高一数学必修一函数奇偶性和周期性基础知识点及提高练习

定义 特点 数的奇偶性

奇函数 与周期性 提高精讲

偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象关于原点对称 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 图象关于y轴对称 1. 函数f(x)＝0，x∈R既是奇函数又是偶函数 2.奇偶函数常用结论：

(1) 两个偶函数相加所得的和为偶函数. (2) 两个奇函数相加所得的和为奇函数.

(3) 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数. (4) 两个偶函数相乘所得的积为偶函数. (5) 两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

(6) 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

3.周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

4.周期函数常见结论：

(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a. (2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a. (3)若f(x+a)=1 (a>0),则函数的周期为2a.

fx(4)若f(x＋a)＝－1，则函数的周期为2a.

fx5.对称函数

如果函数yfx满足faxfbx，则函数yfx的图象关于直线xab对称. 25

练习：1. 设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f－2＝________.



x

2. 若函数f(x)＝ 为奇函数，则a＝( )

?x－2??x＋a?

3. 已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )

11

A．－3 B 3

【难点一 奇偶性与不等式】

1D．－2 1. 若函数f(x)＝

2x＋1

是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( ) 2x－a

D．(1，＋∞)

A．(－∞，－1) B．(－1,0) C (0,1) 【难点二 求解析式】

1. 若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝( ) A．ex－e－x (ex＋e－x) (e－x－ex) 2. 若函数f(x)＝xln (x＋

1

D 2(ex－e－x)

a＋x2)为偶函数，则a＝________.

3. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．

4. 设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( )

A．{x|x<－2或x>4} B {x|x<0或x>4} C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}

【难点三 奇偶性与周期性综合】

1. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，则f(2014)等于( ) A 0 B．3 C．4

D．6

12. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[0,1)上单调递增，记a＝f2，b＝f(2)，

c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )

A a>b＝c B．b>a＝c C．b>c>a D．a>c>b

3. 设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(2)>1，f(2014)＝围是________．

【难点四 奇偶性、对称性、周期性】

1. 已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则f(2013)＋f(2014)的值为( )

A．－2 B．－1 C．0

D 1

2a－3a＋1

，则实数a的取值范

1

2. 定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋5，则f(log220)＝( )

A －1 C．1

4

D．－5 【终极难度 定义证明、赋值法、求参数】

1. 定义在R上的函数f(x)对任意a，b∈R都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)＋k(k为常数)．

(1)判断k为何值时f(x)为奇函数，并证明；

(2)设k＝－1，f(x)是R上的增函数，且f(4)＝5，若不等式f(mx2－2mx＋3)>3对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

2. 已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)＝－2. (1)判断f(x)的奇偶性； (2)求证：f(x)是R上的减函数； (3)求f(x)在区间[－3,3]上的值域；

(4)若?x∈R，不等式f(ax2)－2f(x)跟踪练习

1. 已知函数f(x)lg

1x.若f(a)b.则f(a) 1x11 D．－ bb

A．b B．－b C．

2. 已知函数yf(x)在R是奇函数，且当x0时，f(x)x22x，求：x0时，f(x)的解析式

3. 定义在[1，1]上的函数yf(x)是减函数，且是奇函数，若f(a2a1)f(4a5)0，求实数

a的范围.