数学绝对值不等式试题

1. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数． （Ⅰ）解不等式: ； （Ⅱ）若，求证：≤. 【答案】（Ⅰ）【解析】（Ⅰ）由题因此只须解不等式当当当

时，原不式等价于时，原不式等价于时，原不式等价于

. 2分 ，即，即，即. 5分 .

. . .

（Ⅱ）见解析

.

综上,原不等式的解集为（Ⅱ）由题

当＞0时， 10分

【考点】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式等基础知识，意在考查逻辑思维能力和基本运算求解能力.

2. 不等式的解集是______. 【答案】 【解析】。由题得 所以不等式的解集为。

3. 已知函数，。 （1）求不等式的解集； （2）若不等式有解，求实数的取值范围。 【答案】（1）;（2） 【解析】：(Ⅰ)由题意得，得 2分 ∴ 4分 所以的取值范围是。 5分 （2）因为有解 所以有解 7分 9分 ∴ 所以，即的取值范围是. 10分

4. 在区间上随机取一个数，使得成立的概率为____. 【答案】 【解析】设

【考点】本题把绝对值不等式和几何概型相结合来考查概率的运算，体现了几何概型“无处不在”的特点，考查了分类讨论思想和运算能力.

，则

，当

时，

成立，

5. 在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为__________ 【答案】

【解析】本题考查绝对值不等式的解法以及转化与划归、分类讨论的数学思想. 原不等式可化为由①得

；由②得

.①或

；由③得

.

②或,

③

综上，得原不等式的解集为

【点评】不等式的求解除了用分类讨论法外，还可以利用绝对值的几何意义——数轴来求解；后者有时用起来会事半功倍.体现考纲中要求会用绝对值的几何意义求解常见的绝对值不等式.来年需要注意绝对值不等式公式的转化应用.

6. 不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集是______________． 【答案】 或[1，＋∞) 【解析】原不等式等价于或或

② ③，

，解③得

，即

或[1，＋∞)．

①

解①得无解，解②得解得

故原不等式的解集为

【考点】解不等式

7. 已知函数f(x)＝(x＋2)|x－2|.

(1)若不等式f(x)≤a在[－3,1]上恒成立，求实数a的取值范围； (2)解不等式f(x)>3x.

【答案】(1) [4，＋∞) (2) 原不等式的解集为{x|x>4或－4f(x)＝(x＋2)|x－2|＝(x＋2)(2－x)＝－x2＋4. ∵－3≤x≤1，∴0≤x2≤9.于是－5≤－x2＋4≤4， 即函数f(x)在[－3,1]上的最大值等于4.

∴要使不等式f(x)≤a在[－3,1]上恒成立，实数a的取值范围是[4，＋∞)． (2)不等式f(x)>3x，即(x＋2)|x－2|－3x>0. 当x≥2时，原不等式等价于x2－4－3x>0， 解得x>4或x<－1. 又∵x≥2，∴x>4.

当x<2时，原不等式等价于4－x2－3x>0， 即x2＋3x－4<0，解得－4综上可知，原不等式的解集为{x|x>4或－48. 若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】

【解析】【错解分析】解含绝对值不等式也是考生常常出现错误的，错误原因有解法单一，比如只会运用去绝对值的方法，这样会导致计算量较多，易错。通常简捷的方法可以是利用绝对值的几何意义。

【正解】|a－b|的几何意义是：数轴上表示数a、b的两点的距离．对于本题用绝对值的几何意义

来解，能很直观地看出的最小值为3， 要使不等式恒成立 则，即a的取值范围是。

9. 选修4－5：不等式选讲 设函数． （Ⅰ）当时，若不等式的解集为或（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或 【解析】（Ⅰ）因为

，故

，求的值；

， 又因为不等式的解集

为或，故的两根为，即

（当

，解得；

（Ⅱ）因为时等号成立），

所以 ．由题意得， 解得或．

【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法，恒成立问题等基础知识，意在考查学生的综合分析问题解决问题以及运算求解能力，逻辑思维能力．

10. 函数，若恒成立的充分条件是， 则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，恒成立．即当时，恒成立， 当时，的最小值是4, 的最大值是1，， 故实数的取值范围是．