在教学中渗透数形结合思想

在教学中渗透数形结合思想

【摘要】数形结合思想是初中数学重要的、常用的思想方法，它将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“形”来直观地表达“数”或是通过“数”来精确地确定“形”，从而化抽象为直观，使问题得到解决．数形结合思想的主要内容体现在以下几个方面：（1）建立适当的代数模型（主要是方程、不等式或函数模型），（2）建立几何模型（或函数图象）解决有关方程和函数的问题。（3）与函数有关的代数、几何综合性问题。（4）以图象形式呈现信息的应用性问题。数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。

【关键词】数形结合；渗透

数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想。采用数形结合思想解决问题的关键是找准数与形的契合点。如果能将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果。

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

在教学中渗透数形结合思想时,应让学生了解，所谓数形结合就是找准数与形的契合点，根据对象的属性，将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，就成为解决问题的关键所在。

数形结合的结合思想主要体现在以下几种：

(1)用方程、不等式或函数解决有关几何量的问题；

(2)用几何图形或函数图象解决有关方程或函数的问题；

(3)解决一些与函数有关的代数、几何综合性问题；

(4)以图象形式呈现信息的应用性问题。

1.在《有理数》一章中，数轴就是把数和形结合在一起的内容

数轴上的每个点都表示一个实数，每个实数都能在数轴上找到表示它的点，

建立了实数与数轴上的点的一一对应关系，由此让学生理解了相反数、绝对值的几何意义。建立数轴后及时引导学生利用数轴来进行有理数的比较大小，学生通过观察、分析、归纳总结得出结论这样，在讨论相反数、绝对值、倒数的几何意义时,形象易记。下面具体分析一下。

1.1 利用图象，创造学习负数情境。初一学生通过温度计引出数轴概念，能够具体、直观地掌握负数的意义。利用数轴把点与数的对应关系揭示出来，这样数量关系常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述。

1.2 相反数 在数轴上,相反数就是在原点两旁到原点距离相等的两个点所表示的数。零的相反数是它本身即原点。如图1：

图1

1.3 绝对值 在数轴上,一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。在图2中，A点到原点的距离比B点到原点的距离大。

图2 图3

1.4 倒数在数轴上表示a与1的位置关系。可以结合数轴来加以分析，把0、+1、-1作为分界点，然后再作讨论。

利用数轴可以比较两个有理数大小，学生在学习两个负数比较大小时，常常转不过符号关，利用数轴学生可以准确、快速地确定结论。相反数概念的引入、理解，都依赖“数轴”，特别是教材第一次出现字母表示数：数a的相反数是-a时，学生会出现思维难点，利用数轴可以帮助学生理解：a可以是正数、0、负数。

2.在《不等式》教学中，也渗透了数形结合思想

在不等式的教学中要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解。这里蕴藏着数形结合的思想方法。在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效。

例题1：解不等式：x -3x+2≤0(最高次项系数一定要为正,不为正要化成正的)

2.1 分解因式：（X-1）（X-2）≤0；

2.2 找方程（X-1）（X-2）=0的根：x=1或x=2；

2.3 画数轴,并把根所在的点标上去；

2.4 注意了,这时候从最右边开始,从2的右上方引出一条曲线,经过点2,继续向左画,类似于抛物线,再经过点1,向点1的左上方无限延伸；

3.方程中渗透数形结合思想

列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系来列方程，要突破这一难点，往往就要根据题意画出相应的示意图。这里隐含着数形结合的思想方法。例如，九义教材《代数》第一册（上）的“4.4一元一次方程的应用”内容中的例3（行程问题）、例4（追击问题）、例5（劳动力调配问题）、例6（工程问题）、例7（浓度问题），教学中,老师必须渗透数形结合的思想方法，依据题意画出相应的示意图，才能帮助初一学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。

例题2：A、B 两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B 两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数。

1 时后乙距A地120千米，2 时后甲距A地 40千米。问 经过多长时间两人相遇 ?

［分析］可以分别作出两人s 与t 之间的关系图象，找出交点的横坐标就行了。

4.函数及其图象内容凸显了数形结合思想

由于在直角坐标系中，有序实数对(x , y)与点P的一一对应，使函数与其图象的数形结合成为必然。一个函数可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性质和特点，这为数学的研究与应用提供了很大的帮助。因此，函数及其图象内容凸显了数形结合的思想方法。教学时老师若注重了数形结合思想方法的渗透，将会收到事半功倍的效果。

例题3：一条隧道的截面如图1所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD。

（1）当AD＝4米时，求隧道截面上部半圆O的面积；

（2）已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米。

①求隧道截面的面积S（米）关于半径r（米）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）；

②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值。（π取3.14，结果精确到0.1米）

简析（1）当AD＝4米时，S

半圆

=

12

π×(AD2

)2 ＝

12π×22＝2π(米2).

（2）①因为AD＝2r，AD+CD＝8，所以CD＝8－AD＝8－2r，所以S＝ 12

πr2+AD·CD＝

12

πr2+2r(8－2r)＝(12

π－4)r2+16r；②由①

知CD＝8－2r，又因为2米≤CD≤3米，所以2≤8－2r≤3，所以2.5≤r≤3，由①知S＝(12－82.43

π－4)r2+16r＝(12)2+

642.43

×3.14-4)r

2+16r＝－2.43r2+16r＝－2.43(r

，因为－2.43＜0，所以函数图象为开口向下的抛物82.43

≈3.3.又2.5≤r≤3＜3.3，由函数图象的性质

最

线，因为函数图象对称轴r＝

可知，在对称轴左侧S随r的增大而增大，故当r＝3时，S有最大值，S大值

＝(

12

π－4)×32+16×3≈(12

×3.14－4)×9+48＝26.13≈26.1(米2。 如图3

2)。即隧道截面面积S的最大值约为26.1米

本题是一道典型的代数与几何的综合题，集图形的面积、不等式与二次函数的知识有机的结合在一起，有助于培养同学们的综合应用能力。利用数形结合思想学生很容易就解决了这类有关函数问题。

教学中有意渗透并力求帮助学生初步掌握数形结合的思想方法,并结合其它数学思想方法（如归纳，比较，分类等）的学习,注意几种思想方法的综合使用,给学生提供足够的材料和时间,启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高,收到事半功倍的教学成效。

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