经典模拟·演练卷
一、选择题
1．(2015·浙江名校联考)过点(3，1)作圆(x－1)＋y＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( ) A．2x＋y－3＝0 C．4x－y－3＝0
2
2
2
B．2x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
2．(2015·台州模拟)已知抛物线C：y＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直
→
→
线PF与C的一个交点．若FP＝4FQ，则|QF|＝( ) 7A. 2C．3
2
2
5B. 2D．2
2
3．(2015·瑞安模拟)等轴双曲线x－y＝a(a>0)的左、右顶点分别为A、B，P是双曲线上在第一象限内的一点，若直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，且β＝2α，那么β的值是( ) πA. 3πC. 6
2
B.
π 4
πD. 12
2
4．(2015·湖州模拟)已知圆C：(x－3)＋(y－4)＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( ) A．7 C．5
B．6 D．4
5．(2015·大庆质检)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－25，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 255C.＋＝1 3010
x2
y2
B.D.
＋＝1 3616＋＝1 4525
x2
y2
x2y2x2y2
1
x22
6．(2015·石家庄质检)已知抛物线y＝8x与双曲线2－y＝1的一个交点为M，F为抛物线
a2
的焦点，若|MF|＝5，则该双曲线的渐近线方程为( ) A．5x±3y＝0 C．4x±5y＝0 二、填空题
B．3x±5y＝0 D．5x±4y＝0
x2y2
7．(2015·北京东城调研)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为5，则C的渐近
ab线方程为________．
8．(2015·杭州高级中学三模)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与圆(x－2)＋(y－3)＝8相外切，则圆C的方程为________．
9．(2015·石家庄质检)抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O、F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线方程为________． 三、解答题
10．(2015·绍兴一中模拟)椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2，0)，且短轴长与长轴长的比是
3. 2
2
2
2
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点M(m，0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当
→
|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．
111．(2015·萧山中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点，0且与直线x＝－2
1
相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E. 2
(1)求曲线E的方程；
(2)设P是曲线E上的动点，点B，C在y轴上，△PBC的内切圆的方程为(x－1)＋y＝1，求△PBC面积的最小值．
2
2
2
x2y26
12．(2015·北仑中学三模)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，点O为坐标原点，
ab3
3
椭圆C与曲线|y|＝x的交点分别为A，B(A在第四象限)，且OB·AB＝.
2
→
→
(1)求椭圆C的标准方程；
x2y2
(2)定义：以原点O为圆心，a＋b为半径的圆称为椭圆2＋2＝1的“伴随圆”．若直线lab2
2
交椭圆C于M，N两点，交其“伴随圆”于P，Q两点，且以MN为直径的圆过原点O.证明：|PQ|为定值．
经典模拟·演练卷
1．A [易知点A(1，1)是一个切点．由圆的几何性质，过点(3，1)、(1，0)的直线与直线
AB垂直．∴kAB＝－
1
＝－2.所以直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.] 1－03－1
2．C [如图所示，过点Q作直线l的垂线，垂足为E.
|FP|
由FP＝4FQ，得＝4.
|FQ|
→
→
|EQ|3所以＝. |AF|4
3
由抛物线C：y＝8x知|AF|＝p＝4， ∴|EQ|＝3，
根据抛物线定义，|FQ|＝|EQ|＝3.] 3．A [由β＝2α，得∠APB＝α， 则|PB|＝|AB|＝2a，设P(x，y)．
∴x＝a＋2acos β，y＝2asin β，则P(a＋2acos β，2asin β)， 代入双曲线方程(a＋2acos β)－(2asin β)＝a，cos 2β＋cos β＝0. 1π2
∴2cosβ＋cos β－1＝0，则cos β＝，cos β＝－1(舍去)，故β＝.] 23
4．B [由∠APB＝90°，知点P在以线段AB为直径的圆上，设该圆的圆心为O，则O(0，0)，半径r＝m，
由圆的几何性质，当圆C与圆O相内切时，圆的半径取得最大值． ∴|OC|＝3＋4＝m－1，∴m＝6. 故m的最大值为6.]
5．B [设椭圆C的右焦点为F′，连接PF′.
在△PFF′中，|OP|＝|OF|＝|OF′|＝25，知∠FPF′＝90°. 又|PF|＝4，
∴|PF′|＝|FF′|－|PF|＝(45)－4＝64，则|PF′|＝8， 因此2a＝|PF|＋|PF′|＝12，a＝6. 由c＝25，得b＝a－c＝36－20＝16， 故椭圆C的方程为＋＝1.]
3616
6．A [依题意，不妨设点M在第一象限，且M(x0，y0)， 由抛物线定义，|MF|＝x0＋，得5＝x0＋2.
2∴x0＝3，则y0＝24，所以M(3，26)， 又点M在双曲线上，
3932
∴2－24＝1，则a＝，a＝， a255
2522
因此渐近线方程为x－y＝0，即5x±3y＝0.]
9
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x2y2
pc2a2＋b2b2b7．y＝±2x [由题意知：2＝2＝1＋2＝5，则＝2，所以渐近线的方程为y＝±2x.]
aaaa8．(x＋1)＋y＝2 [由题设，圆C的圆心C(－1，0)，设半径为r，
4
2
2
又圆C与圆C′：(x－2)2＋(y－3)2
＝8相外切， ∴|CC′|＝22＋r.
又|CC′|＝[2－（－1）]2
＋32
＝32，则r＝2， 故所求圆C的方程为(x＋1)2
＋y2
＝2.] 9．y2
＝16x [由抛物线C：y2＝2px(p>0)，
知焦点Fp，0p2
，准线x＝－2，
设满足条件的圆心为C′，圆的半径为r. 由πr2
＝36π，得r＝6.
又圆C′与抛物线的准线x＝－p2相切， ∴p＋p＝6，∴p＝8.故抛物线方程为y2
42
＝16x.] x2y2
10．解 (1)设椭圆C的方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，
由焦点F(－2，0)知c＝2. ∴a2
＝4＋b2
，① 又b＝3
a2
，② 联立①，②得a2
＝16，b2
＝12. 所以椭圆C的方程为x2y2
16＋12
＝1.
(2)设P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x2y2
16＋12＝1.
故－4≤x≤4.
由点M(m，0)在椭圆的长轴上，则－4≤m≤4.①
→
由MP＝(x－m，y)，
→
2
所以|MP|2
＝(x－m)2
＋y2
＝(x－m)2
＋12x1－16
＝14x2－2mx＋m2＋12＝14
(x－4m)2＋12－3m2. →
∵当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点．
→
∴当x＝4时，|MP|2
取得最小值． 由于x∈[－4，4]，故4m≥4，则m≥1，② 由①，②知，实数m的取值范围是[1，4]．
5
1111．解 (1)∵动圆过点2，0且与直线x＝－2相切， ∴动圆的圆心到定点12，0的距离等于到定直线x＝－12的距离．
根据抛物线定义，圆心的轨迹方程为y2
＝2x. (2)设点P(x0，y0)，B(0，b)，C(0，c)， 则直线PB的方程为(y0－b)x－x0y＋x0b＝0， 又△PBC的内切圆方程为(x－1)2
＋y2
＝1， ∴圆心(1，0)到直线PB的距离为1. 则
|y0－b＋x0b|2
（y0－b）2
＋（－x2
＝1，整理得(x0－2)b＋2y0b－x0＝0，
0）
同理，得(x2
0－2)c＋2y0c－x0＝0，
因此，b，c是方程(x2
0－2)x＋2y0x－x0＝0的两根， 所以b＋c＝－2y0x－2，bc＝－x0
x－2.
00依题意，得bc<0，即x0>2. 2
2
则(b－c)2
＝4x0＋4y0－8x0
（x2，
0－2）
因为y2
0＝2x0，所以|b－c|＝
2x0x0－2
.
因此△PBC的面积S＝12|b－c||x0|＝x2
0x
0－2＝x0＋2＋4x＝(x4
0－2)＋＋4 0－2x0－2
≥2
（x4
0－2）·
x－2
＋4＝8， 0当且仅当x0－2＝2，即x0＝4时上式等号成立． 故△PBC面积的最小值为8.
12．(1)解 由椭圆的对称性，知点A、B关于x轴对称．
→
依题意，设点A(x，－x)，B(x，x)，则AB＝(0，2x)． →
→
由OB·AB＝(x，x)·(0，2x)＝3
2
，且x>0.
∴2x2
＝32，x＝32，因此B32，32，
代入椭圆方程，得33
4a2＋4b2＝1.①
又e＝c6a＝
3
，
6
6ca－b∴＝2＝2② 9aa联立①，②，得b＝1，a＝3. 所以椭圆C的标准方程为＋y＝1.
3
(2)证明 由题意可得“伴随圆”方程为x＋y＝4，
2
2
2
2
222
x2
2
①当直线l斜率不存在时，设l：x＝n，代入椭圆方程得Mn，
→
→
Nn，－1－，3
n2 1－，3
n2由OM·ON＝0得n＝±所以|PQ|＝13.
31322
，代入x＋y＝4得y＝±， 22
②当直线l斜率存在时，设l方程为y＝kx＋m(k，m∈R)且与椭圆的交点M(x1，y1)，N(x2，
y＝kx＋m，2
222
y2)，联立方程组x整理得(1＋3k)x＋6kmx＋3m－3＝0， 2
＋y＝1，3
Δ＝36km－4(1＋3k)(3m－3)>0，即m<3k＋1， －6km3m－3
∵x1＋x2＝2，x1·x2＝2，
1＋3k1＋3k2
22
2
2
2
2
m2－3k2
可得y1·y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝2，
1＋3k3m－3m－3k4m－3k－3
由OM·ON＝0得x1·x2＋y1·y2＝0，即＝0， 2＋2＝2
1＋3k1＋3k1＋3k→
→
2
2
2
2
2
322
所以m＝(k＋1)，代入验证Δ>0成立．
4则原点O到直线l的距离d＝
|m|1＋k＝2
m21＋k2
＝3
， 2
∵“伴随圆”的半径为2，∴|PQ|＝2综合①，②知，|PQ|为定值13.
3
4－＝13， 4
7
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容