渗流力学课后习题答案 第四章

【4-1】设均质等厚无限大地层中有一口注入井生产，试推到地层中的压力分布公式。

【解】平面径向流基本微分方程：

2p1p1p2rrrtp(r,0)pi(0r)p(,t)pi2Khp(r))常数Qlim(r0r

pdp.tdtrdpp设：，则：.rdr2t222p1dp22r4tddp2td1dptd

代入上式得：

dpd22(12)dpd0

解常微分方程得：令U=

dpd并代入方程有：

dUd(12)U0

分离变量积分得：lnUln2lnC1整理得：UC1dpddpde2e2

将U=代入上式：

C1

根据内边界条件：

Qlim(r02Khp(rpr))lim(r02Kh(rp212t))lim(02Kh(p))

即：lim(0)Q2Kh，对

dpdC1eQ两边同时乘以后取0的极限

得：

C1=2kh

将常数C1代入

dpdC1e2中，并将其分离变量积分，从，p从

Qp(r,t)pi，于是：pip(r,t)2Khe2d

令x,则2x,d12xdx，且当从r22tr2 ,p从p(r,t)pi,于是：p(r,t)pix2Q4Khex4txdx

令

r2e2txdx=Ei(r4t)

因此可得：pip(r,t)Q4KhEi(r24t)

【4-2】试证明运用迭加原理得到的无穷大弹性地层n口井同时生产时的解

p4Khni1(xxi)2(yyi)2QiEi满足热传导方程。

4(tt)i【证明】

写成

p极坐

n标化

ri2简得：

4Khi1n2riQiEi4t4KhiQii1ex4tixdx，pi对t求一阶偏导数

以及对r求一阶偏导和二阶偏导数：

ri2pitQie4Kh4tiri2(ri24tiri24ti)2Qi4ti1e() 4Khtiri2ri2piriQie4Kh24tiri22ri4tiri24tiQi4ti2e 4Khri12r2piri2Qi4Khe4ti(ti)

ri2pQ124tiiie()224Khtirr代入热传导方程得：i

21pipi1pir2riririi2化简为：(1ti2r)22ri21ti

同理n口井同样成立，即证。

【4-3】上机计算：（1）误差函数erf(x)，其中x从0.01到3，步长为0.01；（2）指数积分函数Eix，x从0.01到5，步长为0.01。

【解】表4.1是误差函数部分数值上机计算结果，表4.2是指数积分函数部分数值上机计算结果。

表4.1 误差函数上机计算结果

x 0.01 0.02 0.03 0.04 erf(x) 0.0112834 0.0225646 0.0338412 0.0451111 x 0.05 0.10 0.50 1.00 erf(x) 0.056372 0.1124629 0.5204999 0.8427008 x 1.50 2.00 2.50 3.00 erf(x) 0.9661051 0.995322 0.999593 0.999978 表4.2 指数积分函数上机计算结果

x 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 -Ei(-x) 4.03793 3.35471 2.95912 2.68126 2.4679 x 0.10 0.50 1.00 1.50 2.00 -Ei(-x) 1.822923755 0.559773595 0.219383934 0.100019583 0.0489005 x 2.50 3.00 3.50 4.00 5.00 -Ei(-x) 0.024915 0.0130484 0.00697 0.003779 0.0011483 【4-4】设地层是线性半无限大的，出口产量为常数Q0，导压系数=1.5m2/s求：(1) t=1天，1月，1年时距出口x=2000m处的流量Q与Q0之比。 (2) t=1年时x=100，500，1000，2000，5000m处的流量Q与Q0之比。 (3)试解释计算结果。

解: (1) 由公式

r2tQ(x,t)Q01erf(r2t)可得：

令Z当r=2000m时，随时间变化计算结果

表4.3 2000m处时间产量关系 86400 2592000 Z31536000 Zt(s) Q(r,t)Q0Z erf(Z) erf(Z) erf(Z) 2.78 0.999916 0.51 0.529244 0.15 0.167996 0.000084 0.470756 0.832004 (2) 当t=1年时，随距井大小变化计算结果

表4.4 1年时位置与产量关系

100 r(m) Q(r,t)Q0Z500 Z1000 Z2000 Z5000 Z erf(Z) erf(Z) erf(Z) erf(Z) erf(Z) 0.00.0112 1 83 0.988717 0.00.04514 11 0.954889 0.00.07887 58 0.921142 0.10.16795 96 0.832004 0.30.38936 30 0.610670 (3) 流量随时间t的增大而增大；随井距r的增大而减小。

【4-5】设平面无穷地层上有一连续汇点，其产量为Q，距离点汇r0处有一口观测井，求：(1) 在该观测井内的压力随时间的变化规律，并加以分析。(2) 观测井处液体的渗流速度与时间的关系。

【解】(1) 由公式pip(r,t)Q4Khr02Q4KhEi(r24t)在r0处压力分布随时间的函

数：pip(r0,t)r02Ei(4t)说明距井r一定，测井内压力随t增大，

Ei(4t)增大，pip(r0,t)增大，时间越长压降越大。

r02 (2) v=Kpr=

Q02r0he4t说明随t增大，速度增大。

【4-6】油层K0.8m2，03.0mPas，Ct8.3104(1/MPa)，0.2，

h15m，Cf1.0104(1/MPa)，井底半径rw10cm，Q80m3/d的井投产后

10分，1小时，1天，10天，1月，1年时，井底rw，距井r1400m，r21Km各点的压力降。

【解】r2KCt0.8100.23.010312108.3101.6m2s

2.245tr2下面对

4t作判断：当

r24t0.01时，用p=

Q04Khln

当

Q4Khr24t0.01时，用pQ04KhEi(r24t)。

310380864001240.810150.0018（MPa）

令x=

r24t，不同时间和不同井距处的压力降的计算结果：

表4.5 不同时间和不同井距处的压力降

r(m) t(s) x 600 Ei(x) 3600 x Ei(x) 86400 x Ei(x) 400 41.67 x 1.87523e-020 0 Ei(x) 6.94 0.000123572 0.0000002 x Ei(x) 0.29 0.930918 0.001676 x Ei(x) 1000 t(s) 260.42 3.04578e-116 43.40 0 864000 x Ei(x) 3.1948e-021 0 2592000 1.81 0.0638019 0.000115 31536000 r(m) x 2.245tr2 x 2.245tr2 400 0.03 x 2.959119 0.020418 Ei(x) 0.009 58.1904 0.028040 x Ei(x) 0.0007 707.9832 0.045281 x 2.245tr2 1000 0.18 1.309796 0.002358 0.06 2.295307 0.004312 0.004 113.277312 0.203899 【4-7】平面无穷弹性地层中有一不渗透断层，距断层a2Km处有一口井

A，rw10cm，Q300m3/d，试求A井投入生产2年后距A井b3Km远的B点的压降，B距断层也是2Km，2.5m2/s，K0.4m2，h5m，

1.2mPas。

【解】如图4.11所示，利用镜像原理过两年时间B的压降为：

图4.11

p=pip(x,y,t)Q4Kh2n1(max)2(nby)2Ei

4t2(20002000)2300023000Q=EiEi 4Kh4Kh42.56307200042.563072000Q=0.16594.037930+0.16592.681264=1.1147（Mpa）

【4-8】平面无穷地层上相距d300m有两口同时投产和等产量井，且产量

Q100m/d3，已知h12m，K0.5m2，0.2，Ct2.5103(1/MPa)，

1.5mPas，B01.25，求投产29天后两井连线中点处的压力降。

【解】以两井连线为x轴，以两井连线的垂直平分线为y轴，利用势的迭加

原理：

KCt0.5100.22.51031291.5100.67m2s

B0Q4Kh=

1.25(10086400)1.51040.510129120.29(MPa)

于是投产29天后两井连线中点处即原点处的压力降为：

p=B04Kh2i1(xxi)2(yyi)2QiEi4(tti) 图 4.12

22(0150)(0150)B0QEE=ii 4Kh4Kh40.67250560040.672505600B0Q=

B0Q4Khln2.245(tti)(xxi)(yyi)22=0.295.120996=1.485089MPa

【4-9】设有一油井距直线不渗透边界的距离为a120m，该井先以

Q160m3/d的产量生产了

10天，然后又以Q250m3/d的产量生产，设油层厚

度h6.5m，地层渗透率K0.8m2，流体粘度2mPas，B01.2，油井半

径rw10cm，孔隙度0.22，总压缩系数Ct2103(1/MPa)，试求该井改变产量25天后井底的压降为多少？

【解】建立坐标，y轴在断层上，x轴过这口井，

KCt0.8100.2221031221090.91m2s

利用镜像原理和杜哈美原理该井按上面的方式生产35天后时间该井的压降为：

p=pip(r,t)=－

B04Kh4i122xy(QiQi1)Ei

4(tt)i1222a202a0B0=Q1E1Q1E14Kh4Kh4(tt0)4(tt0)B0

2a204(tt)12a0B0（Q2－Q1）E1（Q2Q1）E14Kh4Kh4(tt)1B0

=

B04KhB04KhQ1ln2.245(tt0)rw2+

B04KhQ1ln2.245(tt0)rw2+

2.245(tt1)r2w（Q2Q1）ln1.221032.245(tt1)r2w+

B04Kh（Q2Q1）ln

=240.810126.536086400ln2.2450.9130240000.12

+21.221040.810126.5506086400ln2.2450.9121600000.120.86376MPa

【4-10】如果压力p的单位用MPa，粘度为mPas，产量Q为m3/d，渗透率K为10-3m2，油层有效厚度h为m，油井半径为cm，总压缩系数Ct为

1/MPa，并将自然对数化为常用对数，试证明：

pwf(t)pi2.1208BQKlgtlg0.8686S1.9077 2KhCtrwln4Kh【证明】由公式：pi－pwf(t)=

BQBQ2.245trw22S

pipwi2.245t2Slne 24KhCtrwBQKh103243600312101041106152.245Kte2s103600lg3264Cr101010twlgeBQK2S2.1208lg2.24536lgtlglge2KhCrtwK2.12081.9077lgtlg0.8686S2KhCtrw

BQpwfpi2.1208BQKlgtlg1.90770.8686S 2KhCtrw【4-11】某井以恒产量生产时的压降测试数据如下表：Q139.75m3/d，

B1.136；0.8mPas；rw6cm；h=21.03m；0.039；Ct2.4673(1/MPa)

求：地层渗透率和表皮系数

表4.4 时间与井底压力关系

t(hr) pwf(MPa) t(hr) pwf(MPa) 0.00 0.12 1.94 2.79 4.01 4.82 5.78 6.94 8.32 9.99 30.400 25.610 25.031 24.956 24.879 24.838 24.804 24.762 24.721 24.687 14.4 17.3 20.7 24.9 29.8 35.8 43.0 51.5 61.8 74.2 24.618 24.577 24.535 24.494 24.453 24.418 24.370 24.335 24.294 24.260 【解】首先将测得的数据点绘在半对数坐标上，经线性回归得：

25.12524.924.824.724.624.524.424.324.21y = -0.2123Ln(x) + 25.175图4.13 时间与井底压力关系曲线

m=0.2123ln100.489MpaCycle

代入 K=2.1208PwfM10100

BQmh=

2.12080.81.13639.750.48921.03pp0KS1.15120.12hrlg1.9077 2mCtrw7.45030.40025.6101.15129lg1.9077320.4890.0390.82.46731065.13

【4-12】某油藏开发早期进行的一次压力恢复测试数据如下表：

表4.5 关井时间与井底压力关系

关井时间t(hr) 0 2 3 4 5 8 pws(MPa) 9.536 10.542 10.576 10.597 10.611 10.652 th7.45103m

2

t(hr) pws(MPa) 10 12 19 24 36 10.672 10.686 10.721 10.742 10.769 岩石和流体性质如下：0.8mPa，h4.572m；rw10.2cm；

Ct2.17710(1/MPa)3；0.25；B01.25，累积产油量Np198.75m3，油

井产量Q19.88m3/d

求：地层渗透率K，表皮系数S和原始地层压力pi。

【解】先求折算生产时间：tp算出关井后各时刻的

tttpNpQ24198.7519.8824239.94(hr)

，并列出

tttp与pws的计算表：

表4.5 关井时间与井底压力关系

t(hr) tttp pws(MPa) t(hr) tttp pws(MPa) 0 2 3 4 5 8 将以上pws~回归得：

pws(MPa) 0.00827 0.01235 0.01640 0.02041 0.03226 tttp9.536 10.542 10.576 10.597 10.611 10.652 10 12 19 24 36 0.04001 0.04763 0.07338 0.09093 0.13046 10.672 10.686 10.721 10.742 10.769 的数据点到半对数坐标纸上并对半对数直线段进行线性

10.810.7510.710.6510.610.5510.50.001y = 0.083Ln(x) + 10.9380.010.1t1

图4.14 关井时间与井底压力关系曲线

tptm0.083ln100.1911(MPa/cycle)

pi10.938(MPa)

进一步求得地层渗透率为：

K2.1208QB0hm2.120819.881.250.84.5720.191148.261032m

pws(1hr)pwfkS1.152lg1.9077 2mCrtw63.610.5429.5361.152lg1.907720.19110.250.82.17710.23.685