求极限的方法总结

一、 约去零因子求极限

例如求极限lim

x4−1x→1x−1

，本例中当x→1时，x−1→0，表明x与1无限接近，但x≠1,

所以x−1这一因子可以约去。

二、 分子分母同除求极限

求极限lim3x3+1

x→∞

∞∞

x3−x2

型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。

1

1−xx3−x21

lim=lim=

1x→∞3x3+1x→∞

3+33

x

三、 分子(母)有理化求极限

例:求极限lim(√x3+3−√x2+1)

x→∞

分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。

xlimx23x22x1limx223x21xx23x2123x21

limxx3x120

例：求极限lim

√1+tanx−√1+sinx x3x→0

tanxsinx1tanx1sinxlimlimx0x3x01tanx1sinx x3=

lim=

x01tanxsinx1tanxsinx1limlim33x0x1tanx1sinxx0x4 =2本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。

四、 应用两个重要极限求极限

两个重要的极限(1)lim

sinxx→0x

=1

1x

)x

(2)lim(1+

x→∞

=lim(1+x)=e

x→0

1x在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利

用公式。

例：求极限lim(x−1)x

x→∞

x+1

第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑1+x，最后凑指数部分。 x+1x2x1lim()=lim(1+)=lim[(1+)

x−1x→∞x−1x→∞x→∞x−1

2

2x−1

1

212

(1+)2]=e2

x−1

五、 利用无穷小量的性质求极限

无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。这种方法可以处理一个函数极限不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。 例：求lim

sinxx→∞x

1

sinx

x→∞

x→∞x

因为|sinx|≤1, limx=0,所以lim

=0

六、 用等价无穷小量代换求极限

常见等价无穷小有：

当x→0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1+x)~ex1， 1−cosx~2x2，(1+ax)b−1~abx

等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 例：lim

xln(1+x)x→01−cosx

1

=lim1

sinx−x

xx

x→02x2

=2

例：求极限limlim

sinx−xx→0tan3x

x→0tan3x

=lim

cosx−13x2x→0

=lim

sinx−xx3x→0

=lim

−x2

x→03x212=−6

1

七、 利用函数的连续性求极限

这种方法适合求复合函数的极限。如果u=g(x)在点x0处连续g(x0)=u0，而f(u)在点x0处连续，那么复合函数y=f(g(x))在点x0处连续。limf(g(x))=f(g(x0))=

x→x0

f(limg(x))

x→x0

也就说，极限号lim与f可以互换顺序。

x→x01

例：求limln (1+x)x

x→∞

令y=lnu,u=(1+x)x

1

因为lnu在点u0=lim(1+x)x=e处连续

x→∞

1

所以limln(1+x)x=lnlim(1+x)x=lne=1

x→∞

x→∞

11

八、用洛必达法则求极限

洛必达法则只能对0或∞型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当也存在limg′(x)等于A时，那么limg(x)存在且等于A。如果limg′(x)不存在时，并不能断定limg(x)也不存在，这是不能用洛必达法则的，而须用其他方法讨论limg(x)。 例：求极限lim

lncos2x−in(1+sin2x)

x2

x→0

f(x)

f(x)

f′(x)

f(x)f′(x)

0

∞

lncos2x−in(1+sin2x)limx→0x2−2sin2xsin2x

−1cos2x1+sin2x=limsin2x(−2−=lim)=3

x→02x2xcos2x1+sin2xx→0

九、用对数恒等式求lim𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)极限

lim[1+ln(1+

x→0

2

x)]x=

对于1∞型未定义式，也可以用公式 limf(x)g(x)1∞=e因为

limf(x)g(x)=e

limg(x)ln (1+f(x)−1)

lim[f(x)−1]g(x)

2

[()]

limexln1+ln1+xx→0

=

2ln(1+x)ex→0xlim

=e2

lim[f(x)−1]g(x)

=e

十、利用两个准则求极限

夹逼准则：若一正数N。当n>N时，有xnx→∞

x→∞

有limyn=a.

x→∞

利用夹逼准则求极限关键在于从yn的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{xn}和{zn}，使得xn因为xn单调递减，所以存在最大项和最小项

xn≥

1√n2+n+

1

1√n2+n+⋯+

1

1√n2+n=

n√n2+n

n√n2+1 xn≤

n√n2+n√n2+1+

√n2+1+⋯+

1√n2+1=

≤xn≤√nnnn2+1

nn→∞√n2+1又因为lim所以lim

n→∞√n2+n=lim=1

n→∞√n2+nxn=1

单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。 利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。

例，证明下列极限存在，并求其极限。 y1=√a , y2=√a+√a, y3=√a+√a+√a

⋯

yn=√a+√a+√a+⋯√a yn证明：从这个数列看显然是增加的。用归纳法可证。

又因为y2=√a+y1,y3=√a+y2…….yn=√a+yn−1

2

所以得yn=a+yn−1.因为前面证明yn是单调增加的。

两端除以yn得ynn

a

因为yn≥y1=√a则y≤√a，从而y+1≤√a+1

n

n

aa

√a≤yn≤√a+1 即yn是有界的。根据定理yn有极限且极限唯一。 令limyn=l

n→∞n→∞

则limyn2=limyn−1+a

n→∞

2

则l2=l+a，因为yn>0

yn>.解方程得l=

1+√4a+12

所以limyn=l=

n→∞

1+√4a+12