导数双变量专题(新、选)

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导数-双变量问题

1.构造函数利用单调性证明 2.任意性与存在性问题 3.整体换元—双变单 4.极值点偏移 5.赋值法

构造函数利用单调性证明

形式如：|f(x1)f(x2)|m|x1x2| 方法：将相同变量移到一边，构造函数

1. 已知函数f(x)(x2)(x）对任意x1,x21,0，不等式|f(x1)f(x2)|m恒成立，试求m的取值范围。

22.已知函数f(x)(a1)lnxax1.设a1,如果对x1,x2(0,),有

3294|f(x1)f(x2)|4|x1x2|,求实数a的取值范围.

23.已知函数f(x)aln(x1)x区间(0,1)内任取两个实数p,q，且pq时，若不等式

f(p1)f(q1)1恒成立，求实数a的取值范围。

pq4.已知函数f(x)12x2alnx(a2)x,aR．是否存在实数a，对任意的 2f(x2)f(x1)a，恒成立，若存在求出a的取值范围，

x2x1x1,x20,，且x2x1，有

若不存在，说明理由．

练习1：已知函数f(x)alnxx,若a0,且对任意的x1,x2[1,e]，都有

2|f(x1)f(x2)||11|,求实数a的取值范围． x1x2word.

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练习2.设函数

f(x)lnxmf(b)f(a),mR.若对任意ba0,1恒成立， xba求m的取值范围. 5.已知函数f(x)12xaxa1lnx,a1 2（1）讨论函数的单调性

（2）证明：若a5，则对任意的x1,x20,，且x2x1，有f(x2)f(x1)恒

x2x1成立

6.设函数fxemx1x2mx

（1）证明：fx在,0单调递减，在0,单调递增；

（2）若对于任意x1,x21,1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范围。

任意与存在性问题

a21. 已知函数fxx，gxxlnx，其中a0．

x（1）若函数yfx在1,e上的图像恒在ygx的上方，求实数a的取值范围．

（2）若对任意的x1,x21，e（e为自然对数的底数）都有fx1≥gx2成立，

求实数a的取值范围．

1f(x)x3x23x12g(x)x2xa 32.已知函数，

（1）讨论方程f(x)k（k为常数）的实根的个数。 （2）若对任意（3）若对任意（4）若对任意

x0,2x0,2，恒有f(x)a成立，求a的取值范围。 ，恒有，存在

f(x)gxx20,2成立，求a的取值范围。

x10,2，恒有

f(x1)gx2成立，求a的取值范围。

整体换元——双变单

1. 已知函数f(x)axlnx.

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

2word.

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（Ⅱ）当a0时，设斜率为k的直线与函数yf(x)相交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2) (x2x1)，求证：x1练习1. 已知函数f(x)1x2． k12x2x,g(x)logax(a0,且a1),其中a为常数，如果 2且h(x)存在零点（h(x)为h(x)的导函数）． h(x)f(x)g(x)在其定义域上是增函数， （I）求a的值；

（II）设A(m,g(m)),B(n,g(n))(mn)是函数yg(x)的图象上两点，

g(n)g(m)(g(x)为g(x)的导函数),证明:mx0n.

nma12练习2. 已知函数f(x)lnxax1,g(x)x，aR；

2g(x0)（1）已知a2，h(x)f(x)g(x)，求h(x)的单调区间； （2）已知a1，若0x1x21，f(t)f(x2)f(x1)xx2(x1tx2)，求证：t1

x2x12练习3.已知函数fxe,xR，设ab，比较

xfafbfbfa与的大小，

2ba并说明理由。

2. 已知函数fxlnxax有且只有一个零点，其中a＞0. （Ⅰ）求a的值；

（II）设hxfxx，对任意x1,x21,x1x2，证明：不等式

x1x2＞x1x2x1x21恒成立.

hx1hx23.已知f(x)2lnxxax在(0,)内有两个零点x1,x2，求证：f'(2x1x2)0。 2练习.已知函数f(x)＝lnx－mx（m∈R），若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．

4.已知函数f(x)xlnaxa0

22af'xx（1）若对任意的x0恒成立，求的取值范围

（2）当a1时，设函数g(x)fx1x,x12,1,x1x21，求证：，若xeword.

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x1x2x1x2。

4对称轴问题x1x2的证明

1.已知函数fxxex．

(1)求函数fx的单调区间和极值；

(2)已知函数ygx的图象与函数yfx的图象关于直线x1对称．证明：当x1时，fxgx；

(3)如果x2x1，且fx1fx2，证明：x1x22 2.已知函数fxaxx2xlnaa0,a1(1)求函数fx的单调区间；

(2)a1，证明:当x0,时，fxfx

(3)若对任意x2x1，且当fx1fx2时，有x1x20，求a的取值范围. 练习. 已知函数fxxlnx． (1)求函数fx的单调区间和极值；

(2) 如果x2x1，且fx1fx2，证明：x1x2

2 e赋值法

1. 已知函数fxrxxr1rx0，其中r为有理数，且0r1 （1）求fx的最小值；

（2）试用（1）的结果证明：若a10,a20,b1,b2为正有理数，若b1b21，则

b2a1b1a2a1b1a2b2

（3）将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明。 2. 已知函数fxlnx,gxlnx1lnx,0,1； （1）证明：x[1,),gx0恒成立

（2）若正数1,2满足121，证明：对于任意正数x1x2，都有

f1x12x21fx12fx2

（3）若正数1,2,3满足1231，试类比（2）的结论，写出一个正确的结论，并证明。

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