理学家认为，“直观是从感觉到的具体对象背后，发现抽象的能力”。
这些论述的共同点在于：直观、数学直观、几何直观，都不再停留在感性认识阶段，而是高阶思维、创新思维的结果，可以说是理性认识的升华，是认识的返璞归真。
3.几何直观的两种层次
为了研究、叙述的方便，更为了切合教学的实际，不妨对几何直观的层次或者说水平，加以区分：将处于感性认识阶段的、较低层次的几何直观，称之为“直观感知”，即观察认识了直观载体的外在现象或表面意义；将更高层次的几何直观，概括为“直观洞察”，即观察发现了直观载体的深层意义或内在本质。
作出这一区分有多方面的理论依据，其中最基本的依据是，直观对于数学具有双重意义。一方面，直观是数学抽象的基础与数学认知的有力支撑；另一方面，直观又是数学抽象的重要内涵与数学认识的深化。
无须违言，直观洞察层次的几何直观，在以往的小学数学教学中，较少得到关注，似乎难以举出确切的例证，这也是教师感觉费解、捉摸不透的原因之一。
下面将不断提供教学案例，说明直观洞察并非只是数学家的专利，小学生也能在他们的认知水平上涌现许多令人赞叹的直观洞察。
还必须指出，两种层次的几何直观之间并不存在截然划分的界线，它们之间常常具有连续性、渐进性，也就是说，存在许多介于两种层次之间的几何直观。有时，从直观感知到直观洞察，也会呈现跳跃性，即所谓的“豁然开朗”。
4.数学课程标准的陈述
《全日制义务教育数学课程标准（2011版）》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”
这段话只有三句，第一句将几何直观的两种主要表现作了非常精炼的概括，后两句进一步阐述几何直观的优势，或者说它的作用（功能）。与其他核心词类似，回避了几何直观的明确界定，同时又是针对义务教育三个学段的共性统一加以阐述。
基于上述几何直观的层次区分，可以认为三句话其实都涵盖了两种层次的几何直观。例如，“直观地理解数学”既包括“直观感知”水平的初步理解，也包括“直观洞察”水平的本质理解，当然也包括介于两种层次之间的相对深入的直观理解。
显而易见，其他两句话也能如此解读。 5. 两种层次的几何直观的实例
立足教与学的实际，小学阶段的几何直观，以直观感知层次为主，逐步向相对深入的直观理解水平发展，同时兼有少量直观洞察层次的表现。
直观感知层次的实例如：
[案例1] 为了帮助低年级学生直观感知乘法交换律，理解一句乘法口诀可以算两道乘法题，常常采用如下图示(图1)。
○○○○ →横着看，3个4， ○○○○ ↓竖着看，4个3，
○○○○ 所 以：4×3＝3×4。 图1 图2 4
徐利治．谈谈我的一些数学治学经验[J]．数学通报，2000(5)
为了增添趣味性，也可以把圆形换成“小精灵”，如图2。 类似的教学实例很多。
[案例2] 让每一小精灵手拿2只气球，计算一共有多少只气球，就成了一个有利于直观感知乘法结合律的插图，如图3。
每行有2×4只气球，3行有2×4×3只气球， 一共有4×3个精灵，一共有2×(4×3)只气球, 所以：2×4×3＝2×(4×3)。
图3 [案例3] 再增加2行小精灵, 计算两组精灵一共有多少个，就是一个可以导出乘法分配律的直观图，如图4。低年级小学生都能观察感知：3
图4
个4加2个4等于5个4。这样的直观解释不仅具体揭示了乘法与加法之间的联系，而且将这一联系归结为乘法运算的原始意义，因而在后续的数学学习与数学应用中，具有相当广泛的学习迁移价值。
低年级小学生能够发现这些图示所揭示的数学事实，但还没有要求他们用语言或字母概括一般的规律，所以说这时的认知还处在直观感知水平。
仔细回溯以往的教学，也能找出一些直观洞察层次或接近该层次的实例。
[案例4] 为了帮助高年级学生直观洞察两数之积一定时，两数之间的反比例关系，常常给出实例，如“面积12平方米的长方形，长a、宽b的米数取整数时”：
1 2 3 4 6 12 a (米) b (米) 12 6 4 3 2 1 b (米)
12· 11 y＝x 10 9 8 7 6 ·
5
4 ·
3 · 2 · 1 ·
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a (米)
图5
借助长方形面积一定这个几何模型，学生可以相当直观地悟出，积一定时，两个因数的反比例关系，原来是这么回事：当长方形面积固定不变时，宽随着长的变化而变化，长越大，宽就越小，反之亦然。尽管对于反比例函数yk来说，这个几何模型具有较大的局限性，x但用来解释k＞0时第一象限的变化规律，还是不错的。
同类实例又如：
[案例5] （1）两个数的和是8，这两个数的积最大是多少？学生能够通过不断尝试，
发现两数之积的最大值是4×4，但无法作出解释。
（2）周长都是16厘米的长方形，长、宽各取多少时，面积最大。让学生利用方格纸画图，他们同样能发现，长、宽之和8厘米，长、宽相等时面积最大，如图6。面对自己的“作品”，有些学生会若有所悟：长每缩短1厘米，宽则增加1厘米，周长不变，而围成的长方形，面积在增大。于是，找到了两数之和为定值，两数时相等时积最大的一种几何解释。个别学生在画图过程中还特意涂出面积“慢慢长大”的部分（如图7），并且发现“长大”部分越来越小，即“长速”在变慢。
图6 图7 后两例对于小学生来说，称得上接近直观洞察层次的几何直观。至于处在两种层次之间
的非典型案例，就不再例举了。
二、相关术语的辨析
老师们之所以阅读理论文章感觉“越看越玄”，另一个主要原因是存在许多与几何直观既有联系，又有区别的相关术语。这里试作简要辨析。
1. 几何直观与空间观念 在几何学习中，粗略地说：“直观感知”是建立空间观念的基础；“直观洞察”是空间观念的发展与升华。由此可以认为，两者互为因果，相辅相成。
同样，在数学其他内容领域的学习中，几何直观与空间观念也在相互作用。 例如，学习“相遇问题”，几何直观与空间观念都是不可或缺的。教师可以通过指导学生画线段图（如：用箭头表示运动方向，用线段表示所行路程，让两条运动路线“各行其道”等），帮助他们形成两个物体相向运动的表象（如图7）：
这时，几何直观成了建立空间观念的有效手段，线段图使学生的视觉-空间表征（图式表征）得以显性化。研究认为，在许多数学问题中，基于空间视觉能力的图式表征能够加强解题者对问题的理解，对成功解决问题提供帮助。
甲 乙 甲、乙同时相向而行至相遇 图8
进一步，让学生凭借空间观念，自己画线段图表示较复杂的问题，如： [案例6] 甲、乙两人由两地相向而行，甲先行2分钟后乙才出发，又经过
甲2分行 甲3分行 乙3分行
100米
？米
图9
3分钟，两人第一次相距100米。已知甲每分钟行70米，乙每分钟行80米，求两地间的路程。
这时，相向运动的空间观念成了构造几何直观的基础，观察线段图呈现的几何直观，也就容易理解问题的数量关系。
有学生质疑，为什么是“第一次相距100米，难道还有第二次相距吗？”教师因势利导，把上题的第三个条件改为“两人第二次相距100米”，其他都不变，让学生小组讨论，多数
小组完成了线段图的修改，并搞清了数量关系的变化。
甲 乙 100米
？米 图10
显然，在整个过程中，几何直观与空间观念都得到了发展。正因为如此，数学课程标准实验稿，将几何直观的表现归入空间观念，不无道理。
2. 几何直观与数形结合 从内涵看，数形结合看重数学两类研究对象之间的联系，几何直观侧重数学研究对象的几何意义。
从外延看，数形结合具有两方面的作用，数学家华罗庚先生生前对此有过非常精辟的刻画：形使数更直观，数使形更入微。
很明显，前一方面的作用“形使数更直观”，是几何直观与数形结合共同的功能与表现。 它们的区别是：数形结合还具有“数使形更入微”的作用；而几何直观则还可以运用于几何本身。
应该说，这一区别并不难理解。问题在于，很多文章在论述几何直观时所举的实例，几乎都可以用“数形结合”来概括。比如，几何直观在数的认识、数的计算以及解决实际问题中的应用，都可以归结为数形结合。既然如此，几何直观这一核心词还有单独存在的必要吗？
撰写本文前，笔者曾与几位作者作了交流，为什么没有想到几何直观在图形与几何领域中的应用？得到两种回答：一是几何图形本身就是可视的、直观的，还需要强调直观吗？二是找不到不是数形结合的几何直观的例子。
其实，几何本身也要依靠直观、重视直观。一方面，小学数学的几何事实，几乎都是看出来的。另一方面，可视并不等于理解，教学中经常遇到学生视而不见的现象。因为观察获得几何事实的含义，需要知识经验的参与，需要一定的领悟能力。也就是说，几何教学需要强调直观观察与直观理解。
再者，确实存在不是数形结合的几何直观。例如，“两点之间的各种连线，线段最短”，就是看出来的，无须定量分析。一般来说，欧氏几何的公理大多是相当
● ●
纯粹的几何直观，基本不靠数形结合。
图11 尽管数形结合不能完全涵盖几何直观，它们既有交集，又有各自的
差集，但从小学数学教学实际来看，无论是应用的范围，还是广大教师
的熟悉程度，都是数形结合超过几何直观。我们不必为了肯定几何直观，而否定这一客观事实。
3.几何直观与几何推理
首先，几何推理始于几何直观。有两层意思：一是推理的前提“几何公理”依赖直观；二是直观能够帮助发现几何规律，在研究、学习几何知识的过程中，几何直观常常是发现几何规律（如图形的性质）的先导。
其次，几何推理确认几何直观。因为直观不能保证观察发现的确定性、一般性。
如果把几何推理视为演绎推理，则几何直观的发现就不妨看作合情推
图12
理。有时，几何直观具有几何推理难以企及的优势。例如，一般的平行四边形不是轴对称图形，容易依靠直观确认，而难以证明。又如：
[案例7] 正方形盒内放1个、2个、3个、4个、5个相同月饼，使月饼直径最大。 有趣的是，解决该问题，初中生的表现竟然与小学生差不多。如果要求推理计算，大多
数初中生与小学生一样，只能求出放1个、4个月饼的直径；如果允许画图表示结果，那么小学生不断试误、修正的结果，同样不比初中生逊色多少，如图13。
图13
看来，问题的难度（计算不容易，证明“最大”更难），使得中小学生的几何推理处在同一水平线上，他们都只能施展自己的几何直观，给出问题的答案。
4.几何直观与直观几何
几何直观是数学研究的一种视角，也是数学认知的方式与数学教学的手段；直观几何在基础教育中则是数学课程的一种形态，或者说数学教材的处理方式。小学数学中课程的几何，都属于直观几何。不论是直观几何课程还是论证几何课程，都需要几何直观。
5. 几何直观与几何直觉
直观与直觉是两个十分相近的概念，特别是几何直观与几何直觉，都是可视的，区别更加模糊。如果硬要说出两者的不同，那么几何直觉是意识的本能反应，具有迅捷、敏锐的特征，有时就是一种猜测；而几何直观则可能是思考的结果，甚至是迟缓的、深思熟虑的产物。
从用词习惯来看，直观感知层次的几何直观，通常不会说是几何直觉，如前面的案例1～3。而直观洞察层次的几何直观，有时也会说成几何直觉。例如：
[案例8] 多年前，为选拔参加数学竞赛的学生，曾选用如下口试题：
如图14，大圆直径是小圆的2倍，“ ”与“ ”，哪
个面积大?
老师们都为这道题原创者的精湛设计赞叹不已，谁知测试结果绝大多图14 数被试都不假思索地回答“相等”。当追问为什么相等时，略多于三分之
一的学生能说出正确的推理，而且都需要思考片刻。当时，大家一致认为学生的即时反应是一种直觉，含有一定程度的猜测和朦胧的整体把握。现在看来，称作几何直观也未尝不可，因为能说清楚的学生，他们的当即判断也可以认为是推理的简缩。
总之，几何直观的出现，有赖于空间观念的基础，有赖于直观几何课程的教学，反过来几何直观又能促进空间观念的发展，辅助论证几何课程的学习；几何直观常常用到数形结合的思想方法，它比数形结合更看重直观感知、直观理解和直观洞察；几何直观是几何推理的基础，是几何发现的先导，还是确认几何结论的实用方式；几何直观与几何直觉常常混用，区别主要在于本能反映是否起主要作用。
愿以上偏重教学现实的辨析，有助于几何直观这一核心词的理解、把握与教学落实。 三、怎样培养、发展小学生的几何直观
培养、发展小学生的几何直观，可以从夯实基础、体会作用、拓展时空等方面入手。 1. 夯实几何直观的基础
毫无疑问，空间观念的建立对于几何直观具有直接的作用。所以，培养小学生的几何直
5
观，最基本的途径就是加强空间观念的培养。有关的具体做法与策略前文已有论述，这里不再展开。
2. 体会几何直观的作用
（1）重视数形结合的应用，特别是“形使数更直观”方面的应用。 5
曹培英．跨越断层，走出误区：《数学课程标准》核心词的实践解读之三[J]．小学数学教师，2013(5)
事实上，小学数学从开始认数，就在不断地使用几何直观。例如： [案例9] 认识个级的四个计数单位的立方体模型（图14），因其有助于学生建立这些计数单位的数感，而被反复使用。
个 十 百 千
图15 之后，认识小数、分数，理解整数、小数、分数的四则运算，也在大量地使用几何直观。
如：
[案例10] 分数乘法的几何模型，为什么分母相乘、分子相乘，一目了然。 442428
5355315图16
要使学生意识、体会到几何直观的作用，很重要的一条策略是激活学生的主观能动性。比如，让学生自己画图探索
42的结果，比起只观察、不动手来，效果要好的多。 53（2）重视数学的直观理解。
几何直观的作用不仅是让儿童确信数学事实，还能启迪儿童获得自己的意义建构，从而促进理解。
例如案例10，有学生受上述几何模型的启发，对分数乘法的算法作出了自己的解释：因为分了又分，所以分母相乘；因为取了又取，所以分子相乘。这一依赖于直观图示的解释，不失为一种个性化的算理建构。
（3）重视数学的直观洞察。
随着年级的升高与数学学习的进展，应当有意识地创造条件，逐步提升学生的几何直观水平。
前面的案例4和案例5是数与代数领域的两个实例，这里再介绍一个图形与几何领域的例子。
[案例11] 教学平移、旋转和轴对称之后，让学生观察图16的四叶图案，他们容易看出其中的每一片叶，既可以由相邻的那片叶经过轴对称变换得到，也可以由相邻的叶片旋转90°得到，或者由同一直线上的那片叶经过平移得到。有些学生从中发现平移、旋转能够由轴对称来实现，进而产生猜想：是不是所有的平移、旋转都能由轴对称来替代？
图17 这一猜想称得上比较典型的直观洞察，因为确实存在如下规律：
一般地，两次翻折，当对称轴互相平行时，相当于一次平移；当对称轴相交时，相当于一次旋转。
不难给出实例，使高年级小学生通过观察确信这一猜想。如图17，“带烟囱的房子”先后以l1，l2为对称轴翻折两次，相当于一次平移（平移的距离为两条对称轴之间距离的2倍）；如图18，三角形依次以l1，l2为对称轴翻折两次，相当于一次旋转（旋转角度为两条对称轴
l1 l2
l1
l2
夹角的2倍）。
还可以给出特例，让学生看到，“不带烟囱的房子”与等腰三角形（即轴对称图形），翻转一次，就能完成平移或旋转（如图20、21）。
l l
图21 图20
在小学，直观洞察的机会不多，但也并非绝无仅有。
通过诸如此类的实例，经常刺激学生的观察欲望，有利于养成多角度深入观察的习惯。在这过程中，不断积累直观理解、直观洞察的体验，感悟其作用，体会其价值，自然就能强化几何直观的意识。
3. 拓展几何直观的时空
这里，着重介绍两条主要的途径。 （1）适当扩展几何直观的应用范围。
除了四则运算的算法解释可以直观图示之外，还有不少内容也能发挥直观教学的优势。试举两例：
[案例12] 教学2或5的倍数的特征，通常只归纳结论，不讲为什么。如果出示图22：
236＝230＋6
图22
就比较容易让学生直观理解：一个多位数总可以分成整十数与个位数两部分，整十数一定是2或5的倍数，因此判断一个多位数，只要看个位数是不是2或5的倍数。进一步还能由图想到，如果一个多位数不是2或5的倍数，那么它除以2或5的余数，也只有看个位数就行了。例如，6除以5余1，则236除以5的余数就是1。
[案例13] 计算
6
1111，一般学生只会先通分，再相加。如果画图并演示（图2481612141812141811623）：
1 11 41 22 图23 绝大多数学生都能受到启发，“看出”简便算法：
11111151－。 248161616 6
曹培英．“图形与变换的备课与教学”．[J],人民教育，2006(13-14)
进而没有图示也能如法炮制：
111111111271－。 248163264128128128显然这是几何直观促成的类推。
（2）逐步形成构造直观的系列。
从一年级起，就可以相机引导学生画图表示数，画图说明计算结果，特别是在解决实际问题时，放手让他们“把应用题画出来”。起初数量小，3可以画3个△或3个○表示，不妨称之为示意图。以后再酌情引进线段图、韦恩图（“集合圈”）。
目前，实际问题的图示一般局限于线段图，个别教材出现了长方形图（又叫矩形图或面积图），也只用于求面积的问题。事实上，长方形图是一种迁移、应用范围很广的图示方式。当我们用长、宽分别表示两个量，则面积表示这两个量的积。因此，比较适合直观揭示
单价×时间＝总价 速度×时间＝路程
工作效率×工作时间＝工作总量
之类的数量关系。例如：
[案例14] （1）会场原来每排20座，有15排，扩建后每排增加5座，增加3排，扩建后共增加多少座位？
20 5 常有学生以为5×3就是增加的座位数，为什么是错的，
解释较费口舌。学生自发想到的算法是：
15 (20＋5)×(15＋3)－20×15。 ？ 还有其他算法吗？凭空想，有困难。 3 （2）原计划买20只皮球，每只15元。实际每只涨价图24 3元，且多买5只，实际比计划多花多少元？
（3）学校长方形植物园原来长20米，宽15米，扩建后长增加5米，宽增加3米，扩建后面积增加多少平方米？
三题情节内容各异，它们的数量关系（数学模型）相同，且都能用长方形图表示（图24）。看图，为什么5×3是错的，不讲自明。还有哪些其他算法，也迎刃而解了。一般学生都能看图划分，得到另两种解法：
5×(15＋3)＋20×3；(20＋5)×3＋15×5。 究其原因，主要是直观图示激活了有关组合图形面积计算的知识与技能，促进了学习与应用的迁移。
又如，有关平均数的问题：
[案例15] 某班50人，一次英语口语测试后按成绩排队，前30名的平均分比后20名的平均分多12分。小明把前30名的平均分加上后20名的平均分再除以2，这样得到的结果与全班真正的平均成绩相差多少分？
学生能意识到两部分人数不等，小明的算法有误。但是，两部分的平均分都不知道，怎么求呢？少数学生尝试采用“假设法”，如假设前30名的平均分是92分，则后20名的平均分就是80分。然后按常规方法列式计算。更简捷的解法比较隐蔽，极少有学生能独立发现。
根据题意画出长方形图（图25），学生看着、看着，纷纷联想到了“移多补少”，于是，计算能力强的同学口算就能解决问题。如图26，前30名学生的6×10分再给50人平分，1.2分就是小明的计算结果与全班真实平均成绩的差。
6×10 前12 12分
30 人均分30 人 20人
后20人均分 30 人 20人
以上三个案例表明，数学课程标准（2011版）所指出的“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果”，同样适用于小学数学。
教学实践表明，在整个小学阶段逐步形成构造直观的系列：
示意图→线段图→韦恩图→面积图→„„
对于发展学生的几何直观，提高他们的问题解决能力都有明显的功效。
四、几何直观的局限性 1.一个有趣的教学案例
[案例16] 一位老师教学“平行与垂直”，他让学生用红、蓝两根小棒（代表直线），在桌面（当作平面）上摆出两条直线的各种不同位置关系。有一名学生将红蓝两色小棒接起来成一条直线，教师表扬了孩子的创意，肯定这是一种特殊的位置关系“重合”。
谁知课堂上教师的表扬引起了课后的争论。有学生发现，旋转两条相交直线中的一条，使夹角为0，就是重合，所以认为重合是特殊的相交；也有学生说，平移两条平行线中的一条，让间隔距离为0，也是重合，因此认为重合应该是特殊的平行。他们谁也说服不了谁。教研组全体教师展开了论战，出现四种答案：特殊的相交、特殊的平行、两者皆是，两者皆不是。
都是几何直观惹的祸。 2.案例的简要剖析
老师们的口水仗打到了我这里。听了陈述，情不自禁，为学生的几何直观，为他们的空间想象而异常兴奋。真是“太有才了”，居然给出了一个从量变到质变的生动、浅显的例子。难道不是吗？
学生得出的两种结论：两直线重合“是夹角为0的相交”，“是间距为0的平行”，从几何直观来看，是那样的自然，言之有理。但从逻辑思维看，又与同一平面上两条直线相交、平行的概念相悖。
当两条直线相交时，如果交角趋于0，它们的极限位置就是重合，量变最终发生了质变。因为两条直线已经不是只有一个交点，而在一刹那有了无数个交点。一个非常直观的“悖论”！
当两条直线平行时，如果间隔距离趋于0，它们的极限位置也是重合，量变又一次导致了质变。因为两条直线已经不是没有交点，而是无数个交点。
所以说，两条直线重合，既不是相交，也不是平行，而是同一平面内两条直线位置关系的第三种情况。
鉴于两条直线重合，成了一条直线，所以小学、初中都不再讨论。但到高中学习平面解析几何时，两直线重合就不能回避了。因为平面上的直线是由平面直角坐标系中一个二元一次方程所确定的，把两个二元一次方程联立：当这个方程组无解时，两直线平行；只有一解时，两直线相交于一点；有无穷多解时，两直线重合。
如何理解几何直观的局限性？
简单地说，几何直观具有发现真理的功能，却不兼备证明真理、确保真理可靠性的功能（公理除外），这是数学自身特点，高度的抽象性与严谨性，所决定的。
在结束本文之时，重新审读上面的论述，几何直观与空间观念、与数形结合之间的联系与区别，洋洋洒洒，不能说没有道理。但若面对小学课堂的真实情境，真正进入数学教学的
实践，又不得不承认，这些概念间的差异，实在微不足道，可以忽略不计。再冷静审视上面罗列的那些案例，似乎都能说明问题，有些也有一点新意，但真正有别于数形结合的例子，其实并不多。
由此笔者以为，将几何直观列为核心词，有积极意义，如有利于加深对直观的认识，有利于指导直观教学的改进。但实际上，只要切实加强空间观念的培养，重视数形结合的应用，也就可以了。因为小学数学历来以直观认识、直观理解为主。到了高中，相对于义务教育阶段，数学学习更多依赖抽象逻辑思维了，再来强调几何直观，恐怕更具实践指导意义。
理论研究需要咬文嚼字，实际教学看重操作、策略与实效。相信更加深入的实践研究、更为丰富的经验总结，在提高教学成效，让学生受益的同时，也能为提升理论研究水平，助一臂之力。
跨越断层，走出误区：
《数学课程标准》核心词的实践解读之五
上海市静安区教育学院 曹培英
随着社会信息化程度的日益提高，人们每天都要面对来自网络、新闻媒体等渠道的各种数据信息，我们的日常生活、学习与工作都比过去更加依赖形形色色的数据信息。因此，统计知识的习得与数据分析观念的形成，已成为当今社会每一位公民不可或缺的基本素养。
正是在这一社会发展的大背景下，我国1998年颁布的本科专业目录中，统计学上升为与数学、物理学、化学等学科并列的一级学科，表明国家对统计学的重视与重新定位。2001 年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》将原来的“统计初步知识”拓展为“统计与概率”，成为小学数学课程内容重新归并后的四个学习领域之一，并提出了发展学生统计观念的培养目标。
在此基础上，《全日制义务教育数学课程标准（2011版）》进一步将“统计观念”修改为“数据分析观念”。
一、“统计观念”与“数据分析观念” 从名词本身看，“统计观念”涵盖“数据分析观念”，前者更概括，后者更具体。
从统计学科的研究内容看，统计学是一门收集、处理、分析、解释数据并从数据中得出结论的科学。由此可以认为，“数据分析是统计的核心”，将“统计观念”修改为“数据分析观念”，突显了统计的研究对象。
从教学工作现状看，有研究显示：针对“您认为小学统计学习中，最重要的是什么?”以及“您如何定位小学统计课程?”两访谈问题，“我们的小学数学教师都从统计的应用、统计图表、统计活动的视角出发，阐述自己的观点，然而对‘数据分析’和‘随机观念’却没有人提及”1。这与笔者近年来有关工作中的感受与评估基本一致。可见，将“统计观念”表述为“数据分析观念”，在一定程度上，有利于教师更深入地理解、把握“统计观念”的实质。
从名词的界定看，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出： “统计观念主要表现在：能从统计的角度思考与数据信息有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策，认识到统计对决策的作用；能对数据的来源、处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的质疑。”
这段话包含三层意思。首先是“统计思考”，其次是“统计过程及其认识”，再次是“对统计过程、方法、结果的反思”。“统计思考”是就统计观念的总体而言，它的具体内容由后两层意思分述。明显的缺失是没有提及“随机性”。
《全日制义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：
“数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴含着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。”
这段话也包含三层意思。对照比较：首先，修改后去掉了较为空洞的“统计思考”；然后，对统计观念的两个具体内容作了较大的调整；最后，增补了“体验随机性”的学习要求。具体地说：
关于“统计过程及其认识”，修改后将“决策”降低为“作出判断”，并强 调“数据蕴含信息”。这比较符合小学数学的教学实际。
关于“对统计过程、方法、结果的反思”，淡化了“质疑”，强调了方法的“多样”与“合适”，也涵盖了统计的问题解决。考虑到当前社会上忽悠人的虚假数据、不实信息较多，笔者以为，保留“质疑”较妥。而且实践表明，在使小学生“了解对于同样的数据可以有多种分析方法，需要根据问题的背景选择合适方法”的同时，“能对数据的来源、处理、结果进行合理的质疑”，也是可行的。
关于“体验随机性”，这一增补不仅十分必要，而且相当具体地从两方面刻画了随机性的涵义与体验途径，浅显地、呼之欲出地渗透了偶然与必然的关系。
二、“统计”与“概率” 1.关于统计
自统计与概率成为小学数学课程内容的学习领域之一以来，有关统计的内容一直处于与随机性无关的状态。似乎只有在教学“可能性”时，才涉及随机现象。
尽管长期以来，在统计学领域内，存在不同学派，且争论不断，但统计学与概率论的结合，早已成为必然的发展趋势。很难想象，离开了概率论，今天的统计还能走多远。因为从采集数据开始，就会遇到不确定因素，就要对其影响加以估计。正如已故中科院院士陈希孺先生所言：“统计学是有关收集和分析带随机性误差的数据的科学和艺术”。2
为什么极其现实的不确定因素、随机性误差，却始终与小学数学的统计教学绝缘呢？恐怕主要原因还在于我们自身的认知偏差。如，充分考虑学生的接受能力，小学的统计对象只能都是确定性的，这样才能保证统计表、统计图、统计量有唯一的标准答案。又如，教材编排都是先学统计，再学可能性，没讲可能性，怎么渗透随机性呢，随机性只能在抛硬币、摸球、转盘等实验中才能体现。
其实不然。
以“统计全班每个同学最喜欢吃的水果”为例。这一统计题材，因其适合低年级学生的年龄特点，并比较容易让学生经历统计的全过程，而受到各地教师的青睐。一次观摩课，例题也是“最喜欢吃的水果”。与众不同的是，同一问题统计了两次，第一次由教师组织，第二次请学生代替老师主持，相当于巩固练习。不料，第二次统计结果：最喜欢吃苹果的比第一次少了1人，香蕉则多了1人。有学生“检举”，是同桌两次举手变了造成的。教师回应：要认真参加统计，两次举手不能变，否则统计结果就不准确了。评课时，大家都认为执教老师将两次统计出现的误差，视为课堂上的生成性教育资源，利用得当。
从学科德育角度讲，抓住偶发事件，进行一丝不苟的教育，也是数学精神的一种体现。但从培养数据分析观念角度看，又值得商榷。
事实上，学生很可能因为苹果、香蕉都喜欢，导致前后不一，这本是正常现象，也是调查统计时常有的事。如果教师允许学生改变自己的选择，岂不就能让学生看到真实的一幕“同样的事情每次收集到的数据可能不同”。学科德育的契机经常有，数据随机性的自然表现倒是比较难得。
如果说上面的实例可遇不可求，那么有些数据的随机误差是可以“设计”、预期的。例
如平均数的计算问题：
让学生用他们自己的尺测量课桌的长、宽，量4次，算出平均数。也可以小组合作，每人量一次，算出小组测量值的平均数。
由于“学生尺”刻度有限，测量课桌的长、宽，都需连续接着量几次，精确到厘米，也很容易出现误差。通过练习，既能让小学生感知测量误差，又能初步掌握解决测量误差的一般方法。
类似的易于感知数据随机性的统计问题还有不少，如：一小盒葡萄干有多少粒？一口气能屏多长时间？一分钟脉搏跳动多少下？等等。
原来数据的随机性离我们的课堂教学并不遥远，“预设”与“生成”都有可能使它落脚在小学生的最近发展区内。
积累诸如此类的实践经验，自然就会有信心，从开始教学统计起，就有意识地、不失时机地渗透随机性。
历史地看，统计学是一门相当古老的科学。一般认为，它的学理研究始于古希腊亚里士多德时代，迄今已有2300多年的历史。而概率论，从“赌金分配问题”解决算起，至今还不到400年。也就是说，不依靠概率论的“古典统计学”有近2000年的历史。但是，自统计学接纳了概率论之后，就再也离不开它了。即便是社会统计学，也在介绍、应用概率知识。因为人们一旦认识了随机现象，放眼看去，原来日常生活中不确定性事物，远多于确定性事物。
这与算术与代数的关系不同。从算术发展到代数之后，算术不仅是学习代数的基础，而且在日常生活中仍然占据不可替代的地位。因为日常生活所需，绝大多数是算术运算。
因此，不应片面地类比算术与代数，以为小学的统计与概率，统计还是原来的、古典的统计，只是最后再学一点概率（可能性）。虽然小学数学还是只讲描述统计，不讲推断统计、随机变量，但可以也应该渗透随机性，并容忍不确定性的存在。
2.关于概率
（1）学生认知基础的研究。
早在上世纪80年代，我国心理学研究者就对儿童掌握概率概念作了实验研究，结论之一：“儿童的概率概念随年龄而发展，10岁左右起，简单概率概念发展加速，这也许是易于传授概率知识的时期。” 3
前不久，笔者根据小学五年级教材中有关可能性大小的主要内容，编制五道试题，给270名还没有学习可能性知识的四年级学生做，以了解学生的起始状态。
①抛一枚硬币，结果是（ ）。（正确率92.2%）
A.正面朝上的可能性大 B.反面朝上的可能性大 C.正面、反面朝上的可能性相等 D.无法判断 ②掷一个正方体骰子，结果是（ ）。（正确率89.6%）
A.1点朝上的可能性大 B.2点朝上的可能性大 C.3点朝上的可能性大 D.4点朝上的可能性大 E.5点朝上的可能性大 F.6点朝上的可能性大 G.每面朝上的可能性相等 H.无法判断 ③抛长方体骰子，结果是（ ）。（正确率85.5%）
A面积大朝上的可能性大 B.面积小朝上的可能性大 C.每面朝上的可能性相等 D.无法判断 ④袋里有10个球，3个黑色，7个白色。这些球摸不出区别，摸出来才知道是白、是黑。任意摸出一个球，摸出黑色球的可能性大，还是摸出白色球的可能性大？为什么? （正确率98.5%）
⑤袋里有6个球，3个黑色，3个白色。这些球摸不出区别，摸出来才知道是白、是黑。任意摸出一个球，摸出黑色球的可能性大，还是摸出白色球的可能性大？为什么? （正确率92.6%）
有81.6%的学生全对。看来，生活已经先于学校，使多数孩子获得了一些关于可能性的感性认识。
作出错误选择、判断或解释的学生，原因多种多样。
如第②题，错误选择以选B、D为多，显然是受插图中2点朝上、4点在正面的影响。试测时已经发现插图容易生成干扰因素，但因为出现了学生极少见到的长方体骰子，所以只好配图。
两道摸球题去掉了试测时的插图，实测时又冒出了其他误解。如第⑤题，两色球数相等，错误率明显高于同题材的第④题，其中有学生以为“黑球先放进袋子，在下面，所以白色球摸到的可能性大”，显然是受题目叙述黑球在前、白球在后的影响。那么，是否增加“摇晃均匀再摸”，会消除叙述顺序的影响呢？不见得，因为有学生陈述的理由是“黑球会沉底”，由此生成两种截然相反的判断：“白球浮在面上容易摸到”；“摸的人喜欢摸底，摸到黑球可能性大”。
可见，年龄又决定了孩子必然存在形形色色的天真想法。
很明显，如果加深试题内涵，可以提高测试的区分度，但势必加大阅读难度，并出现更多的误解，从而降低测试的效度与信度。
一位五年级老师看到第②题的测试结果非常感慨。她说，好不容易按照教材组织学生开展实验，结果只有一半左右的学生认为每个点数朝上的可能性相等，教还不如不教。
这里不讨论实验目的定位在“发现等可能性”是否恰当，实验方式可以如何改进，综合以上事实只想说明：有关可能性大小的知识，在小学的教学空间比较有限；至少在目前，教与不教差别不大的现象在所难免。
要想杜绝孩子匪夷所思的误解，明智的教学抉择之一就是“让孩子长大”。随着年龄的增长，幼稚的想法自然会减少。
（2）教师知识现状的调研。 新一轮课改启动之初，笔者连续两年的调研发现，概率统计是数学教师本体性知识盲点集中的内容之一。4
之后的其他有关研究，也从不同角度相继得出类似结论。新近还有小学统计教学现状的研究称“发现课堂教学中仍存在着教学目标定位偏差、教学活动设计割裂、教学活动组织浅表、教学活动评价盲目等问题。究其原因主要是：教师自身由于统计知识的不足以及相关培训的不力，对统计教材的解读能力与价值认识还不够”。5
确实，目前针对小学数学教师的概率统计知识培训，效果不够理想。甚至有教师反映，越学越“糊涂”。教师培训跟不上，课堂教学改进就难免盲目，陷入误区。
（3）理论支撑的现状。
相关培训不力的现状，既有实践问题，也有理论支撑问题。多年来，我们如饥似渴地从课程论、教学论、教师发展论中寻觅理论支撑，却忘了解决技术层面的问题还需数学、哲学层面的支撑。
有教师反映，本体性知识的测试题令人摸不着头脑，举了几个例子：
简答题：一个硬币抛2次与2个硬币抛1次，出现两个正面都朝上的可能性是否相等。 判断题：下面的陈述是否正确，在括号里填“√”或“×”。 ①可能性等于1的事件不一定是必然事件。 （ ） ②可能性等于0的事件不一定是不可能事件。（ ）
简答题类似国外用来研究等可能性偏见的“标准问题”6。认为可能性相等的理由是，两个样本空间都是｛正正，正反，反正，反反｝，出现两个正面都朝上的可能性都是
1。认4为可能性不等的理由是，2个硬币抛1次的样本空间中，“正反”、“反正”是一个元素，出现两个正面都朝上的可能性是
1。 3对此，比较容易说服持偏见者：把两个硬币看作标了号或涂了色，则两个抛1次不就和一个抛2次一样了。深入了解发现，教师误解的主要原因并非“等可能性偏见”，而是对随机事件的独立性认识不足。
两道判断题对于连续型随机变量的几何概率来说，都是正确的陈述。概率产生于现实，经过数学的抽象处理重新“翻译”客观现象时，却背离了人们的直观感觉，本没有什么可大惊小怪的。
但对于现实的问题解决而言，大可不必如此抽象。比如：任意时刻看钟，分针指向某个点，点是没有大小的，所以几何概率等于0；但从实际讲，分针指向某个点，必定会有投影面的宽度，或者根据需要，给“瞬间”设定一个时间值，就能使几何概率等于一个适当小的正数。
考虑到小学数学教学的特殊性，更多地依靠联系生活实际促进学生理解，这势必影响小学教师的认知。基于教师的实际需要，我们的培训应该侧重什么？是抽象的理论，还是联系实际的应用，两者如何适当兼顾，值得研究。
事实上，施训者内部存在不同看法并不奇怪，概率论本身也有争议。举例说，古典概率、几何概率的概念都少不了所有可能事件等可能性的假设，这就包含着一个逻辑循环：概率以“等概率”为前提。概率的频率定义克服了“循环”，且有大数定律保证重复实验次数n时，频率与概率偏差较大的可能性趋近于0，但该定义意味着概率是事件序列的性质，它难以回答对单个事件是否可使用概率的问题，而人们的工作和科研，大多需要在这一意义上使用它。概率的公理化定义避开了这些矛盾。但它没有提供概率的算法，而且越是抽象、严谨的定义，其解释也越容易各持己见。
因此，怎样协调理论与实际的关系，规避“先验”与“后验”之类的争论，自圆其说、深入浅出地选择、组织、处理培训内容，以充实、更新小学数学教师必须储备的“一桶水”，还需要有理论支撑的培训改进实践。
综上，现阶段适当精简小学阶段有关可能性的课程内容，降低教学要求是适宜的、可取的。
三、数据分析观念内涵的解读
既然统计与概率教学改革的路径，基于实际状况，不在于增加知识内容，那么，确立统摄全局的核心“数据分析观念”，作为教材处理及教学实施的聚焦点，就更显必要。
与其他核心词类似，课程标准关于数据分析观念的界定，侧重学习行为表现的描述。进而还有必要揭示，行为表现背后的内涵究竟是什么？
1. 知识技能层面的内涵
首先，在知识技能层面上，数据分析观念的形成，有赖于统计过程的经历，主要是：数据收集、数据整理描述、数据分析判断。脱离了这一基础，观念就成了无本之木。这一层面，
是大家所熟知的。国内外有关学生数据分析观念（统计观念）发展水平的研究，所构建的研究框架，基本上可以归结为：
数据收集＋数据整理、描述＋数据分析判断＋认识随机性
以往的教学经验、教训告诉我们，学生即使经历了统计的全过程，如果缺失“思想”，充其量只是扎实了统计的“双基”，并不能自动转化、升华为数据分析观念。
那么，除了随机思想，驾驭统计过程、方法的内在思想观点还有什么呢？ 2. 思想观点层面的内涵
进一步，在思想观点层面上，数据分析观念的实质是三个相互紧密相连的思想：整体思想、随机思想、相对思想。
所谓整体思想，是指无论是统计，还是概率，都需要从总体上加以观察、研究、把握。在这过程中，自然而然将更多地依靠归纳思维，而不是演绎思维。整体思想贯穿了统计的始终，因为统计的根本任务就是通过样本来描述、推断总体，所以从数据收集开始，就要考虑样本能否能够较好地代表、反映总体。
所谓随机思想，“课标2011年版”在数据分析观念的界定中，已有两个方面的描述，这里不再重复。总的来说，就是认识不确定性的普遍存在，承认例外，知道可以透过偶然发现必然。
所谓相对思想，主要是指统计与人们的认识一样，无论多么科学、合理，都受到条件的制约，具有近似、相对的性质。从评价角度通俗地说：统计方法没有简单意义上的对与错，只有“好”和“不好”7。显然，这里的统计方法也涵盖了统计结果。
此外，事物总是处在发展、变异过程中，因此统计具有时效性。用发展的眼光，看待运动、变化的事物，也是相对思想的题中之义。
这三个“思想”，也可以说是统计的三个特性，即整体性、随机性、相对性。它们对小学生来说，只是启蒙，只要求初步感知，但其价值不容低估。特别是随机思想的感知，一方面，它是学生从“确定性数学”进入“随机性数学”的重要铺垫、台阶；另一方面，随着量子力学等科学前沿理论的日益普及，随机思想将成为人们不可或缺的基本素养。
这些思想相互渗透、三位一体。在教学实施中，可以有所侧重，更宜整体落实。 例如，让学生用自己的尺测量课桌的长（精确到厘米），4个同学的测量结果（单位：厘米）是：119，120，120，121。经过小组讨论，形成共识：课桌长在119至121厘米之间，最有可能是120厘米，因为平均数是120厘米，而且有两个同学测得120厘米。
这样的小组汇报理所当然获得教师的表扬，同学的掌声。 这一测量活动使学生在课堂上，亲临了比较原始的随机环境。他们不仅自己生成了随机数据，计算了平均数，还自发地通过数据的总体观察，用上了“极差”与“众数”。学生并不知道这两个名词，但他们能用通俗的语言，如“测量结果的范围”、“出现次数最多的厘米数”等等来表达。由此得出的多样性结论，是对数据的领悟与整体把握。
又如，布置学生每人准备3种花色的扑克牌各一张，实验时反面朝上，洗牌，铺开在桌上，任意抽取一张，举手统计：
„„
8 17 15 8 17 15 8 17 15 11 12 17 11 12 17 19 29 32 19 15 6 38 44 38 第一次 → 第二次 → 第三次 → „„
学生惊奇地发现，每一次的统计数据都不同，随着数据的累加，3种花色抽到的总数呈现接近的趋势。
同样是等可能事件，这里，将实验器具改为扑克牌，避免了硬币、骰子抛掷高度、落点难以控制等麻烦。同时着眼于课堂效率，将“先小组统计、再全班汇总”的“时髦”统计方式，改为全班举手统计。更为重要的，逐次累加，让学生看到了数据波动的变化状况，从而有利于学生感悟足够多的数据蕴含着统计规律。
3. 价值观层面的内涵
再提升到价值观层面，数据分析观念的灵魂无疑是实事求是的科学精神。具体说来，包括调查研究的意识，对数据的来源、处理、结果进行合理质疑的意识，以及尊重事实的态度，用数据说话的习惯。教学永远具有教育性，科学精神是小学数学教学不应忽视的教育内涵。统计与概率自身的特点，决定了它在培养学生的科学精神方面，具有得天独厚的有利因素。
举一个反例：常态调研听课，进行到抛硬币实验，第一个汇报结果的学生说，我抛了10次，5次正面朝上，受到教师的表扬。于是，接着发言的学生，抛的次数都是偶数，且一半正面朝上。可能是有人旁听的缘故，教师没有干预，最后小结道：“今天小朋友们的运气真好”。
数据允许有误差，但必须真实。人为编造数据，统计便失去了意义。渗透诚信教育，从小教育孩子不造假，也是统计教学应当守住的底线。统计的方法与结果可以放宽评价尺度，但在统计的科学精神上，对与错依然是分明的。
为求直观，三个层面的内涵粗略图示如右。
求实精神 这里，分解是为了讨论、叙述、图示的方便，内涵之间，都是“水乳交融”的，应整体观、随机观、相对观 当视为一个有机的整体。
数据收集→整理、描述→分析判断 以上关于数据分析观念内涵的阐述，作
为课程标准界定的补充与展开，大致对应了课程的三维目标，以便于教学实践参照。
［参 考 文 献］
[1] 赵迪.小学数学统计课程教学内容研究[D].吉林：东北师范大学,2008(5). [2] 陈希孺．机会的数学[M]．北京：清华大学出版社，2000．60．
[3] 张增杰等. 5～15岁儿童掌握概率概念的实验研究—儿童认知发展研究(Ⅱ)[J].心理科
学，1985(6).
[4] 曹培英.小学数学教师本体性知识的缺失及其对策研究[J].课程.教材.教法，2006(6). [5] 范燕. 小学数学统计教学的问题与策略研究[D].上海：华东师范大学,2012(4). [6] 李俊. 中小学概率的教与学 [M].上海：华东师范大学,2002．11.
[7] 史宁中等.“数据分析观念”的内涵及教学建议[J].课程.教材.教法，2008(6).
跨越断层，走出误区：
《数学课程标准》核心词的实践解读之五（下）
上海市静安区教育学院 曹培英
随着统计教学内容的变迁，从它的前身“日用簿记”到“统计图表”，再到“统计初步知识”、“统计与概率”，相应的教学经验、教学策略，也在不断发展、变化。
尤其是《全日制义务教育数学课程标准（2011版）》颁布以来，如何培养小学生的数据分析观念，成为关注的焦点、热议的话题之一。有关的经验介绍，主要集中在两个方面：一是让学生亲历统计活动的过程；二是让学生亲近数据、感悟数据。
所谓观念，原本就是一种需要在亲身经历的过程中培养出来的感觉与思想。而数据分析
观念反映的是由一组数据所引发的想法，所推测到的可能结果。它的特殊性，在于要求学生克服一些固有的思维定势，如关注局部忽视整体、习惯确定生疏随机、强于回顾弱于预期，因此更需要获得亲历体验。在这里，体验性学习是思辨性学习不可或缺的基础。
进一步，教学法一旦深入学生的情感领域，触及学生的精神需要，就能成倍增长它的功效。因此，“关键是无论学生还是老师，首先都要产生对数据的亲切感”[1] 。道理是明白无疑的：对于学生，知之者不如好之者，不如乐之者；对于教师，为师者自身对数据没有亲切感，又怎能令学生亲近数据呢？
着眼于当下教学现状与教师需求，亟待突破的瓶颈是，统计活动的资源还不够丰富，统计活动的内涵还有待增强“统计味”。这也是落实“过程性”、提升“亲切感”绕不过的坎。
此外，鉴于小学数学的统计教学内容，还是以统计图表和平均数为主，因此，有必要探讨这些内容的教学，如何与时俱进。
下文，首先针对两个“瓶颈”，作初步的实践性探讨；然后择取一个“传统”的统计内容，选一新近的教学案例，加以分析。供同仁借鉴。
一、实践探讨一：开发统计活动资源 1.课内活动资源的开发 目前，课堂内的统计活动，受到较广泛的关注，有些统计活动，颇有新意，且收效明显。 例如，贴出电视台正在播出的几部动画片主角，统计“你最喜欢的动画片”。同时突破先分组统计、再全班汇总的固定模式，采用更便捷、高效的方式，如举手计数、贴粘纸计数等。
进一步的发展：
其一，把各种标志的粘纸改成统一的小正方形，让学生贴在横轴上方，一个接一个贴，自然生成了一幅条形统计图。
其二，有些项目贴的人多，贴不下，启发学生想办法，每人都贴半格，或者两人合起来贴一个小正方形，从而又生成了一个刻度表示2的条形统计图（如图1）。
16 14 12 10 8 6 4 2 0
图1 图2
又如，制作多媒体课件，创设虚拟的现实统计情境“某路段10分钟内过往车辆的分类统计”（如图2），把外部世界引入课堂，让学生获得较为真实的体验，亲历动态的数据收集过程。从而借助技术手段，使学习活动具有实践特征，成为建构动态统计意义的感性经验基础。
2.课外活动资源的开发
为突破课堂教学时空间的局限，有些统计活动，还可以从课内延伸到课外，使学生亲历实实在在的调查统计。
例如，指导学生分类统计个人每次数学测验的扣分。分类方式可以因内容、因人而异，如：
小数 小数 小数 计算 应用 概念 合计 合计 概念 计算 应用 第1次 第1次 第2次 第2次 „„ „„ 总计 总计 这样的统计活动，变虚拟为真实，学生通过统计还能了解自己的学习状况，哪些知识掌握得比较差，并根据诊断结果自主选择针对性的练习。
我们不是经常在说，要使学生认识到统计对决策的作用，那就让他们从自己学习的现实需要入手，初步感受统计的真实作用吧。
又如，有教师组织学生自行提出问题，开展“小课题”研究。学生想到的课题，如：我们所喜爱的动画片、国内外动画片制作成本比较、视力与看电视的关系，等等。下面是“视力与看电视关系”研究小组的调查统计结果：
上海市罗山小学同学视力情况和看电视时间统计 单位：人
40
30
20 10 0 5.0-4.9 4.8-4.7 5.2-5.1 4.7以下
从不看 半小时以下 半小时-1小时 1小时以上 该校还进行了“信息技术与小学数学统计初步知识教学内容的整合研究”,进一步拓展统计活动内容[2]：
整合后的学习活动 学习内容 原有活动 新增活动 数据的收集 数据的描述 数据的分析 可能性认识 报刊浏览 手工制表绘图，笔算求平均数 回答问题，讨论质疑 摸球实验，投币实验 网上搜索，社会调查 电脑制表绘图，用计算器求平均数 展示演示文稿 电脑模拟实验 可见，开发统计活动资源的空间还是很大的。 二、实践探讨二：挖掘统计活动内涵
小学的统计活动虽然简单，但都有统计学的背景。因此，从统计学的视角看去，还是有不少内涵可供挖掘，或者说渗透。
以常规统计活动“你最喜欢的水果”为例。面对二年级学生，除了举手统计、选用画“正”或“四竖一横”做记录、讨论统计结果的用场，还能增添什么？
1.感知总体调查与抽样调查
首先，可以渗透“样本”概念，让学生对样本的选择有初步的感知。例如，口答： 要知道自己班上的同学最喜欢哪种水果，你认为三位同学想到的调查方法，哪一种比较合适？为什么？
（1）小亚：问自己小组的5位同学；
（2）小胖：问和自己最要好的4位男同学； （3）小巧：问全班同学。 巩固练习时，再次安排口答：
要知道全校同学最喜欢哪种水果，你认为下面三种调查方法，哪一种比较合适？为什么？
（1）问全校同学；
（2）每个年级调查一个班； （3）早锻炼时问运动队的同学。 实践表明，这些问题基本上都在低年级学生经验直觉的最近发展区内。他们陈述的理由尽管幼稚，但不无道理，而且大多围绕着样本的代表性或操作性来说。如：“女同学也应该问”，“运动队同学喜欢的和我们的不一样”，“问全校同学，人太多，加起来太难算”，等等。
2.接触不同的调查方法
其次，可以让学生初步体会调查方法的多样性，感受各种方法的特点。例如：
教师先采用逐一回答，画正字的方法进行统计，不一会，停下来问：这样一个一个回答的方法好吗？你们有什么更好的方法？学生很快形成共识，举手统计，又快又方便。
完成全班统计后，提出问题：
如果调查，在语文、数学、英语三门学科里，你最喜欢什么，举手统计的方法好吗？如果你不喜欢数学，你敢不举手吗？
大胆的学生回答：你来问喜欢数学吗，我们不敢不举手的。
教师给予表扬，发下更换了调查科目的如下问卷，口述指导语“不用写名字，只要在你最喜欢的学科下打勾”：
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学生递交问卷后，教师再问：这样调查得到的结果是你们的真心话吗？集体备课时，有老师怀疑学生能否答在点子上。施教结果表明，学生基本能明白教师的良苦用心。如“不写名字老师不知道谁勾的”，“交给数学老师，我们不怕”。透过儿童语言，不难看出，学生对无记名问卷的真实性、第三方调查的公信力，已经有了真切的初步感受。
3.体会调查统计的真实价值 通常，调查“最喜欢的水果”，最后教学环节是让学生说说统计结果的用处。比如，班上举行联欢会，购买哪几种水果比较合适。当然，多数情况下这只是“小孩过家家”的模拟计划。
然而，确有数学教师将“最喜欢的学科”调查结果反馈给了有关老师（一位新教师），并帮助她分析学生“不喜欢”的原因，改进教学，扭转了学生的看法，也让学生看到了调查统计最真实的功效。顺便说一句，这在上海市静安区，并非绝无仅有的个案。
毫无疑问，这样的做法，一般的数学教师，目前是不可复制的。但有理由相信，当全国推广“绿色学业质量评价”之后，情况会有所改观。尽管如此，只要是有心人，总能发现并抓住教育的契机。比如，实施前面介绍的“数学测验扣分分类统计”，就能出现一系列的真人真事，让学生体会到身边的统计或自己的统计，显现了它的实用价值。
三、案例分析：“读图” 人类已经进入“读图时代”，为了更好地生存，人人都需要从大量的“图”中获取有用的信息，作出自己的分析、解释，有时，还有必要进行合理的质疑。
统计图是小学数学的传统教学内容，它的教学研究，之所以需要与时俱进，主要是因为如今的教学要求，早已从重在图的绘制转向了重在图的阅读、图的分析与图的评价（包括质疑）。
下面介绍一节五年级“读图”课的教学片段，这是在学生已经学了条形图、折线图的基础上，以看图分析、解释、质疑为主的课。
1.片段描述
（1）读图步骤的自然生成。
怎样看图，似乎无须总结步骤，自然总是先看最吸引眼球的。其实不然。当面对一些具有典型教学功能的统计图时，学生能够悟出首要步骤的合理性。
请看下图[3]，并无夺人眼球之处，如果先看横轴、纵轴，都看不出所以然。
先看标题，才知道是三个城市男女青年平均身高的统计。那么，是哪三个城市呢？再看横轴，是上海、武汉、成都。
就这样，随着教师一个最普通的问题：这两幅条形统计图统计了什么？你是从哪里看出来的？读图的一般步骤“先看标题，知道统计主题；再看横轴，了解统计项目”，也就自然生成了，其合理性是显然的。
接下去，就可以想怎么看就怎么看了。 （2）看图获取意想不到的信息。
不看真不知道，三个城市男女青年的平均身高，居然如同楼梯，依次下降。探明究竟的欲望油然而生。
题目有提示：在地图上找到三个城市的位置，你发现从东往西男女青年的平均身高有什么变化规律？
教师出示地图，圈出三地，分别在我国的西部、中部、东部。非常明显，从东往西，男女青年的平均身高都呈现下降趋势。
进一步的解释，已超出了统计图提供的内容范围。但是学生想知道，为什么上海人具有身高优势。
五年级学生，已经知道中国的地势西高东低，还有学生说“一江春水向东流也是因为西高东低，水往低处流”。教师出示三地的平均海拔高度：
成都，540米；武汉，30米；上海，4米。
印证了学生的解释。同时指出，三个城市的选择，大致处在同一维度上，居民都以汉族为主，这样才有可比性。学生仍欲罢不能，有学生认为，原因还有上海人不吃辣，成都人最吃辣。教师加以引导：还想继续了解数据以外的原因，比如饮食习惯对身高的影响，课后自己上网搜索。
（3）可能存在的“视觉误导”。
看图提出问题时，有学生问，为什么上海、武汉的女青年都比男青年高？这是一个与数据有关的问题，教师在两幅统计图上拉出两根红线，反问：是吗？怎么会呢？
有学生发现，是两幅图的刻度不相同造成的，从数据看三个地方都是男青年高。进而提出问题，为什么不用相同的刻度，这不是忽悠人吗？
教师指出，统计图有时会给人视觉上的误导。比如，由于刻度不统一，看上去好像两地女青年平均身高比男青年还高。再比如，从图上看，三地男女青年的平均身高相差很大，实际只相差了多少呢？随着教师的提问，学生开始仔细观察数据，教学进入了下一环节，研究为什么数据相差一点点，如171.7－170.2＝1.5，条形长短相差这么大？
（4）揭示隐含的知识点。 教师出示右图[4]：我们再来看两幅折线统计图，研究一下刻度问题。学生看出，两幅图的内容完全相同。从而引出问题：为什么都是小亚同一时间的体温，两幅图的折线起伏差别这么大？
经过小组讨论，学生找到了其中的原因：两幅图的刻度不同，同样的单位长度，图1表示的温度是图2的10倍。由此得出结论：一格表示的数量越小，条形的长短或折线的起伏相差越大。
教师又提出一个问题：为什么要省略一部分刻度？学生有三种回答：一是人的体温不可能低于30℃，所以0℃～30℃这部分是多余的；二是省略一部分刻度，才能使每一格表示更小的数量；三是方便医生，一眼就能看清病人的体温变化。最后一种回答，把为什么要放大差异的现实需要也说清楚了。
2.简要评析
（1）要让学生亲近数据，数据内容是关键 这节课，学生始终兴趣盎然，他们对数据的亲切感是由衷的、探究的欲望是情不自禁的。因为，数据中蕴含着意想不到的信息，吸引了学生，他们愿意亲近这样的数据。“好”的数据内容，读图效果自然会好。
正是由于数据背后富有内容，所以学生的分析，没有停留在“最大”、“最小”之类的简单判断上。
看来，统计教学不仅需要学生自己的数据、身边的数据、连续积累的数据（如一年级到五、六年级的身高、体重），还需要一些有趣的、内涵知识的数据。否则，内容单一，兴趣必然减弱。
（2）看图分析、解释，需要教师适当干预
教师的干预，首先体现在精心预设、充分准备方面。
比如，中国地图是必需的，不然，同一纬度带就无法直观。而纬度相近，民族相同，又恰恰是身高比较样本选择合理性的重要因素。
又如，预料学生会作出地势高低导致身高变化的解释，教师准备了三地平均海拔高度的资料，用数据支持学生的解释。
其次，教师的干预还体现在讨论的引导方面。 例如，引导学生根据数据作出解释、提出问题。这在小学的读图教学中，常常是必要的。对于数据以外的、常识难以判断的解释，引导学生课后寻找依据，也是明智的对策。
显然，这比由着学生随意解释数据，鼓励学生脱离数据想当然地进行预测，要好的多。 再如，教师抓住学生的合理质疑，引出了看图可能产生的两点视觉误导：女青年的平均身高明明低于男青年，但条形高度却相反；数据大小相差一点点，条形高低相差很大。由后者，又很自然地引出了新的学习内容。
这里的两处“误导”，都并非故意“忽悠”，没有不良意图。教师称之为“视觉误导”是比较恰当的。
两幅条形图的刻度不一致，是计算机造成的。现在工作或研究中的统计图，几乎都是输入数据，由计算机自动生成。计算机不知道两图将并列出示，当两组数据不同时，刻度自然不统一。因此，单独看，所选刻度都是合理的，放在一起比较，就可能产生“误导”。这一点，可以向学生作简要说明。
条形高低差异被放大，是便于观察、增强比较效果的需要。学生的疑惑，通过两幅折线图的比较，得到了较好的澄清。从中也可以看出，选择体温统计图的用意，有利于调动学生的生活经验，体会医生的工作需要，理解放大差异的实际意义。
（3）在看图过程中揭示有价值的知识点
新一轮课改以来，从“一格表示1”到“一格表示2”、“一格表示5”„„被公认为统计图教学的台阶，“一格表示几”成了一个知识点。对此，笔者已有论述[5]。相比之下，刻度变化引起条形、折线的变化，倒是一个值得教学的“知识点”。遗憾的是，目前这还是一个教学的“盲点”。
学生都以为省略一部分刻度是因为画不下的缘故，不少教师也如此解释，其实是一种误解。试想只要每一格表示的数量足够大，怎有画不下的道理？省略一部分刻度主要是为了留出空间，放大差异，一目了然，以便于比较。对折线图来说，也可去掉空白部分。实践表明，通过对比，学生都能理解。
3.关于统计图的选择
上述“读图课”，受到观摩者的一致好评。特别是教师引用的条形统计图，大家赞赏有加。然而，由此又引出一个颇有争议的问题：怎样选择合适的统计图？
我们知道，小学主要学习三种形式的统计图，它们各自的特点，通常概括为： 条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目； 折线统计图能清楚地反映事物的变化情况；
扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。 什么情况下选用扇形统计图，很少产生歧义；什么情况下选用条形统计图或折线统计图，经常引起争论。多数教师认同的一条选择标准是，离散的数量用条形图比较合适，连续的数量用折线图比较合适。
这一有着明显“数学味”的标准，在统计中并不具有一般性。因为统计学不同于纯数学，它是真正的应用数学。以上面的男女青年平均身高统计为例，典型的离散数量，用折线图表示从东往西男女青年平均身高的变化规律，也是合适的。这就是说，有序的离散数量的变化规律或发展趋势，也可以采用折线统计图。
反之，无序的、没有潜在变化规律的离散数量，是否就不宜选用折线图了呢？同样不一定。试举一例：一项测试，有5道试题，每题满分都是10分，下面是甲、乙两班各题平均得分的统计图。
109876543210题1题2题3题4题5甲班乙班
折线显示，甲班各题平均得分总体高于乙班，但题4出现了倒挂，乙班平均得分高于甲班3分。对于题4的测试内容来说，乙班值得总结教学经验，甲班则有必要寻找“反差”原因。
显然，折线揭示的这一状况，与试题编号无关。因此，无序的、没有明显变化规律的统计项目，采用折线统计图，也可能有非常直观的比较效果，给分析带来方便。
既然一切皆有可能，还有什么能总结的呢？有。其一，图的特点可以灵活应用；其二，合适的图，能让数据“开口说话”。所以，关键在于，你统计了什么，分析了什么，想让大家看到什么，一切皆因需要。
总之，在关注儿童学习心理的同时，以统计学的视角分析、处理相关内容，则培养、发展学生数据分析观念的核心目标，就能比较自然地得到有效落实。
［参 考 文 献］
[1] 史宁中等.“数据分析观念”的内涵及教学建议[J].课程.教材.教法，2008(6).
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