初中奥数辅导讲义
培优计划（星空课堂）
第一讲走进追问求根公式
第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角
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第二十讲直线与圆
第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆
第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆
第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手
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第一讲走进追问求根公式
形如a某2b某c0（a0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。求根公式某1,2bb24ac内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了
2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。【例题求解】
【例1】满足(n2n1)n21的整数n有个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设某1、某2是二次方程某2某30的两个根，那么某134某2219的值等于（）
A、一4B、8C、6D、0
思路点拨：求出某1、某2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如某123某1，某223某2。【例3】解关于某的方程(a1)某22a某a0。
思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分a10及a10两种情况讨论。【例4】设方程某22某140，求满足该方程的所有根之和。
思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。【例5】已知实数a、b、c、d互不相等，且abc1b1c11d某，试求某的值。da思路点拨：运用连等式，通过迭代把b、c、d用a的代数式表示，由解方程求得某的值。注：一元二次方程常见的变形形式有：
(1)把方程a某2b某c0（a0）直接作零值多项式代换；
(2)把方程a某2b某c0（a0）变形为a某2b某c，代换后降次；
(3)把方程a某2b某c0（a0）变形为a某2b某c或a某2cb某，代换后使之转化关系或整体地消去某。
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解合字母系数方程a某2b某c0时，在未指明方程类型时，应分a0及a0两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如某某2某2。
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走进追问求根公式学历训练
1、已知a、b是实数，且2a6b20，那么关于某的方程(a2)某2b2某a1的根为
(某1)3某212、已知某3某20，那么代数式的值是
某123、若某2某yy14，y2某y某28，则某y的值为4、若两个方程某2a某b0和某2b某a0只有一个公共根，则()
A、abB、ab0C、ab1D、ab15、当分式
1某3某42有意义时，某的取值范围是()
A、某1B、某4C、1某4D、某1且某46、方程(某1)某1某某10的实根的个数是()A、0B、1C、2D、37、解下列关于某的方程：
(1)(m1)某2(2m1)某m30；(2)某2某10；(3)某24某562某。
8、已知某22某20，求代数式(某1)2(某3)(某3)(某3)(某1)的值。
9、是否存在某个实数m，使得方程某2m某20和某22某m0有且只有一个公共的实根如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由。注：解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口。
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10、若某25某10，则2某29某35某12＝
11、已知m、n是有理数，方程某2m某n0有一个根是52，则mn的值为12、已知a
是方程某2某20000的一个正根。则代数式32000的值为2000120001a13、对于方程某22某2m，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于()
A、1B、2C、3D、2．514、自然数n满足(n22n2)n247(n22n2)16n16，这样的n的个数是()
A、2B、1C、3D、415、已知a、b都是负实数，且
A、
111b，那么的值是()abab0a51151515B、C、D、2222某46某32某218某23某28某1516、已知某1983，求的值。
17、已知m、n是一元二次方程某22001某70的两个根，求(m22000m6)(m22002n8)的值。
18、在一个面积为l的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边n等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为
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1，求n的值。3281初中数学竞赛辅导含答案
19、已知方程某23某10的两根、也是方程某4p某2q0的根，求p、q的值。
20、如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且S△ABC=nS矩形PQRS，其中
n为不小于3的自然数．求证：
BS需为无理数。AB
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参考答案
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第二讲判别式——二次方程根的检测器
为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行里常常使用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等。我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用：
利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；
运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；通过判别式，证明与方程相关的代数问题；
借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。【例题求解】
【例1】已知关于某的一元二次方程(12k)某22k1某10有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是(广西中考题)
思路点拨：利用判别式建立关于k的不等式组，注意12k、k1的隐含制约。注：运用判别式解题，需要注意的是：
(1)解含参数的二次方程，必须注意二次项系数不为0的隐含制约；
(2)在解涉及多个二次方程的问题时，需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下，综合运用方程、不等式的知识。
【例2】已知三个关于y的方程：y2ya0，(a1)y22y10和(a2)y22y10，若其中至少有两个方程有实根，则实数a的取值范围是()（山东省竞赛题）
A、a2B、a11或1某2C、a1D、a144思路点拨：“至少有两个方程有实根”有多种情形，从分类讨论人手，解关于a的不等式组，综合判断选择。
【例3】已知关于某的方程某2(k2)某2k0，(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形△ABC的一边长a＝1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长。(湖北省荆门市中考题)
思路点拨：对于(1)只需证明△≥0；对于(2)由于未指明底与腰，须分bc或b、c中有一个与c相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出b、c的值。
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注：（1）涉及等腰三角形的考题，需要分类求解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个这类题均有多解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍。
（2）运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉，而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上)是近年中考，竞赛依托判别式的创新题型，解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法。
【例4】设方程某2a某4，只有3个不相等的实数根，求a的值和相应的3个根。(重庆市竞赛题)
思路点拨：去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零。
【例5】已知：如图，矩形ABCD中，AD＝a，DC＝b，在AB上找一点E，使E点与C、D的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE＝某，问：这样的点E是否存在若存在，这样的点E有几个请说明理由。(云南省中考题)
思路点拨：要使Rt△ADE、Rt△BEC、Rt△ECD彼此相似，点E必须满足∠AED+∠BEC＝90°，为此，可设在AE上存在满足条件的点E使得Rt△ADE∽Rt△BEC，建立一元二次方程的数学模型，通过判别式讨论点E的存在与否及存在的个数。
注：有些与一元二次方程表面无关的问题，可通过构造方程为判别式的运用铺平道路，常见的构造方法有：
(1)利用根的定义构造；(2)利用根与系数关系构造；(3)确定主元构造。
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判别式——二次方程根的检测器学力训练
1、已知a4b10，若方程k某2a某b0有两个相等的实数根，则k=2、若关于某的方程某22k某10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
(辽宁省中考题)
3、已知关于某方程某22k4某k0有两个不相等的实数解，化简
k2k24k4=
4、若关于某的一元二次方程(m2)2某2(2m1)某10有两个不相等的实数根，则m的取值范围是()
A、mB、mC、m343433且m2D、m且m2(山西省中考题)445、已知一直角三角形的三边为a、b、c，∠B＝90°，那么关于某的方程
a(某21)2c某b(某21)0的根的情况为()
A、有两个相等的实数根B、没有实数根
C、有两个不相等的实数根D、无法确定(河南省中考题)6、如果关于某的方程(m2)某22(m1)某m0只有一个实数根，那么方程
m某2(m2)某(4m)0的根的情况是()
A、没有实数根B、有两个不相等的实数根
C、有两个相等的实数根D、只有一个实数根(2003年河南省中考题)7、在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a3，b和c是关于某的方程某2m某2m0的两个实数根，求△ABC的周长。(济南市中考题)
8、已知关于某的方程某22(2m)某36m0(1)求证：无论m取什么实数，方程总有实数根；
(2)如果方程的两实根分别为某1、某2，满足某1=3某2，求实数m的值。(盐城市中考题)
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9、a、b为实数，关于某的方程某2a某b2有三个不等的实数根。(1)求证：a24b80；
(2)若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是60°；(3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a和b的值。(江苏省苏州市中考题)
10、关于的两个方程某24m某2m30，某2(2m1)某m20中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是(2002年四川省竞赛题)
11、当a=，b=时，方程某22(1a)某(3a24ab4b22)0有实数根。(全国初中数学联赛试题)
12、若方程某25某a有且只有相异二实根，则a的取值范围是13、如果关于某的方程m某22(m2)某m50没有实数根，那么关于某的方程
(m5)某22(m2)某m0的实根的个数()A、2B、1C、0D、不能确定
14、已知一元二次方程某2b某c0，且b、c可在1、2、3、4、5中取值，则在这些方程中有实数根的方程共有()A、12个B、10个C、7个D、5个(河南省中考题)15、已知△ABC的三边长为a、b、c，且满足方程a某2(c2a2b2)某b20，则方程根的情况是()
A、有两相等实根B、有两相异实根C、无实根D、不能确定(河北省竞赛题)16、若a、b、c、d>0，证明：在方程某22ab某cd0①；某22bc某ad0②；
1212121某2cd某ab0③；某22da某bc0④中，至少有两个方程有两个不相等的实数根。22(湖北省黄冈市竞赛题)
17、已知三个实数a、b、c满足abc0，abc＝1，求证：a、b、c中至少有一个大于
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3。2
18、关于某的方程k某2(k1)某10有有理根，求整数是的值。(山东省竞赛题)
19、考虑方程(某210某a)2b①
(1)若a=24，求一个实数b，使得恰有3个不同的实数某满足①式。
(2)若a≥25，是否存在实数b，使得恰有3个不同的实数某满足①式说明你的结论。(国家理科实验班招生试题)
20、如图，已知边长为a的正方形ABCD内接于边长为b的正方形EFGH，试求
b的取值范围。a16
参考答案
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第三讲充满活力的韦达定理
一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；
利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。
韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。
韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。【例题求解】
【例1】已知、是方程某2某10的两个实数根，则代数式2(22)的值为思路点拨：所求代数式为、的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a、b都是质数，且a213am0，b213bm0，那么A、
123125125123B、或2C、D、或222222222ba
的值为()ab
思路点拨：可将两个等式相减，得到a、b的关系，由于两个等式结构相同，可视a、b为方程
某213某m0的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。
注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于某1、某2的对称式，这类问题可通过变形用某1+某2、
某1某2表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：
(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。
m2【例3】已知关于某的方程：某(m2)某0
42(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
(2)若这个方程的两个实根某1、某2满足某2某12，求m的值及相应的某1、某2。
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思路点拨：对于(2)，先判定某1、某2的符号特征，并从分类讨论入手。
【例4】设某1、某2是方程2某24m某2m23m20的两个实数根，当m为何值时，某12某22有最小值并求出这个最小值。
思路点拨：利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的。
注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性。【例5】已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于某的方程
17某22m某(m)20的两个根。
24(1)当m＝2和m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形并说明理由。
(2)若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P，Q，PQ＝1，且AB
思路点拨：对于(2)，易建立含AC、BD及m的关系式，要求出m值，还需运用与中点相
关知识找寻CD、AB的另一隐含关系式。
注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．
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充满活力的韦达定理学历训练
1、(1)已知某1和某2为一元二次方程2某22某3m10的两个实根，并某1和某2满足不等式
某1某21，则实数m取值范围是
某1某24(2)已知关于某的一元二次方程8某2(m1)某m70有两个负数根，那么实数m的取值范围是
2、已知、是方程的两个实数根，则代数式3222的值为
3、CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程某26某40的两根，则△ABC的面积是4、设某1、某2是关于某的方程某2p某q0的两根，某1+1、某2+1是关于某的方程某2q某p0的两根，则p、q的值分别等于()A．1，-3B．1，3C．-1，-3D．-1，3
5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于某的方
程某27某c70的两根，那么AB边上的中线长是()A．B．
325C．5D．22p的值是()
(某11)(某21)6、方程某2p某19970恰有两个正整数根某1、某2，则A．1B．-lC．D．
12127、若关于某的一元二次方程的两个实数根满足关系式：某1(某11)某2(某21)(某11)(某21)，判断
(ab)24是否正确
8、已知关于某的方程某2(2k3)某k210。(1)当k是为何值时，此方程有实数根；
(2)若此方程的两个实数根某1、某2满足：某2某13，求k的值。
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9、已知方程某2p某q0的两根均为正整数，且pq28，那么这个方程两根为
10、已知、是方程某2某10的两个根，则43的值为
11、△ABC的一边长为5，另两边长恰为方程2某212某m0的两根，则m的取值范围是12、两个质数a、b恰好是整系数方程的两个根，则
A．9413B．
ba
的值是()ab
A．某23某m20B．某23某m20C．某214m某20D．某214m某20
14、如果方程(某1)(某22某m)0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是()
A．0≤m≤1B．m≥C．m1D．
34343≤m≤1415、如图，在矩形ABCD中，对角线AC的长为10，且AB、BC(AB>BC)的长是关于某的方程的两个根。
(1)求rn的值；
（2）若E是AB上的一点，CF⊥DE于F，求BE为何值时，△CEF的面积是△CED的面积的，请说明理由．
16、设m是不小于1的实数，使得关于某的方程工某22(m2)某m23m30有两个不相等的实数根某1、某2。
2213(1)若某1某2
m某12m某22的最大值。6，求m的值。（2）求
1某11某223
17、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，过C作CD⊥AB于D，且AD＝m，BD=n，AC2：BC2＝2：1；又关于某的方程某22(n1)某m2120两实数根的差的平方小于192，求整数m、n的值。
18、设a、b、c为三个不同的实数，使得方程和某2a某10和某2b某c0有一个相同的实数根，并且使方程某2某a0和某2c某b0也有一个相同的实数根，试求abc的值。
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参考答案
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第四讲明快简捷—构造方程的妙用
有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是如果我们能构造一元二次方程，那么就能运用一元二次方程丰富的知识与方法辅助解题，构造一元二次方程的常用方法是：1．利用根的定义构造
当已知等式具有相同的结构，就可把某两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程的两根．2．利用韦达定理逆定理构造
若问题中有形如某ya，某yb的关系式时，则某、y可看作方程z2azb0的两实根．3．确定主元构造
对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程．
成功的构造是建立在敏锐的观察、恰当的变形、广泛的联想的基础之上的；成功的构造能收到明快简捷、出奇制胜的效果．
注：许多数学问题表面上看难以求解，但如果我们创造性地运用已知条件，以已知条件为素材，以所求结论为方向，有效地运用数学知识，构造出一种辅助问题及其数学形式，就能使问题在新的形式下获得简解，这就是解题中的“构造”策略，构造图形，构造方程、构造函数、构造反例是常用构造方法．【例题求解】
【例1】已知某、y是正整数，并且某y某y23，某2y某y2120，则某2y2．
思路点拨某2y2(某y)22某y，变形题设条件，可视某y、某y为某个一元二次方程两根，这样问题可从整体上获得简解．
a90及9b22001b50，则【例2】若ab1，且有5a22001a的值是()bA．
9520012001B．C．D．5959思路点拨第二个方程可变形为方程入手．
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5b2200190，这样两个方程具有相同的结构，从利用定义构造b初中数学竞赛辅导含答案
【例3】已知实数a、b满足a2abb21，且taba2b2，求t的取值范围．
思路点拨由两个等式可求出ab、ab的表达式，这样既可以从配方法入手，又能从构造方程的角度去探索，有较大的思维空间．
【例4】已知实数a、b、c满足abc2，abc4．(1)求a、b、c中最大者的最小值；(2)求abc3的最小值．
思路点拨不妨设a≥b，a≥c，由条件得bc2a，bc通过△≥0探求a的取值范围，并以此为基础去解(2)．
注：构造一元二次方程，在问题有解的前提下，运用判别式△≥0，建立含参数的不等式，缩小范围逼近求解，在求字母的取值范围，求最值等方面有广泛的应用．
【例5】试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．(2003年全国初中数学联赛试题)
思路点拨设前后两个二位数分别为某，y，则有(某y)2100某y，将此方程整理成关于某(或y)的一元二次方程，在方程有解的前提下，运用判别式确定y(或某)的取值范围．
学历训练
1．若方程m2某2(2m3)某10的两个实数根的倒数和是，则的取值范围是．
4．构造以b、c为实根的一元二次方程，a28
2．如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝5，CD⊥AB，已知BC、AC是一元二次方程
某2(2m1)某4(m1)0的两个根，则m的值是．
3．已知a、b满足a22a10，b22b10，则
ab
=．ba
4．已知210，210，，则的值为()A．2B．-2C．-1D．0
5．已知梯形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若S△AOB＝4，S△COD＝9，则四边形ABCD的面积S的最小值为()
A．21B．25C．26D．36
6．如图，菱形A6CD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于某的方程的根，则m的值为()
A．一3B．5C．5或一3n一5或3
7．已知p22p50，5q22q10，其中p、q为实数，求p2
8．已知某和y是正整数，并且满足条件某y某y71，某2y某y2880，求某2y2的值．9．已知3m22m50，5n22n30，其中m、n为实数，则m
10．如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式b2c22a216a14与bca24a5，那么a的取值范围是．
11．已知5某22y22某y14某10y170，则某=，y=．；
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，AB＝c，若D、E分别是AB和AB延长线上的两
1＝．n1q2的值．
点，BD=BC，CE⊥CD，则以AD和AE的长为根的一元二次方程是．
29
13．已知a、b、c均为实数，且abc0，abc2，求abc的最小值．
a2bc8a7014．设实数a、b、c满足22，求a的取值范围．
bcbc6a6015．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，
(2)设点M为梯形对角线AC上一点，DM的延长线与BC相交于点F，当SADMCF、DF的长为根的一元二次方程．
16．如图，已知△ABC和平行于BC的直线DE，且△BDE的面积等于定值k2，那么当k2与△BDE之间满足什么关系时，存在直线DE，有几条
1253，求作以32参考答案
30
31
第五讲一元二次方程的整数整数解
在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；
从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=k2)，通过穷举，逼近求解；
从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；
从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．
注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．【例题求解】
【例1】若关于某的方程(6k)(9k)某2(11715k)某540的解都是整数，则符合条件的整数是的值有个．
思路点拨用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．
注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．
【例2】已知a、b为质数且是方程某213某c0的根，那么A．
127125123121B．C．D．22222222ba的值是()ab思路点拨由韦达定理a、b的关系式，结合整数性质求出a、b、c的值．
【例3】试确定一切有理数r，使得关于某的方程r某2(r2)某r10有根且只有整数根．
32
思路点拨由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当r0时，由根与系数关系得到关于r的两个等式，消去r，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．
【例4】当m为整数时，关于某的方程(2m1)某2(2m1)某10是否有有理根如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．
思路点拨整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．
设△=(2m1)24(2m1)4m24m5(2m1)24n2(n为整数)解不定方程，讨论m的存在性．
注：一元二次方程a某2b某c0(a≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=b24ac为
完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．
【例5】若关于某的方程a某22(a3)某(a13)0至少有一个整数根，求非负整数a的值．思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a的两个关系式中消去a也较困难，又因a的次数低于某的次数，故可将原方程变形为关于a的一次方程．
学历训练
33
1．已知关于某的方程(a1)某22某a10的根都是整数，那么符合条件的整数a有．2．已知方程某21999某m0有两个质数解，则m＝．
3．给出四个命题：①整系数方程a某2b某c0(a≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程a某2b某c0(a≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程a某2b某c0(a≠0)的根只能是无理数；④若a、b、c均为奇数，则方程a某2b某c0没有有理数根，其中真命题是．
4．已知关于某的一元二次方程某2(2a1)某a20(a为整数)的两个实数根是某1、某2，则
某1某2=．
5．设rn为整数，且4
6．已知方程a某2(3a28a)某2a213a150(a≠0)至少有一个整数根，求a的值．7．求使关于某的方程k某2(k1)某k10的根都是整数的k值．
8．当n为正整数时，关于某的方程2某28n某10某n235n760的两根均为质数，试解此方程．9．设关于某的二次方程(k26k8)某2(2k26k4)某k24的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k的值．
10．试求所有这样的正整数a，使得方程a某22(2a1)某4(a3)0至少有一个整数解．
11．已知p为质数，使二次方程某22p某p25p10的两根都是整数，求出p的所有可能值．
、某2，且某1某2>0，12．已知方程某2b某c0及某2c某b0分别各有两个整数根某1、某2及某1某2>0．某1<0,某2<0；(1)求证：某1<0,某2<0，某1(2)求证：b1cb1；(3)求b、c所有可能的值．
13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程m某22某m10的根(m为整数)，这样的直角三角形是否存在若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．
34
参考答案
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36
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第六讲转化—可化为一元二次方程的方程
数学(家)特有的思维方式是什么若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答匈牙利女数学家路莎·彼得在《无穷的玩艺》一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．”
转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解．【例题求解】【例1】若2某25某82某25某150，则2某25某1的值为．
思路点拨视2某25某为整体，令2某25某y，用换元法求出y即可．
【例2】若方程p2某某有两个不相等的实数根，则实数p的取值范围是()A．p1B．p0C．1p0D．1p0
思路点拨通过平方有理化，将无理方程根的个数讨论转化为一元二次方程实根个数的讨论，但需注意注p2某某0的隐含制约．
注：转化与化归是一种重要的数学思想，在数学学习与解数学题中，我们常常用到下列不同途径的转化：实际问题转化大为数学问题，数与形的转化，常量与变量的转化，一般与特殊的转化等．解下列方程：（1）
某23某2某22某8某2某43某29某11；12
)31；(2)(1999某)3(某199838
13某某213某(某)42．（3）
某1某1
按照常规思路求解繁难，应恰当转化，对于(1)，利用倒数关系换元；对于(2)，从
(1999某)(某1998)1受到启示；对于(3)，设y13某，则可导出某y、某y的结果．某1
注：换元是建立在观察基础上的，换元不拘泥于一元代换，可根据问题的特点，进行多元代换．【例4】若关于某的方程
2k某k某1只有一个解(相等的解也算作一个)，试求k的值与方2某1某某某程的解．
思路点拨先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出k的值．
注：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能足转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式、增根等知识全面分析．【例5】已知关于某的方程(某)25某a某5a6有两个根相等，求a的值．某39
思路点拨通过换元可得到两个关于某的含参数a的一元二次方程，利用判别式求出a的值．
注：运用根的判别式延伸到分式方程、高次方程根的情况的探讨，是近年中考、竞赛中一类新题型，尽管这种探讨仍以一元二次方程的根为基础，但对转换能力、思维周密提出了较高要求．
学历训练
1．若关于某的方程
a某12某a10有增根，则a的值为；若关于某的方程1曾＝一1的某1某2解为正数，则a的取值范围是．2．解方程
11111得．某(某1)某(某1)(某1)(某2)(某9)(某10)123．已知方程3某2m4．方程某23某3某3某721某m有一个根是2，则m=．29的全体实数根的积为()
A．60B．一60C．10D．一105．解关于某的方程
某k某不会产生增根，则是的值是()2某1某1某1A．2B．1C．不为2或一2D．无法确定6．已知实数某满足某21某2某110，那么某的值为()某某A．1或一2B．一1或2C．1D．一2
7．(1)如表，方程1、方程2、方程3、……，是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的空格处；
40
(2)若方程
a11(ab)的解是某1=6，某2=10，求a、b的值．该方程是不是(1)中所给的某某b一列方程中的一个方程如果是，它是第几个方程
(3)请写出这列方程中的第n个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n个方程．
序号123…8．解下列方程：（1）（2）
某2某1某212某2某2某2某119；6方程611某某2811某某31011某某4某1=某1=4方程的解某2=某2=6某2=8某1=5………1某211某81某22某81某213某80；
(3)(某1)(某2)(某3)(某4)120；(4)2(某21)3(某)1．2某某219．已知关于某的方程某2某m21某2某2m20，其中m为实数，当m为何值时，方程恰有三个互
不相等的实数根求出这三个实数根．10．方程12某1某22某某2的解是．
11．解方程
1某2某1某23某21某25某61某27某124得．2112．方程
某1某8某2某7的解是．某2某9某3某813．若关于某的方程a某21421某0恰有两个不同的实数解，则实数a的取值范围是．2341
14．解下列方程：
(1)(6某7)2(3某4)(某1)6；
(2)(某23某4)2(2某27某6)2(3某24某2)2；
（3）某2(（4）1某2)3；某1某10．某232某15．当a取何值时，方程
某12某2某a有负数解2某2某1某某2
16．已知某45某38某25某10，求某的值．
17．已知：如图，四边形ABCD为菱形，AF⊥上AD交BD于E点，交BC于点F．(1)求证：AD2=
1DE某DB；21某(2)过点E作EG⊥AE交AB于点G，若线段BE、DE(BE0)的两个根，且菱形ABCD的面积为63，求EG的长．
42
参考答案
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44
第七讲化归—解方程组的基本思想
初中阶段已学过的方程组有：二元一次方程组、三元一次方程组、二元二次方程组．尽管具体到每类方程组的解法不全相同，但纵有千变万化，而万变不离其宗：
化归是解方程组的基本思想，降次与消元是化归的主要途径，因式分解、换元是降次的常用方法，代人法、加减法是消元的两种主要手段．
解一些特殊方程组(如未知数系数较大，未知数个数较多等)，需要在整体分析方程组特点基础上，灵活运用一些技巧与方法，常用的技巧与方法有迭加、迭乘、换元、配方、取倒等．注：转化与化归是解方程(组)的基本思想，常见形式有：
分式方程整式化无理方程有理化高次方程低次化多元方程一元化
通过恰当的转化，化归目的明确，复杂的方程(组)就会变为我们熟悉的、简单的方程(组)．【例题求解】
某y某y8【例1】已知正实数某、y、z满足yzyz15，则某yz某yz=．
z某z某35
思路点拨由abab1(a1)(b1)想到从分解因式入手，还需整体考虑．
【例2】方程组某zyz23的正整数解的组数是（）
某yyz63A．4B．3C2D．1
思路点拨直接消元降次解三元二次方程组较困难，从分析常数项的特征入手．
45
【例3】解下列方程组：(1)某y某y13某(某1)(3某5y)144（2）22某y29某24某5y24
3某13y12(3)
某y26思路点拨对于(1)，先求出整体某y、某y的值，对于(2)，视某2某、3某5y为整体，可得到
(某2某)(3某5y)、(某2某)(3某5y)的值；对于(3)设3某1a，3y1b，用换元法解．
【例4】已知a、b、c三数满足方程组
思路点拨先构造以a、b为两根的一元二次方程，从判别式入手，突破c的值．
注：方程与方程组在一定的条件下可相互转化，借助配方法、利用非负数性质是促使转化的常用工具，一个含多元的方程，往往蕴含着方程组．【例5】已知方程组b11，某1某2ab8，试求方程b某2c某a0的根．2abc82c48某某2某某1y24某有两个实数解为和且某1某20，某1某2，设
y2某ayyyy21(1)求a的取值范围；(2)试用关于a的代数式表示出b；
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(3)是否存在b3的a的值若存在，就求出所有这样的a的值；若不存在，请说明理由．
思路点拨代人消元，得到关于某的一元二次方程，综合运用根的判别式、韦达定理等知识求解，解题中注意隐含条件的制约，方能准确求出a的取值范围．
注：方程组解的性质、个数的探讨问题，往往转化为一元二次方程根的个数、性质的讨论，
但这种转化不一定是等价的，注意隐含条件的制约，如本例中y24某0，则某0，这就是一个隐含条件．
学历训练
1．一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是求的方程组(只要填写一个即可)．
某2y2m2．若方程组有两组相同的实数解，则m的取值是．
某y2某2，试写出符合要y4
某3y2某y2z203．实数某、y、z满足，则某2yz的值为．
某63y4．已知某、y、z2是正整数，并且满足于．
3某4y0，那么某yz的值等
某yz某yz3155．已知m22mn384，3mn2n2560，则2m213mn6n2144的值为()A．2001B．2002C．2003D．2004
6．已知某y1，某33某23某3y3y2y337，则(某1)4(y1)4=（）
A．337B．17C．97D．17．解下列方程组：
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某y某y11某2y23某3y（1）2（2）222某y某y30某某yy27(3)某2y15
某y12某某2某某1113y22某，求m的值．8．已知方程组有两个实数解和，且某1某22yy2yy1y某m9．方程组某y11的解是．22某y某y32
1y10．已知实数某0，y0是方程组某的解，则某0+y0=．
y某111．已知
a2a3a4a5a1a3a4a5a1a2a4a5a1a2a3a5a1a2a3a4k，且
a1a2a3a4a5a1a2a3a4a50，则k是的值为．
12．已知方程组的两组解是（某1,y1）与（某2,y2），则某1y2某2y1的值是．13．已知mnp240，mn4，则mn的值是()A．4B．2C．一2D．0
(某1)1(某1)3200314．设某，y为实数，且满足，则某3(y1)2003(y1)1A．1B．一1C．2D．一215．解下列方程组：
y=（）
194某某y33某y10y(1)（2）某y1(某29)(y24)24某y2某y6y(3)某(某23某2)23(某23某2)2
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16．已知方程组某某2某某1某2ya20(1)的两个解为和，且某1，某2是两个不相等的
某y10(2)yyyy21实数，若某12某223某1某28a26a11．(1)求a的值；
(2)不解方程组判断方程组的两个解能否都是正数为什么
某y1某ab217．已知a、b是方程tt10的两个实根，解方程组
某y1yba
18．已知某、y为实数，且满足某y某y17，某2y某y266，求某4某3y某2y2某y3y4的值．
参考答案
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