奥数之工程问题
在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是 ——工作量=工作效率×时间，在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”。 工程问题方法总结：
一：基本数量关系： 工效×时间=工作总量 二：基本特点： 设工作总量为“1”，工效=1/时间
三：基本方法： 算术方法、整体思想、组合法、比例方法、方程方法、假设法 四：基本思想： 分做合想、合做分想。 五：类型与方法：
一：分做合想:1.合想,2.假设法,3.巧抓变化(比例),4.假设法。
二：按劳分配思路：每人每天工效→每人工作量→按比例分配
三：休息请假： 1.分想：划分工作量。2.假设法：假设不休息。3.方程法 四：周期工程
休息与周期： 已知条件的顺序：①先工效，再周期，②先周期，再天数。 1..天数：①近似天数，②准确天数。 2.列表确定工作天数。
交替与周期：估算周期，注意顺序！
注水与周期：1.顺序，2.池中原来是否有水，3.注满或溢出。 五：工效变化。
六：比例：1.分比与连比，2.归一思想，3.正反比例的运用，4.假设法思想(周期)。 七：牛吃草问题：1.新生草量，2.原有草量，3.解决问题。
1
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一、用“组合法”解工程问题
专题简析：
在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。 例题1。
一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的7
，乙队单独完成全部工程需要几天？ 30
1
【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是 ，只要求出甲队货乙队的工作效率，
15
则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来考虑，就可以711
求出甲队2天的工作量 － ×3＝ ，从而求出甲队的工作效率。所以
301530
171
1÷【 －（ － ×3）÷（5－3）】＝20（天）
153015 答：乙队单独完成全部工程需要20天。 边讲边练：
1、 师、徒二人合做一批零件，12天可以完成。师傅先做了3天，因事外出，由徒弟接
3
着做1天，共完成任务的 。如果这批零件由师傅单独做，多少天可以完成？
20
5
2、 某项工程，甲、乙合做1天完成全部工程的 。如果这项工程由甲队独做2天，再
24
13
由乙队独做3天，能完成全部工程的 。甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
24
3、 甲、乙两队合做，20天可完成一项工程。先由甲队独做8天，再由乙队独做12天，
2
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8
还剩这项工程的 。甲、乙两队独做各需几天完成？
15 例题2：
一项工程，甲队独做12天可以完成。甲队先做了3天，再由乙队做2天，则能完成1
这项工程的 。现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现两段所用时
2间相等。求两段一共用了几天？
111
【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是：（ － ×3）÷2＝ ；再由条件“做
2128
完后发现两段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。
（1） 乙队每天完成这项工程的 111
（ － ×3）÷2＝
2128（2） 两段时间一共是
11
1÷（ ×2+ ）×2＝6（天）
812
答：两段时间一共是6天。 边讲边练：
8
1、 一项工程，甲队独做15天完成。若甲队先做5天，乙队再做4天能完成这项工程的 。
15
现由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现，两段时间相等。这两段时间一共是几天？
2、 一项工程，甲、乙合做8天完成。如果先让甲独做6天，再由乙独做，完成任务时发
3
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现乙比甲多了3天。乙独做这项工程要几天完成？
3、 某工作，甲单独做要12天，乙单独做要18天，丙单独做要24天。这件工作先由甲做
了若干天，再由乙接着做；乙做的天数是甲3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙的2倍。终于完成了这一工作。问总共用了多少天？
例题3：移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽8小时完成，先由哥哥栽了3小时后，11
又由弟弟栽了1小时，还剩总棵数的 没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵。
16共要移栽西红柿苗多少棵？
【思路导航】把“哥哥先栽了3小时，弟弟又栽了1小时”组合成“哥、的合栽了1小时
后，哥哥又独做了2小时”，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。
哥哥每小时栽总数的几分之几 1113
（1－ － ×1）÷（3－1）＝
16832 一共要移栽的西红柿苗多少棵
313
7÷【 －（ － ）】＝112（棵）
32832 答：共要移栽西红柿苗112棵。 边讲边练：
1、 加工一批机器零件，师、徒合做12小时可以完成。先由师傅加工8小时，接着再由
3
徒弟加工6小时，共加工了这批零件的 。已知师傅每小时比徒弟多做10个零件。
5这批零件共有多少个？
4
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2、 修一条公路，甲、乙两队合做6天可以完成。先由甲队修5天，再由乙队修3天，
3
还剩这条公路的 没有修。已知甲队每天比乙队多修20米。这条公路全长多少米？
10
3、 修一段公路，甲队独修要40天，乙队独修要用24天。两队同时从两端开工，结果
在距中点750米处相遇。这段公路全长多少米？ 例题4：
一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时后，乙、丙合做22
小时，可以完成这项工作的 ；如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，也可以完成这项
32
工作的 。如果由甲、丙合做，需几小时完成？
3
2
【思路导航】将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的 ”组
3
2
合成“甲工作4小时，甲、乙、丙合做2小时可以完成这项工作的 ”，则
3求出甲的工作效率。同理，运用“组合法”再求出丙的工作效率。
甲每小时完成这项工程的几分之几 211
（ － ×2）÷（6－2）＝
3612 丙每小时完成这项工程的几分之几 211
（ － ×3）÷（6－3）＝
3618
甲、 丙合做需完成的时间为： 111
1÷（ + ）＝7 （小时）
12185
5
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1
答：甲、丙合做完成需要7 小时。
5
边讲边练：
1、 一项工作，甲、乙、丙三人合做，4小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、丙合做
13
2小时，可以完成这项工作的 ；如果甲、乙合做2小时后，丙再做4小时，可以
1811
完成这项工作的 。这项工作如果由甲、丙合做需几小时完成？
18
2、 一项工程，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。现在先由甲、乙、
丙合做3天后，余下的乙再做6天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可以完成？
3、 一项工程，甲、乙两队合做10天完成，乙、丙两队合做8天完成。现在甲、乙、丙
1
三队合做4天后，余下的工程由乙队独做5 天完成。乙队单独做这项工程需多少天
2可以完成？
4、 一件工作，甲、乙合做4小时完成，乙、丙合做5小时完成。现在由甲、丙合做2
小时后，余下的由乙6小时完成。乙独做这件工作需几小时才能完成？
例题5：一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条
6
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公路，几天可以完成？
【思路导航】将条件“先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成”
组合成“甲、乙两队各修（4+7）＝11天后，再由丙队单独修了7天才全部完成。”就可以求出丙队的工作效率。
丙队每天修这条公路的
111
【1－（ + ）】×（4+7）＝
243040 三队合修完成时间为
111
1÷（ + + ）＝10（天）
243040 答：10天可以完成。 边讲边练：
1、 一件工作，甲单独做12小时完成。现在甲、乙合做4小时后，乙又用6小时才完成。
这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？
2、 一条水渠，甲队独挖120天完成，乙队独挖40天完成。现在两队合挖8天，剩下的
由丙队加入一起挖，又用12天挖完。这条水渠由丙队单独挖，多少天可以完成？
3、 一件工作，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。如果甲、丙合做
3天后，由乙单独做，还要9天才能完成。如果全部工作由3人合做，需几天可以完成？
4、 一项工程，甲、乙两队合做30天完成，甲队单独做24天后，乙队加入，两队又合
做了12天。这时甲队调走，乙队又继续做了15天才完成。甲队独做这项工程需要多少天？
7
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二、特殊工程问题
专题简析：
有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。
例1：修一条路，甲队每天修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。两队合作，每天工作6小时，几天可以完成？
把前两个条件综合为“甲队40小时完成”，后两个条件综合为“乙队60小时完成”。则
11
1÷[ + ]÷6=4（天）
5×810×6 或1÷[（
11 + ）×6]=4（天） 5×810×6
答：4天可以完成。 边讲边练：
1、 修一条路，甲队每天修6小时，4天可以完成；乙队每天修8小时，5天可以完成。
现在让甲、乙两队合修，要求2天完成，每天应修几小时？
2、 一项工作，甲组3人8天能完成，乙组4人7天也能完成。现在由甲组2人和乙组7
人合作，多少天可以完成？
3、 货场上有一堆沙子，如果用3辆卡车4天可以完成，用4辆马车5天可以运完，用
20辆小板车6天可以运完。现在用2辆卡车、3辆马车和7辆小板车共同运两天后，全改用小 板车运，必须在两天内运完。问：后两天需要多少辆小板车？
8
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例2：
有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？
设搬运一个仓库的货物的工作量为“1”。总整体上看，相当于三人共同完成工作量“2”
① 三人同时搬运了
111
2÷（ + + ）=8（小时）
101215② 丙帮甲搬了
11
（1- ×8）÷ =3（小时）
1015③ 丙帮乙搬了 8-3=5（小时）
答：丙帮甲搬了3小时，帮乙搬了5小时。 边讲边练：
1
1、 师、徒两人加工相同数量的零件，师傅每小时加工自己任务的 ，徒弟每小时加工
10
1
自己任务的 。师、徒同时开始加工。师傅完成任务后立即帮助徒弟加工，直至完
15成任务，师傅帮徒弟加工了几小时？
2、 有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要18小时，乙需要12小时，
丙需要9小时。甲、乙在A仓库，丙在B仓库，同时开始搬运。中途甲又转向帮助丙搬运。最后，两个仓库同时搬完。甲帮助乙、丙各多少小时？
9
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5
3、 甲、乙两人同时加工一批零件，完成任务时，甲做了全部零件的 ，乙每小时加工
8
12个零件，甲单独加工这批零件要12小时，这批零件有多少个？
例3：一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用了14天。这件工作由甲先做了几天？ 解法一：根据两人做的工作量的和等于单位“1”列方程解答，很容易理解。
解：设甲做了x天，则乙做了（14-x）天。 11
x+ ×（14-x）=1
2012 X=5
11
解法二：假设这14天都由乙来做，那么完成的工作量就是 ×14，比总工作量多了 ×
1212
11111
14-1= ，乙每天的能够做量比甲每天的工作两哦了 - = ，因此甲做了
612203061
÷ =5（天） 30
练习3：
1、 一项工程，甲独做12天完成，乙独做4天完成。若甲先做若干天后，由乙接着做余
下的工程，直至完成全部任务，这样前后共用了6天，甲先做了几天？
2、 一项工程，甲队单独做需30天完成，乙队单独做需40天完成。甲队单独做若干天后，
由乙队接着做，共用35天完成了任务。甲、乙两队各做了多少天？
3、 一项工程，甲独做要50天，乙独做要75天，现在由甲、乙合作，中间乙休息几天，
这样共用40天完成。求乙休息的天数。
10
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例4：甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。中途甲因事停工3天，因此，两人共用了10天才完成。如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？
解法一：先求出乙的工作效率，再求出甲的工作效率。最后求出甲单独做需要的天数。
17
① 甲、乙同时做的工作量为 ×（10-3）＝
8871
② 乙单独做的工作量为1－ ＝
8811
③ 乙的工作效率为 ÷3=
824111
④ 甲的工作效率为 － ＝ 82412
1
⑤ 甲单独做需要的天数为1÷ ＝12（天）
12
解法二：从题中得知，由于甲停工3天，致使甲、乙两人多做了（10-8=）2天。由此可知，
甲3天的工作量相当于这批零件的2÷8=1/4 3÷[（10-8）÷8]=12（天）或 3×[8÷（10-8）]=12（天）
答：甲单独做需要12天完成。
练习4：
1、 甲、乙两人合作某项工程需要12天。在合作中，甲因输请假5天，因此共用15天才
完工。如果全部工程由甲单独去干，需要多少天才能完成？
2、 一段布，可以做30件上衣，也可做48条裤子。如果先做20件上衣后，还可以做多
少条裤子？
11
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3、 一项工程，甲、乙合作6小时可以完成，同时开工，中途甲通工了2.5小时，因此，
经过7.5小时才完工。如果这项工程由甲单独做需要多少小时？
4、 一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合作7天，这样才完成全工程的一半，已知甲、
乙工作效率的比是3：2，如果这件工作由乙单独做，需要多少天才能完成？
例5：放满一个水池的水，如果同时开放①②③号阀门，15小时放满；如果同时开放①③⑤号阀门，12小时可以放满；如果同时开放②④⑤号阀门，8小时可以放满。问：同时开放这五个阀门几小时可以放满这个水池？
从整体入手，比较条件中各个阀门出现的次数可知，①③号阀门各出现3次，②11111
④⑤号阀门各出现2次。如果 + + + 再加一个 ，则是五个阀门各放3小时
15101288的总水量。
111111
1÷[（ + + + + ）÷3]=1÷[ ÷3]=6（小时）
151012882
边讲边练：
1、 完成一件工作，甲、乙合作需15小时，乙、丙两人合作需12小时，甲、丙合作
需10小时。甲、乙丙三人合作需几小时才能完成？
11
2、 一项工程，甲干3天，乙干5天可以完成 ，甲干5天、乙干3天可完成 。甲、
23
乙合干需几天完成？
3、 完成一件工作，甲、乙两人合作需20小时，乙、丙两人合作需28小时，丙、丁
12
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两人合作需30小时。甲、丁两人合作需几小时？
4、 一项工程，由一、二、三小队合干需18天完成，由二、三、四小队合干需15天
完成，由一、二、四小队合干需12天完成，由一、三、四小队合干需20天完成。由第一小队单独干需要多少天？
三、 周期工程问题
专题简析：
周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。解答时，首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。
例1：一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？
把2小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。 1136
① 需循环的次数为：1÷（ + ）= ＞7（次）
12185111
② 7个循环后剩下的工作量是：1-（ + ）×7= 121836111
③ 余下的工作两还需甲做的时间为： ÷ = （小时）
36123
13
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11
④ 完成任务共用的时间为：2×7+ =14 （小时）
331
答：完成任务时需共用14 小时。
3边讲边练：
1、 一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成。如果按甲、乙；甲、乙……
的顺序交替工作，每次1小时，需要多少小时才能完成？
2、 一部书稿，甲单独打字要14小时，乙单独打字要20小时。如果先由甲打1小时，然
后由乙接替甲打1小时；再由甲接替乙打1小时……两人如此交替工作，打完这部书稿共需用多少小时？
3、 一项工作，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时。如果按照甲、乙；甲、乙……
的顺序轮流工作，每人每次工作1小时，完成这项工程的2/3共要多少时间？
2
例2：一项工程，甲、乙合作26 天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流
3做，恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能完成？
由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：
甲乙甲乙……甲乙 甲
14
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1
乙甲乙甲……乙甲 乙 甲
2
竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，乙做一天等于甲做半天，即甲的工作效率是乙的2倍。
221
① 甲每天能做这项工程的1÷26 × =
31+2401
② 甲单独做完成的时间1÷ =40（天）
40答：这项工程由甲单独做需要40天才能完成。 边讲边练：
1、 一项工程，乙单独做20天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，
也恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲独做几天可以完成？
2、 一项工程，甲单独做6天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，
恰好也用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流1
做要多 天才能完成。这项工程由甲、乙合作合作几天可以完成？
3
3
3、 一项工程，甲、乙合作12 小时可以完成。如果第一小时甲做，第二小时乙做，这样
5
轮流交替做，也恰好用整数小时完成。如果第一小时乙做，第二小时甲做，这样轮流1
交替做，比上次轮流做要多 小时才能完成。这项工程由甲独做几小时可以完成？
3
15
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4、 蓄水池有一跟进水管和一跟排水管。单开进水管5小时灌满一池水，单开排水管3小
时排完一池水。现在池内有半池水，如果按进水、排水；进水、排水……的顺序轮流依次各开1小时，多少小时后水池的水刚好排完？
例3：一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天数完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5：3。甲、乙每天各做多少个？
由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：
甲乙甲乙……甲乙 甲 乙甲乙甲……乙甲 乙剩60个
竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，剩下的60个零件就是甲、乙工作效率的差。
甲每天做的个数为：60÷（5-3）×5=150（个）
乙每天做的个数为：60÷（5-3）×3=90（个） 答：甲每天做150个，乙每天做90个。 边讲边练：
1、 一批零件如果第一天师傅做，第二天徒弟做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。
如果第一天徒弟做，第二天师傅做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩84个不能完成。已知师、徒工作效率的比是7：4。师、徒二人每天各做多少个？
16
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2、 一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流恰好用整数天完成。如果死
2
一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做要多 天才能完成。如果让甲、乙二人合作，
55
只需2 天就可以完成。现在，由乙独做需要几天才能完成？
8
3、 红星机械厂有1080个零件需要加工。如果第一小时让师傅做，第二小时让徒弟做，这
样交替轮流，恰好整数小时可以完成。如果第一小时让徒弟做，第二小时让师傅做，这样交替轮流，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。如果让师、徒二人合作，只需3小时36分就能完成。师、徒每小时各能完成多少个？
例4：打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作。甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时……如此这样交替下去，打印这部书稿共要多少小时？
根据已知条件，我们可以把6小时的工作时间看做一个循环。在每一个循环中，甲、乙都工作了3小时。
119
① 每循环一次，他们共完成全部工程的（ + ）×3＝
121520
17
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92
② 总工作量里包含几个9/20：1÷ =2
209
91
③ 甲、乙工作两个循环后，剩下全工程的1- ×2＝ 2010
111
④ 由于 ＞ ，所以，求甲工作1小时后剩下的工作由乙完成还需的时间为（ 101210
111- ）÷ ＝ 12154
11
⑤ 打印这部稿件共需的时间为：6×2+1+ =13 （小时）
441
答：打印这部稿件共需13 小时。
4 边讲边练：
1、 一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管，24分钟能包空池灌满；单开乙管，18
分钟能把空池灌满。现在，甲、乙两管轮流开放，按照甲1分钟，乙2分钟，甲2分钟，乙1分钟，甲1分钟，乙2分钟……如此交替下去，灌满一池水共需几分钟？
2、 一件工作，甲单独做，需12小时完成；乙单独做需15小时完成。现在，甲、乙两人
轮流工作，甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时……如此交替下去，完成这件工作共需多少小时？
3、 一项工程，甲单独做要50天完工，乙单独做需60天完工。现在，自某年的3月2日
两人一起开工，甲每工作3天则休息1天，乙每工作5天则休息一天，完成全部工程的
18
52
为几月几日？ 75
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4、 一项工程，甲工程队单独做完要150天，乙工程队单独做完需180天。两队合作时，
甲队做5天，休息2天，乙队做6天，休息1天。完成这项工程要多少天？
例5：有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用0.5天；如果按丙、甲、1
乙次序做，比原计划多用 天。已知甲单独做13天完成。且3个工程队的工效各不相同。
3这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？
由题意可以推出：按甲、乙、丙次序轮做，能够的天数必定是3的倍数余1或余2。如果是3的倍数，三种轮流方式完工的天数，必定相同。如果按甲、乙、丙的次序轮流做，用的天数是3的倍数余1。三种轮流方式做的情况可表示如下：
甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙， 甲 1
乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲， 乙 丙
21
丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙， 丙 甲
3
21212
从中可以退出：丙= 甲；由于乙=甲－ 丙=甲－ 甲× ，又推出乙= 甲；与题中
32323“三个工程队的工效各不相同”矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序轮做，用的天数必定是3的倍数余2。三种轮流方式用的天数必定如下所示：
甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙， 甲乙 1
乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲， 乙丙 甲
21
丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙， 丙甲 乙
312
由此推出：丙= 甲，丙= 乙
23
19
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111
① 丙队每天做这项工程的 × = 13226123
② 乙队每天做这项工程的 ÷ = 26352
1137
③ 甲、乙、丙合作完工需要的时间为1÷（ + + ）=5 （天）
13265297
答：甲、乙、丙合作要5 天完工。
9边讲边练：
1、 有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数天
1
完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用 天；如果按丙、甲、乙次序
31
做，比原计划多用 天。已知甲单独做7天完成。且3个工程队的工效各不相同。这
4项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？
2、 有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完
1
成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用 天；如果按丙、甲、乙次序做，
21
比原计划多用 天。已知甲单独做10天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工
2程由甲、乙、丙合作要多少天完工？
3、 有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰
1
好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用 天；如果按丙、甲、
21
乙次序做，比原计划多用 天。已知这项工程由甲、乙、丙三个工程队同时合作，需
3
20
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7
13 天可以完成，且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲独做需要多少天才能9完成？
4、 蓄水池装有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一池水，单开甲管需要3
小时，单开丙管需要5小时。要排光一池水，单开乙管要4小时，单开丁管要6小时。1
现知池内有 池水，如果按甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁……的顺序轮流各开1
6小时，多长时间后水开始溢出水池？
四、比例解工程
五、工资分配、最优配置型
例题1：甲乙丙三人合修一段围墙。甲乙合修6天修好围墙的围墙的
1，乙丙合修两天修好剩下31，剩下的三人又合修了5天才完成。三个人共得工资3600元，这三个人分别应4分得多少元？
21
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边讲边练：建造一幢楼房，先要挖好地基，甲乙两个工程队在招标会上承诺：甲工程队15天完成，乙工程队12天完成。由于乙工程队承诺的天数较少，就让乙工程队施工，施工3天后，承建商感到时间还是慢，就又请乙工程队来参加，直到完工。承建商共支出360000元。合理分配，甲乙两个工程队各应领取多少元？
例题2：甲乙两人合干AB两项任务，甲独做A工程需9天，B工程需12天，乙独做A工程需3天，B工程需15天。至少几天能完成任务？
边讲边练：有甲乙两个工程，张三单独做完甲工程需要12天，单独做完乙工程需要15天，李四单独做完甲工程需要8天，单独做完乙工程需要20天。张三李四二人共同完成这两个工程最少需要多少天？
例3：一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天。如果两人合作，由于相互干扰，工作效率就会降低，甲只能完成原来的
49，乙只能完成原来的。现在要8天完成这项工程，510两人合作天数尽可能少，那么两人合作要多少天？
22
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六、工程问题的知识迁移与综合
打扫卫生，整理图书馆，手机充电，蜡烛燃烧……都可以看作工程问题处理
例题1、（一中）小明的妈妈给小明买了一个智能手机，这个手机插上充电器从没有电到充满电需2个小时，在非充电状态下持续玩游戏，该充满电的手机可以工作6个小时。有一天小明打开手机准备玩游戏，发现手机提示仅剩10%的电了。于是小明插上充电器开始一边玩一边充电，玩了1个小时后，小明关上手机去学习了，问继续充电多少分钟才能将手机充满电？
例题2：（2015西分）一批零件，甲单独做24小时完成，乙单独做30小时完成。现在两人合作，为了提高工作进度，两人的工作效率各提高
11。当完成任务的时，因为其他工35作的影响，使得每小时少做21个零件，结果共用了12小时完成。则整个任务共有零件多
少个？
边讲边练：1、甲乙两辆清洁车执行东西两成之间的公路清扫任务。甲车单独清扫要10小时，乙车单独清扫要15小时，两车同时从东西两城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米，问东西两城相距多少千米？
23
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一、答案：
31
练1 1÷【（ － ）÷（3－1）】＝30天
2012
135
乙：1÷【（ － ×2）÷（3－2）】＝8天
2424131
甲：1÷（ － ）＝12天
248
81
乙：1÷【（1－ － ×8）÷（12－8）】＝60天
152011
甲：1÷（ － ）＝30天
2060
811
练2 乙队的工作效率：（ － ×5）÷4＝
151520
11
总共的天数：1÷（ + ×2）×2＝12天
15201
1÷【（1－ ×6）÷3】＝12天
8
111
甲做的天数：1÷（ + ×3+ ×3×2）＝2天
121824总共的天数：2+2×3+2×3×2＝20天
311
练3 师傅每小时做这批零件的（ － ×6）÷（8－6）＝ 51220
111
这批零件共有10÷【 －（ － ）】＝600个
201220311
甲队每天修这条公路的（1－ － ×3）÷（5－3）＝
10610111
这条公路全长多少米 20÷【 －（ － ）】＝600米
1061011
甲、乙两队工作效率的比是： ： ＝3：5
402413
这段公路的全长 750÷（ － ）＝6000米
23+5或 750×2÷（5－3）×（5+3）＝6000 米
1311
练41、甲队的工作效率（ － ×2）÷（4－2）＝ 1849
1111
丙队的工作效率（ － ×2）÷（4－2）＝
1841811
甲、丙合做需要的时间1÷（ + ）＝6小时
918
1、
2、
1、
2、
1、
2、
24
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111
2、 乙队每天能做全工程的【1－（ ×3－ ×3）】÷（6－3）＝
61015
1
＝15天 15
乙队独做这项工程需要的时间1÷
1111
3． 乙队每天能做全工程的【1－（ ×4－ ×4）】÷（5 －4）＝
1082151
乙队单独做这项工程需要的时间1÷ ＝15天
15
111
乙队的工作效率【1－（ ×2+ ×2）】÷（6－2－2）＝
45201
乙独做这件工作需要的时间1÷ ＝20小时
20
11
练5 1、乙每小时做这件工程的（1－ ×4）÷（6+4）＝
1215
112
甲、乙合做完成需要的时间1÷（ + ）＝6 小时
12153
112
2、 甲、乙两队完成的工作量（ + ）×（8+2）＝
1204032
丙队单独挖需要的时间1÷【（1－ ）÷12】＝36天
3111
3． 乙的工作效率【1－（ ×3+ ×3）】÷（9－3－3）＝ 61015111
丙的工作效率 － ＝
101530
11
三人合做需要的时间1÷（ + ）＝5天
610
11
甲队的工作效率【1－ ×（12+15）】÷（24－15）＝
3090
3、
3、
1
甲队单独做需要的时间1÷ ＝90天
90
二、答案：
11
练1 1÷（ + ）÷2＝7.5小时
4×68×5
11
1÷（ ×2+ ×7）＝3天
3×84×7（1）共同运两天后，还剩这堆黄沙的
1、 2、
1111
1－（ ×2+ ×5+ ×7）×2＝ 3×44×520×64
25
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11
（2）后两天需要小板车： ÷（ ×2）＝15辆
420×6练2 2÷（11
10 +15
）－10＝2小时
1、
2÷（118 +112 +1
9
）＝8小时
甲帮乙：（1－112 ×8）÷1
18 ＝6小时
甲帮丙：（1－19 ×8）÷1
18
＝2小时
2、
解法一：12×（58 ÷112 ）÷（1－5
8 ）＝240个
解法二：12÷（8－5）×5×12＝240个 练3 1、（111
4 ×6－1）÷（4 －12
）＝3天
1、
甲：（1－140 ×35）÷（130 －1
40 ）＝15天
乙：35－15＝20天
2、
40－（1－150 ×40）÷1
75
＝25天
练4 1、5×【12÷（15－12）】＝20天 1、 48－48÷30×20＝16条
2、
2.5×【6÷（7.5－6）】＝10小时
练5 1÷【（111
15 +12 +10
）÷2】＝8小时
1、
1÷【（12 +1
3 ）÷（3+5）】＝9.6天
2、
1÷（111
20 +30 －28
）＝21小时
3、
1÷【（118 +115 +112 +120 ）÷3－1
15
】＝54天
三、答案： 练1 1、
（1）需循环的次数
1÷（1115
6 +10 ）＝4
＞3
26
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（2）3个循环后剩下的工作量 1－（16 +110 ）×3＝1
5 （3）最后由乙做的时间
（15 －111
6 ）÷10 ＝3 小时
（4）需要的总时间 2×3+1+13 ＝71
3 小时
2、
（1）需循环的次数
1÷（11140
14 +20 ）＝17 ＞8
（2）3个循环后剩下的工作量 1－（114 +120 ）×8＝4
140
（3）最后由乙做的时间 4140 ÷114 ＝2
5 小时
（4）需要的总时间 2×8+25 ＝162
5 小时
3、
（1）需循环的次数
21124
3 ÷（9 +12 ）＝7 ＞3
（2）3个循环后剩下的工作量 2111
3 －（9 +12 ）×3＝12 （3）最后由乙做的时间 112 ÷19 ＝3
4 小时
（4）需要的总时间 2×3+34 ＝63
4 小时
练2 1、
提示：甲的效率是乙的2倍
20÷2＝10天 2、
提示：乙的效率是甲的2
3
1÷【1113
6 ×（1－3 ）+6 】＝35
天 27
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3、
提示：乙的效率是甲的2
3
1÷（1÷1235 ×3
3－1+3 ）＝21小时
4、
（1）需几个周期
1112 ÷（3 －5 ）×3＝15
4 ＞3
（2）3个周期后剩下的水 12 －（13 －15 ）×3＝1
10 （3）需要的时间
2×3+1+（1119
10 +5 ）÷3 ＝710 小时
练3 1、
师傅：84÷（7－4）×7＝196个
徒弟：84÷（7－4）×4＝112个 2、 提示：乙的效率是甲的（1－23
5 ）＝5 1÷（1÷258 ×3
5－2+5 ）＝7天
3、 3小时36分＝33
5
小时
师、徒效率和：1080÷33
5 ＝300个
师傅每小时的个数：（300+60）÷2＝180个 徒弟每小时的个数：（300－60）÷2＝120个 练4 1、
提示：把6分钟看作一个循环 （1）
每循环一次的工作量 （
1124 +18 ）×（1+2）＝724
（2）
总工作量里面有几个724
1÷724 ＝33
7
（3）
3个循环后剩下的工作量
1－724 ×3＝1
8
（4）
一共需要的时间
28
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1111
6×3+1+（ － ）÷ ＝20 分钟
8241822、
提示：把6分钟看作一个循环 （1）
1个循环的工作量 （
119 + ）×（1+2）＝ 121520
（2）
9总工作量里面有几个
20
92
1÷ ＝2 209
（3）
3个循环后剩下的工作量
91
1－ ×2＝ 2010（4）
一共需要的时间
111
6×2+ ÷ ＝13 小时
10125
11
说明：2个循环后，是由甲接着干2小时，所以直接用 ÷
10123、
提示：把12天看作一个循环
12天中甲的工作量 19
×（3+3+3）＝
5050 12天中乙的工作量 11
×（5+5）＝
606
总共需要的天数
5291
÷（ + ）＝2
75506 （12天减去最后休息的1天） 12×2－1＝23天
52
完成全部任务的 为3月24日。
754、
提示：把7天看作一个周期
22
1÷（ ×5+ ×6）＝15
33 7×15－1＝104天 练5
2
1、 提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余2，否则与题意不符。由此推出丙的效率是甲的 ，
3
29
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3
丙的效率也是乙的 。
4
122
丙的工作效率 × ＝ 7321238
乙的工作效率 ÷ ＝ 21463
12817
甲、乙、丙三队合做的天数1÷（ + + ）＝2 天
7216323
（1）
（2）
（3） 2、
提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余1，否则与题意矛盾。由此可以推出丙的效率是甲的13
，乙的效率是甲的 。 24
111
丙的效率 × ＝
10220
1113
乙的效率 ×（1－ × ）＝ 102240
1134
甲、乙、丙三队合做的天数1÷（ + + ）＝4 天
1020409
（1）
（2）
（3）
3、
122
由题意可以推出，丙的效率是甲的 ＝ ，丙的效率是乙的 ，进而推出甲、乙、丙工作效率的比是4：3：2。
243
74
1÷（1÷13 × ）＝31天
94+3+2
2
提示：每四个水管轮流打开后，水池中的水不能超过 ，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出。
3
2
水池里的水超过 时需要几个循环
3
4、
（1）
21111130
（ － ）÷（ － + － ）＝ ＞4
3634567
（2）
循环5次以后，池中水占
111113
+（ － + － ）×5＝ 634564（3）
总共需要的时间
133
4×5+（1－ ）÷ ＝20 小时 434
30
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