双线摆的实验论文

物理科学与技术学院 摘要：

关键字：三线摆, 转动惯量，切变模量，平行轴定理。

引言：

摆是一种实验仪器，可用来展现种种力学现象。而转动惯量用以描述一个物体对于其旋转运动的改变的对抗，是一个物体对于其旋转运动的惯性。转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，描述角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。

实验原理：我们考虑双线摆

[2]

[1]

的纯转下双线面

运

动的理想物理模型。在这种情况摆的双摆锤在一椭圆柱体的表动。该曲线运动可分解为两个分一个水平面上的转动,一个上下往返振动。在水平面上的转动为横杆中心的竖直直线的轴的转的附加压力为零),在竖直方向运动则视为一质点的往返运

设均匀细杆质量m0、长为绕通过质心竖直轴转动的惯量I0；两相同园柱体的质量之和为之间距离为2c；双绳之间距离绳长L（如图１所示）[4]。

设双线摆绕竖直转动轴，

图2几何分析 图１双线摆结构图 运动:方向的绕通过动(轴上的动。

l 、为 2m1,为d，

转过

一初始的角度0，双线摆将上升一定的高度，则由于绳的拉力和重力的作用下，将自由摆动，在无阻尼状态下，系统的动能和势能将相互转化，但总量将保持为一恒定的值，可视为一无休止的循环运动。

设双线摆摆锤运动至最低点时横杆的中心位置为直角坐标系的原点，并以此时原点所在的平面为零势能面。双线摆运动系统的几何关系图如图2所示。根据

s该图可得arccos，式中s为以d/2为半径，园心为所对应的弦。所以有:

Ldh =L-Lsin L[1-sin arccos(sin)] ， （1）

L2如果我们取 L=d,则

h =L(1-cos) 2Lsin2 ， （2）

24由于，当摆角很小时，可近似认为sin，则

1h =L(1-cos) L 2 ， （3）

281.均匀细杆的转动惯量 由（3）知系统的势能为

1Epm0ghm0gL0 2 ， （4）

8杆的转动动能为

Ek1dI0()2 ， （5） 2dt根据能量守恒定律，得

1d1I0()2m0gL0 2m0gh0 ， （6） 2dt8d式中h0为初始摆的最大高度。两边对t求一阶导数，并除以，得:

dtd2m0gL0 0 ， (7) dt24I0（7）式是一简谐振动方程，有02m0gL0 ，所以 4I0T04I0， （8） m0gLI0m0gL2T0， （9） 162根据（9）式，实验时先调节摆线长等于两线间的距离，即d=L0,并测出L0，旋转一小角度，测量周期T0，代入（9）式，求细杆的转动惯量。 2.测量待测物体的转动惯量

将质量为m的待测物体固定在细杆上，由（9）式知系统总的转动惯量为

I(m0mx)gL02T， （10） 216

待测物的转动惯量为

Ix(m0mx)gL02(m0mx)gL02m0gL02（11） TITT0，0222161616根据（11）式，实验时先测出待测物体的质量，固定在细杆的质心处，调节摆线长等于两线间的距离，即d=L0,并测出L0，旋转一小角度，测量周期T，代入（9）式，求细杆的转动惯量Ix。

3.用双线摆验证平行轴定理

用双线摆法还可以验证平行轴定理。若质量为m1的物体绕过其质心轴的转动惯量为Ic，当转轴平行移动距离x时（如图3所示），则此物体对新轴OO的转动惯量为IxIcm1x2。这一结论称为转动惯量的平行轴定理。

图3 平行轴定理 m x O' 实验时将质量均为m2，形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置在均匀细杆上。按同样的方法，测出两小圆柱体和细杆的转动周期Tx，则可求出每个柱体对中心转轴OO的转动惯量:

Ix(m02m1)gL02(m02m1)gL02m0gL02TITxT0 ， (12) x0322322162如果测出小圆柱中心与细杆质心之间的距离x以及小圆柱体的半径Rx，则由平行轴定理可求得

12 ， (13) I'xm1x2m1Rx2比较Ix与I'x的大小,可验证平行轴定理。 二、实验内容

1. 调节L=d和细杆水平，测量L。；

2. 调节计时器，设定测定周期个数，测量周期T0，代入（9）式求I0； 3. 测量待测物体的质量mx,调节mx的质心与细杆质心重合，测量周期Tx，代入（11）式求Ix；

4.测量园柱体的质量m1,半径Rx, m1的质心与细杆质心距离x,，测量周期Tx，代

入（12）式求Ix，代入（13）式求Ix',比较Ix'与Ix的大小，验证平行轴定理。

5.改变x的大小，重复步骤4。

实验目的 ：

1． 加深对转动惯量概念和平行轴定理等的理解； 2． 了解用三线摆和扭摆测转动惯量的原理和方法； 3． 掌握周期等量的测量方法

实验 仪器:：一、三线摆

图1是三线摆示意图。上、下圆盘 均处于水平，悬挂在横梁上。横梁由立 柱和底座（图中未画出）支承着。三根 对称分布的等长悬线将两圆盘相连。拨 动转动杆就可以使上圆盘小幅度转动， 从而带动下圆盘绕中心轴OO＇作扭摆 运动。当下圆盘的摆角θ很小，并且忽 略空气摩擦阻力和悬线扭力的影响时， 根据能量守恒定律或者刚体转动定律都 可以推出下圆盘绕中心轴OO＇的转动

惯量J0为

mgRr2J002T0 （1） 图1 三线摆示意图

4H0式中，m0为下圆盘的质量；r和R分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离；H0为平衡时上下圆盘间的垂直距离；T0为下圆盘的摆动周期，g为重力加速度。北京地区的重力加速度为9.80ms-2。

将质量为m的待测刚体放在下圆盘上，并使它的质心位于中心轴OO＇上。测出此时的摆动周期T和上下圆盘间的垂直距离H，则待测刚体和下圆盘对中心轴的总转动惯量J1为

(m0m)gRr2T （2） 24H待测刚体对中心轴的转动惯量J与J0和J1的关系为

J1J= J1－J0 （3）

利用三线摆可以验证平行轴定理。平行轴定理指出：如果一刚体对通过质心的某一转轴的转动惯量为Jc，则这刚体对平行于该轴、且相距为d的另一转轴的转动惯量Jx为

Jx=Jc +md2 （4） 式中，m为刚体的质量。

实验时，将二个同样大小的圆柱体放置在对称 分布于半径为R1的圆周上的二个孔上，如图2所 示。测出二个圆柱体对中心轴OO＇的转动惯量Jx。 如果测得的Jx值与由（4）式右边计算得的结果比 较时的相对误差在测量误差允许的范围内（≤5%）， 则平行轴定理得到验证.。

图1 二孔对称分布

数据的测量及处理：

测量工具：量程为150 mm、50分度的游标卡尺，量程为400 mm、分度值为1 mm的刻度尺，量程为1000 s、分度值为106s的光电计时器。

测量说明：使扭摆小角度振动，用光电计时器测量扭摆的挡光杆扫过光电门61次所用时间，即30个周期．

表2

N

N

120.00 12.14 28.00 25.00 178.0 0.96664 0.93566

N 0.02 0.02 0.01 0.01 0.4 0.00008 0.00036

NN L/mm D1/mm D2/mm

1.9104 1.8103 4.1104 4.6104 2.2103 7.8105 3.8104

l/mm

b/mm T0/s T1/s

其中b是对称放置的两圆柱环外侧间的距离，即b2cl。 1.绕通过质心竖直轴转动的惯量为I0的计算。 I0m0gL2T185.10104 gmm2, 2016T0L40其相对误差， 22.310I0LT0不确定度I00.00248185.10104 gmm20.04104 gmm2。

2.将两个质量为m1100 g的待测物体（圆柱环）对称地固定在细杆上此时系统总

I22的转动惯量I1的计算。 I1(m02m1)gL242， T303.8210 gmm1216LT11其相对误差2TI1L1I247.910， 2不确定度I10.000442292.12104 gmm20.24104 gmm2。 3.待测物体的转动惯量I2的计算。

I1I059.36104 gmm2， 21其不确定度I2I20I210.12104 gmm2。

24.c的计算。

bl c76.5 mm，

21其不确定度cb2l20.2 mm。

2 I25.圆柱环绕通过其质心所在的竖直轴的转动惯量的实验值IC的计算。 ICI2m1c20.84104 gmm2， 其不确定度IC相对误差

ICI22IC222242， 2mc0.3310 gmmIcI1c22c22ICIC0.073739%。

26.D12D2的计算。

2931.38 mm2, D12D2其不确定度

D

221D222D12D22D12D2222222。 2DD 0.74 mmDD1D2D1212D1D222的计算。 7.圆柱环绕通过其质心所在的竖直轴的转动惯量的理论值IC112m1D12D2m1l21.1029104 gmm2， 1612其不确定度  ICIC22ICICm12m1l242 0.000510 gmm2222ll22D1D2DD161212lD1D2222， 相对误差

IICC4.5104

误差分析：圆柱环绕通过其质心所在的竖直轴的转动惯量的实验值IC和理

之间的相对误差为2.3%，具有较高的准确度。而实验值IC的相对误差达论值IC7.37%，精密度太低。而IC的误差主要来源于T1,即将两个质量为m1的圆柱环对

称地固定在细杆上其振动的周期。在实验中，测得的T1的数据精密度非常低。据分析，可能是因为圆柱环所放位置为细线两侧，导致在振动时细线与圆柱环相互摩擦，对系统的转动有扰动，使测量周期不准确；并对系统有一个与转动反向的阻力矩，使测得的IC偏小。