第2章 对称图形——圆
2.2 第2课时 圆的轴对称性
知识点 1 圆的轴对称性
1．圆是轴对称图形，____________都是它的对称轴，因此圆有________条对称轴． 知识点 2 垂径定理 2．如图2－2－12，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论中不一定正确的是( ) A．CE＝DE B．AE＝OE ︵︵
C.BC＝BD D．△OCE≌△ODE
3．在⊙O中，非直径的弦AB＝8 cm，OC⊥AB于点C，则AC的长为( ) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
图2－2－12
图2－2－13
4．教材习题2.2第5题变式如图2－2－13，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D.若⊙O的半径为5，AB＝8，则CD的长是( )
A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图2－2－14，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为( ) A．2 B．4 C．6 D．8
图2－2－14
图2－2－15
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6．如图2－2－15，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点．若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为________．
7．[2017·长沙] 如图2－2－16，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为________．
图2－2－16
图2－2－17
8．如图2－2－17是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A，B，外圆半径OC⊥AB于点D交外圆于点C.测得CD＝10 cm，AB＝60 cm，则这个车轮的外圆半径是________cm.
9．[2016秋·盐都区月考] 已知：如图2－2－18，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3.
(1)求⊙O的半径；
(2)若P是AB上的一动点，试求OP的最大值和最小值．
图2－2－18
10．如图2－2－19，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D.
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(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．
图2－2－19
图2－2－20
11．如图2－2－20，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为D.要使四边形OACB为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是( )
A．AD＝BD B．OD＝CD
C．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB
12．如图2－2－21，AB是⊙O的弦，AB的长为8，P是⊙O上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为________．
图2－2－21
图2－2－22
13．[2017·遵义] 如图2－2－22，AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为________．
14．已知：如图2－2－23，∠PAQ＝30°，在边AP上顺次截取AB＝3 cm，BC＝10 cm，教育学习+K12
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以BC为直径作⊙O交射线AQ于E，F两点，求：
(1)圆心O到AQ的距离； (2)线段EF的长．
图2－2－23
15．如图2－2－24，某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度AB为7.2 m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4 m．现有一艘宽3 m、船舱顶部为方形并高出水面2 m的货船要经过拱桥，则此货船能否顺利通过这座拱桥？
图2－2－24
16．如图2－2－25，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，试求PA＋PC的最小值．
图2－2－25
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详解详析
1．过圆心的任意一条直线 无数 2．B 3.B 4.A
5．D [解析] ∵CE＝2，DE＝8， ∴CD＝10，∴OB＝OC＝5，∴OE＝3.
∵AB⊥CD，∴在Rt△OBE中，BE＝OB－OE＝4，∴AB＝2BE＝8.故选D. 6．4
2
2
7．5 [解析] 如图，连接OC.设OC＝x.∵CD⊥AB，AB为⊙O的直径，∴CE＝DE＝3.在Rt△OCE中，OC2＝OE2＋CE2，即x2＝(x－1)2＋32，解得x＝5，故⊙O的半径为5.
8．50
9．解：(1)如图，连接AO，过点O作OD⊥AB于点D.
∵弦AB的长为8， ∴AD＝4.
∵圆心O到AB的距离为3， ∴DO＝3，
∴AO＝AD＋DO＝4＋3＝5， ∴⊙O的半径是5.
(2)∵P是AB上的一动点，
∴OP的最大值是5，最小值是3.
10．解：(1)证明：过点O作OE⊥AB于点E，则CE＝DE，AE＝BE， ∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.
(2)由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD.连接OC，OA.
∵OE＝6，∴CE＝OC－OE＝2 7，AE＝OA－OE＝8， ∴AC＝AE－CE＝8－2 7. 11．B
12．4 [解析] ∵OC⊥AP，OD⊥PB， ∴由垂径定理，得AC＝PC，PD＝BD， ∴CD是△APB的中位线， 11
∴CD＝AB＝×8＝4.
22
13.14
14．解：(1)过点O作OH⊥EF，垂足为H. ∵OH⊥EF，∴∠AHO＝90°. 教育学习+K12
22222
2
2
2
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在Rt△AOH中，
1
∵∠AHO＝90°，∠PAQ＝30°，∴OH＝AO. 2∵BC＝10 cm，∴BO＝5 cm. ∵AO＝AB＋BO，AB＝3 cm， ∴AO＝3＋5＝8(cm)，
∴OH＝4 cm，即圆心O到AQ的距离为4 cm. (2)连接OE.在Rt△EOH中，
222
∵∠EHO＝90°，∴EH＋OH＝EO. ∵EO＝BO＝5 cm，OH＝4 cm， ∴EH＝EO－OH＝5－4＝3(cm)． ∵OH过圆心O，OH⊥EF， ∴EF＝2EH＝6 cm.
15．解：如图，连接ON，OB. ∵OC⊥AB，∴D为AB的中点．
2
2
2
2
∵AB＝7.2 m， 1
∴BD＝AB＝3.6 m.
2
设OB＝OC＝ON＝r m，则OD＝(r－2.4)m.
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在Rt△BOD中，根据勾股定理，得r＝(r－2.4)＋3.6，解得r＝3.9， ∴OD＝r－2.4＝1.5(m)．
∵船宽3 m，根据垂径定理，得EN＝DF＝1.5 m，
∴OE＝ON－EN＝3.9－1.5＝3.6(m)， ∴FN＝DE＝OE－OD＝2.1 m＞2 m， ∴此货船能顺利通过这座拱桥．
16．解：如图，连接BC，OB，OC，当点P位于BC与MN的交点处时，PA＋PC的值最小，为BC的长度，过点C作CH⊥AB于点H.
2
2
2
2
11
根据垂径定理，得BE＝AB＝4，CF＝CD＝3，
22∴OE＝OB－BE＝5－4＝3，
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OF＝OC－CF＝5－3＝4， ∴CH＝EF＝OE＋OF＝3＋4＝7， BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝4＋3＝7.
在Rt△BCH中，根据勾股定理，得BC＝7 2， 则PA＋PC的最小值为7 2. 教育学习+K12
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