CD 。若弦1)过椭圆 22
xab
2 y2
1的右焦点 F(c,0)作两条互相垂直的弦 AB ，CD 。若弦 AB，CD 2
的中点分别为 M ， N ，那么直线 MN 恒过定点 (
a c2
2
,0) 。
22a
b
(2)过椭圆 22
xy2 ab
2
1的长轴上任意一点 S(s,0)( a s a) 作两条互相垂直的弦 AB ， 2
as CD。若弦 AB ， CD的中点分别为 M ， N ，那么直线 MN 恒过定点2,0) ( 。2
2a
2b
1
设 AB 的直线为 x my s ，则 CD 的直线方程为 x y s ， m
x my s
2222222(mb a)y 22bmsy b (s a ) 0，
22bx
222a4a 2y ab 0
2 2 2
2
b2
(m2
b2
a2
2
1 2 2 2 ，
s ) 0
， 2msb
2 y
1 y
m b a
y1 y1 a (s a )
2 2 2
222mb a
2 2 由中点公式得 msb
( 2 2 2 as
, 2 2 2 ) ， m b a m b
M
a
m
sm
22 a 2 将 用 1
代msb 得到 N 的坐标
换， (
2 2 2 2 2 b2)
m
22222
ma b ma
2 2 2
2 MN b2sm (aa2(m22 b1) b2)m22 2)，令 y 0，得 x as as
2
a2 b 的直线方程为 m(xa
2
2 2 2 2 2 (x
y
b m a
a s
所以直线 MN 恒过定 ,0) 2 as 。 (
a2
2
点 b
22
3)过椭圆
x
2
y2 1的短轴上任意一T (0, t)( t t t)作两条互相垂直的弦
2 2ab
AB
2
AB ， CD M ，
N ，那么直线 MN 恒过定点 (0,
btb t2 2
) 。 ab 1
的中点分别为
x y s t 4)过椭圆 2 2 1内的任意一 点 Q(s,t)( 2 2 a b a 1)作两条互相垂直
b
N ，那么直线 MN 22 恒过定点 (2
a a
2 2 2 2
若弦 AB，CD 的中点分别为
sb
2
,22)。
b ta
b
设 AB 的直线为 x s m(y 则 CD 的直线方程
t)
1
x s (y t) ，
m
x
a)y 2b(ms mt)y b(s mt) ab 0 ， s
m(y t) 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2 2 2 2
， (m b
b x a y a b 0
y1 y1
2mb (s mt)
22mb
2 22
a
2
，由中点公式得 M(
22
mb
2a
2
ab
a2(s22222mba mt2)
,
mb2(m22 t 2s)
)
直MN 的方程线 为： 即y
bm(mt s) kMN (x
22bm
2m(s2 mat2)
a2
) ， b m a
22
as
22 22a b
2
2bt
k (x
MN
b t2 2
) ，所以直线 MN 恒过定点 (
2
2a
b
a s b t
2 2 )。 22a b
,2 222ba
2
3
重庆高 2018 级理科二诊 20(本题满分 12 分)
22
已知 F( 1,0)， F(1,0)是椭圆 1的左右焦点。( 2)过 F 作两条互相垂直的直
x y
1
2
2
1 2
4 3 2
线l1与l2(均不与 x轴重合)分别与椭圆交于 ABCD 四点。线段 AB ，CD的中点分别是 M ，
设直线 AB: y k(x 1) ，联立椭圆方程 3x 4y 12得：
2
2
(4k 3)x 8kx 4k 12 0 ，
2
2
2
2
x
M
1 8k 4k
2 4k 3 4k 3
2
2
2
2
1 8k
24k
2
k
2
N ，
x
4k2
22
3
4
2
y
N
1
3k 4
2
(x 1)
k
N
3k2
3k 4
2
由题意，若直线 BS关于 x轴对称后得到直线 BS ，则得到的直线 ST 与 ST关于 y轴对称，
所以若直线 ST 经过定点，则该定点一定是直线 ST 与ST 的交点，该点必在 x轴上。
设该定点坐标 (t,0) ，
yM
yN yM
t
t xM
x
N
xMyN yMxN ，代入 yyxN M M
M,N 坐标化简得
4
t ，所以过定点 (,0) 。
4
4
5
椭圆
xy 结论(一)以 (x0,y0) 为直角定点的1内接直角三角形的斜边必过定点 ab
22 2 2
2 2 2 2
a b b a ( 2 2 x0, 2 2 y0) a b b a
。
推论 1：以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在 y 轴上。
11
证明：设右顶点 P(0,b)，设 y kx b， y x b
k
y kx b
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 222bx
， (ak b)x 2abkx 0 ，
2
2
2
2
2
a2 y2 a2b2 0
22abk
22ak
x
1
b2
，将 k 换成 得： 2
2abk
22a
k
x
b2k2
由题意，若直线
BS ，则得到的直线 ST 与ST关于 x轴对称， BS 关于 y 轴对称后得到直线
所以若直线 ST 经过定点，则该定点一定是直线ST 与ST的交点，该点必在 y 轴上。
t y1 y2 y1 设该定点坐标 (0,t) ，
x
1
22
2b(b
y1x2 x1y2 t
(kx1 b)x2 x1( x2 b) k x2 x1
b(ba)
22 2
2 )
b2 a2
)
k 1
2
x
21
x
x
a2)
x
2 1
ba
22 ，所以过定点 (0,
推论 2：以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在
1
x 轴上 。
证明：设右顶点 P(a,0) ，设 x my a ， y x a
1
x my a
22
bx
a2 y2 a2b2 0
(bm a)y 2bamy 0 ，
2
2
2
2
2
y1
b2m2 a2 ，
y
2bam
2
，
将 m 换成
得：
1
2bam
2
y
2
2b a2m2
m
6
由题意，若直线 BS关于 x轴对称后得到直线 BS ，则得到的直线 ST 与ST关于 y轴对称，
所以若直线 ST 经过定点，则该定点一定是直线 ST 与ST 的交点，该点必在 x轴上。
y
1
y2 y1 x1y2 y1x2 1
(my1 a)y2 y1( y2 a)
(t,0) t x，
1 x2 x1
y2 y1
7
y2 y1
设该定点坐标 t
m 1
2
y2 y1
a(aa
2 bb2 )，所以过定点
a(a b)
2
2
y2 y1
面探求 ABP 面积的最大值：
a(a b ) 22 代入椭圆得： my ab
22
2 2 2 2 2
22
(bm
22
m
a
2
,0)
a)y 2b
2
a(a b)
2
2
2a
b2
my (a b)
2
2
2
444ab
4ab[(a b)m 4a] (a b)
2
4
2
2
2
4
2
2
2
1
([a
2
a(a b)
] y2 y1
2
2
2
2a
b
ab
(a
2a
2
2
2a
24222
2ab(ab)m22222b)abm 4a4
b
2
22bm
当且仅m 0 时等号成立取最大值。面m [0, ) 单调递减。 2 22
当 积在
结论 2：以 (x0,y0) 为直角定点的
y 2px 内接直角三角形的斜边必过抛物线
定点
，
4ab
2
4
，
2
(ab)
2
2
(x0 2p ， y0)
结论
3 ：以
(x,y) 为直角定点的双曲线
0
0
22
xy
1 内接直角三角形的斜边必过定点 ab
2 2
2 2 2 2 (
2 2 x0, 2 2 y0)
a b a b a b b a
重庆高 2018 级文科二诊20 (本题满分 12 分)
B 为椭圆的上顶点。
xy 已知 F( 1,0)， F2(1,0)是椭圆 1的左右焦点， 43
S，T 两点(异于点 B )，证明：直线 ST
22
1
(2)过点 B 作两条互相垂直的直线与椭圆交于 过定点，并求该定点的坐标。
2)解：设 S(x1,y1),T(x2,y2) ，直 线 BS:y kx 3，联立椭圆 方程得 ：
(4k 3)x 8 3kx 0，x1
2
2
84k2 3k3
x
2
4
83
k 8 3k 3k 4 2 3
，
2
3k
由题意，若直线 BS 关于 y 轴对称后得到直线B S ，则得到的直线 ST 与ST关于x轴对称， 所以若直线 ST 经过定点，则该定点一定是直线ST 与ST的交点，该点必在 y 轴上。
8
t y1 y2 y1
设该定点坐标 （0,t） ，
x1 x2 x1
t
3
y1x2 x1y2 x2 x1 (0, )。
37
(kx1 3)x2 x1( k x2 3) x2 x1
1
代入 x1， x2化简得 t ，所以过定
级届月考卷九理科 20（本小题满分重庆巴蜀中学高2018 12 分） 的外接圆半径为 2 。
1的左右焦点分别是 F1 ，F2 ，上顶点 M ，右顶点为 N （2,0） ，
已知椭圆 C: MF1F2 ab
2 y
2
2
1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设直线 l与椭圆 C交于 A ， B两点，若以 AB 为直径的 圆经过点 N ，求 ABN 面积的最大值。
解：（Ⅰ） ∵右顶点为 （2，0） ， ∴ a 2， MF1 MF2 2，
∵ sin MF1F2
MO
MF1
2
b MF2
2 sin MF1F2
4
2R 4，∴ b 1， b
y 1 ． ∴椭圆的标准方程为4
Ⅱ）设直线 l 的方程为 my x b ， A（ x1，y1 ），B（ x2，y2 ）， 与椭圆联立得 (m2 4)y2 2mby b2 4 0，
2
4 分）
6 分）
． ⋯⋯⋯
2mb b2 4
∴ y1 y2 2 ，y1y2 2
∵以 AB为直径的圆经过点 N ， m 4 m 4
∵ NA (x1 2，y1)，NB (x2 2，y2)， ∴ x1x2 2(x1 x2 ) 4 y1y2 0，①
8b
x1 x2 m( y1 y2 ) 2b 2 m
2
7 分）
x1x2
2 2
4b 4m m y1y2 mb(y1 y2) b ，
m4
22 2
6
∴b 或b 2（舍去）， 5代入①式得 5b 16b 12 0，
故直线 l 过定点 ，0 ．
5
6
9 分）
2
∴ S△ABN 2
△
16
ABN
2 5
1
1024 16m22
25 8 25m 64 | y1 y2 | 2 2 2 2
2
5 (m2 4)2 25 (m2 4)2
10 分）
9
令h(t) 2(5tt 46)24，t m2 [0， )，
28
则 h(t) 0 25t 2 128t 112 0 t 4， ，
25
∴ h（t） 在t [0， ）上单调递减， max h(0) 4， h( t)
∴
m 0 时，
△ ABN max
S
12 分）
2 x
（一般化结论 ）：直线椭圆 C: AB与
2
x
2 a
y
2
1交于 A, B两点， P 为上顶
点。
(1) 若 kPA kPB t ，则直线AB 过定点；（ 2）若 kPA kPB t ，则直线 AB 过定点； 证明：设直线 AB 方程为 y kx m ，
y kx m b x a y a b 0
2 2 2 2 2 2
22222222(b ka)x 2kmax a(m b) 0
222
2
2
4ab
222
(ka b
m2
) 0 ， x x
2kma2
， x
x
a(m b) ，
x1
x1 ， x
2 2 2 1 x1 2 2
2 ，
1
1
222 1 1
22ka b
2ka
b
1t
)
kPA kPA t
y1 b y2 b
kx1 m b kx2 m b t
x
1
x
2
x
1 x
2
22
2
a2(m2 b2)
k(m b)
2a2kma2k2b2
(m b)2
0 a k b
(k2
t)x1x2 k(m b)(x1 x2) (m b)2
0
(k2
t)
2 2 2 222ak b
等式两边同时除以 （m b） ，化简得：
(k2
t)a2
(m b) 2a2
k2
m (m b)(a2
k2
b2
)
22222222akm akb amt abt 2akm
222akm bm
223akb b 0
22b
22at
b at
batm
2 2 b ，所以直线
AB过定点
bat(0,
2 2 b) 。
2222b at
b at
(2)k k t
y
y
PA
PA
1
b
2
b
t
kx
1 m b kx
2 m b
t 2k
(m b)(x1 x2) t
x
x
x1
2
1
x
2
x
1x2
k
t(m b) 2b
y
t(m b) x m
2b 2b
2by tbx (tx 2b)m t yb
25
10
2018 年全国卷 1 理科( 12 分)
22 xy
已知椭圆 C ： 2 2 1 a b 0 ，四点 P1 1，1 ， P2 1， 中
x
y
3 3
0，1 ， P3 1， ，P4
a b 2 2 恰有三点在椭圆 C上。( 1)求 C的方程； ( 2)设直线 l 不经过
P2点且与 C相交于 A、B两 点，若直线 P2A与直线 P2 B的斜率的和为 1，证明： l 过
定点。
解析： 1)根据椭圆对称性，必过 P3 、P4 ，又 P4横坐标为 1，椭圆必不过 P1 ，所以过 PP2，P3 2 0 ，1 ，P3 1，，P4 3三点，将
2
代入椭圆方程得，解得 a2 4 ， b2 1 ∴椭圆 C 的方程为：2 x
2
y 1 。 4
( 2) ①
l :x m ，A m ，yA ，B m ， yA
当斜率不存在时，
yA 1 k
Pk
2
A P2
B
2 2
m m m
得 m 2 ，此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，l∶y kx b b 1 故不满足。
② 当斜率存在时，设
A x1 ， y1 ，B x2 ，，整理得 y2 1 4k2 x2 8kbx 4b2
4 0 联立 ykx
b2
2 2
4b 4
x
1 x
1 4k2 2 1 2
2
2
2
x 4y 4 0 x2 kx1 b x2 x1 kx2 b x1
则 kP
k
1 y2 1 x2
2 A
P2 B
2 2
x1
x1x2
8kb2 8k 8kb2 8kb
1 4k 2 4b2 4
8k b 1
1，又b 1 b 2k 1，此时
64k ，存在
1 4k 2 使得
k
0 成立．∴直线
的方程为 y kx 2k 1，当x 2时，y 1，所以 l过定点 2， 1 一般化直角弦过定点)
22
过 x
y2
2
1上一点 P( x0 , y0 )作两条互相垂直的弦 PA 、PB ，试研究弦 AB 是否过定点？ 2
2a
b
11
。
解：设
A(x ,1y ,1)B(x, y2) 2 ，由PA PB 得到 (x0 x1)(x0 x2) (y0 y1)( y0 y2) 0
①
设直线 AB: 的方程为 y kx m(斜率不存在时容易证明)
y kx m
22
x y
2
21
a
x (kx m) 22 ab
2
2
1 (
1a2 ka2
)x 1 0 a a b
2 2kxm
b2
2 b2 1
12
22
(x0 x1 )( x0 x2)
x0 (kx0 m) 2 2 ab
1
21 k1 k
b2
(kx m) y
2
2
0
0
22
又∵ 在椭圆上 ∴ (x0 x1 )( x0 x2)
P
b b
2
2
2
②
a
2
0
22
1 k
2
x
(y m) (y m) a 2
1 2 ③ 2 2 22
同理可得： (y0 y1)( y0 y2)
a 22 ka
1 2 a
m kx0) 将②③两式代入到①得 (kx0 y0 m)(2kx0 y0 m) (y0 m kx0)( y0 2 a
∵点 P 不在直线 AB: y kx m 上，∴ y m kx 0
2 0 2 1b2
2
22kx0
0
a
k
2
k
b
ka1
b
0
0
0
0
kx0 y0 m y0 m kx0
b
2
2a
a
2
2a
整理得： 注：引理：
若
a
2
b2 yb2 0
b2 b2 0
22 a b
a
2
b
2 2a b2
x
k (
a2
x) m ∴直线 AB 过定点 (
a2
2
2
22 a b y ) y)
0 2 2 0
,x ,
ab
x1 、 x 是方程 f (x) ax bx c 0(a 0) 的两个实数
2
根，则
(x0 x1)(x0 x2)
证法思路二：设
f(x0)
。
22
a
P(x,y) 在 椭 圆 上 ， 即 x02 y02 1 ， 设 y y k(x x) ，
0
0
0
0
1
y y0 (x x0)
k 0) y y0 k(x x
2 2 2 2 2 2
ab
，
b x a y a b
x0 x1
2ak(y0 kx0) 222
ka
(b
2x
2 2 2 2 2 2 2
ka)x 2ak(y0 kx0)x a[(y0 kx0) b ]
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0 ，
1
a(x0 2ky0) bx0] a(x0 2ky0) bkx0]
2
， x2
b
2
22a b2 22kb a2
2
k
AB
k
y2 y1
x
k
kx
1
x
1 k
1
x
2 0
k
2 x1
x
2 x1
22
y y1
y2 y1
ba
(x
ab kAB x)
ab
22 2 2 0
，
13
x x1 x2 x1
2 1
y
2
a
xb
2
0
14
2 所以过定点 a
2 a2
(
ba 2 x0, 2 2 y0)
ba
22
22 已知椭圆 x2 y2
ab 1 过点 P(0,1) ，离
心率为
A、 B 是椭圆上两个动且直线
PA 、 点， PB 的斜率之积
为
1)求椭圆标准方程；
x2
2
x3
y 1
(2)求 PAB
面积的最大值。15
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