高考专题复习——求轨迹方程

高考专题复习——求轨迹方程

一. 本周教学内容： 专题复习——求轨迹方程

（一）求轨迹方程的一般方法：

1. 待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。

2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。

（二）求轨迹方程的注意事项：

1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。

xf(t)2.轨迹方程既可用普通方程F(x，y)0表示，又可用参数方程(t为参数) yg(t)来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。 3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。

【典型例题】

x2y2 例1. 点B是椭圆221上的动点，A(2a，0)为定点，求线段AB的中点M的

ab轨迹方程。

分析：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。

解：设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0） 则由M为线段AB中点，可得

x02axx02x2a2 

y0y2y00y2 即点B坐标可表为（2x－2a，2y）

x2y2 又点B(x0，y0)在椭圆221上

abxy 02021ab22(2x2a)2(2y)2从而有1， 22ab4(xa)24y221 整理，得动点M的轨迹方程为a2bab 动点M的轨迹是以(a，0)为中心，长半轴为，短半轴为的椭圆。

22

1 例2. 动椭圆过定点M(1，2)，并且以y轴为准线，离心率为，求椭圆的左顶

2点A的轨迹方程。

分析：先画出示意图，如图所示：根据已知条件：动椭圆过M（1，2）且以y轴为其准线，可见该椭圆位于y轴右侧，注意到点M在椭圆上，故联想到椭圆的几何性质：椭圆上任一点到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率。即可发现间接涉及动顶点A的等量关系。只需用A的坐标先表示出左焦点F的坐标，即可列出轨迹方程。

1 解：设A(x，y)，左焦点为F(x0，y)，则由离心率e，及点A在椭圆上，

2 可得xx1|AF|1，即0， |AK|2x2 x033x，F(x，y) 22 又∵M在椭圆上，

(132x)(2y)212，

12 |MF|1，即|MN|22(x)222(y2)223 化简，得9(x)4(y2)1，即1

11394211 该方程表示以(， 2)为中心，长半轴为，短半轴为的椭圆。323

例3. 过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。

分析1：设M（x，y），由已知l1⊥l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。

解法1：设M（x，y），∵M为AB中点，∴A（2x，0），B（0，2y）。 又l1，l2过点P（2，4），且l1⊥l2 ∴PA⊥PB，从而kPA·kPB＝－1，

4042y ，kPB22x20442y ·1，化简，得x2y50

22x2 而kPA 注意到l1⊥x轴时，l2⊥y轴，此时A（2，0），B（0，4） 中点M（1，2），经检验，它也满足方程x＋2y－5＝0 综上可知，点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。

分析2：解法1中在利用k1k2＝－1时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△PAB为直角三角形的几何特性： |MP|1|AB| 2 解法2：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y）， ∵l1⊥l2，∴△PAB为直角三角形 由直角三角形的性质，|MP|1|AB| 21 (x2)2(y4)2·(2x)2(2y)2

2 化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方程。

分析3：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。 解法3：设M（x，y），设直线l1的方程为y－4＝k（x－2），（k≠０）

1 由l1l2，则直线l2的方程为y4(x2)

k4 l1与x轴交点A的坐标为(2，0)，

k2 l2与y轴交点B的坐标为(0，4)，

k ∵M为AB的中点，

42k12x2k (k为参数)

24k21y2k 消去k，得x＋2y－5＝0。

另外，当k＝0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程； 当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。 综上所述，M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。

例4. 已知定点A（2，0），点Q是圆x＋y＝1的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程。

2

2

分析1：由三角形的内角平分线的性质，知|AM|2， |MQ||AM||OA| |MQ||OQ| 而|OA|2，|OQ|1，故 即点M分AQ成比为2，

若设出M（x，y），则由分点坐标公式，可表示出点Q的坐标，因Q、M为相

关点，（Q点运动导致点M运动），可采用相关点法求点M的轨迹方程。 解法1：设M（x，y），

由三角形内角平分线性质定理，得 ∵M在AQ上，

∴点M分AQ成比为2，

22·x0x120)若设点Q的坐标为(x0，y0)，则 又A(2，

02·y0y123x2x02 y3y0222|AM||AO|2， |MQ||OQ|而点Q(x0，y0)在圆x2y21上

3x223y224)()1，化简，得(x)2y2 223924 点M的轨迹方程为(x)2y2。

39 x0y01，即( 分析2：由三角形的内角平分线性质，知|AM||AO|2， |QM||QO| 若过M作MN∥OQ交OA于N，则|AN||AM|2， |ON||QM|2|MN||AM|2 从而N(，0)，而，|OQ|1，

3|OQ||AQ|3222 |OQ|为定值，可见动点M到定点N的距离为定值。3332 因此M的轨迹是以N为圆心，半径为的圆，

324 其方程为(x)2y2，

39 |MN| 而当∠AOQ＝180°时，其角分线为y轴，它与AQ交点为原点O，显然，该点也满足上述轨迹方程。 注：此种解法为定义法。

例5. 如图，给出定点A（a，0），（a>0）与定直线l：x＝－1，点B是l上动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值关系。

分析：由OC是∠AOB的平分线，可联想到如下结论： （1）点C到∠AOB的两边OA，OB的距离相等； （2）OC与OA、OB所成的角相等。 (3)|AC||AO| 。|BC||BO| 对于（1）、（2）、（3），若再注意到点C在直线AB上，则可求得轨迹方程。因此，本题从不同角度入手，则有不同解法。

解法1：设B（－1，b），C（x，y），直线OB的方程为y＝－bx，即bx＋y＝0，

∵OC平分∠AOB，∴点C到角的两边距离相等。 |bxy|b12|y|①

又∵点C在直线AB上，∴A、B、C三点共线

yb，xa1a(1a)y 由②得b③

ax kACkAB，即②

xy0 由①得b(x2y2)2·④

把③代入④，得

(1a)y(x2y2)2xy0

ax(0xa)

y≠0时，(1a)·(x2y2)2x(ax)0，即(a1)x2(a1)y22ax0

(0xa)

y＝0时，b＝0，∠AOB＝180°，点C坐标为（0，0），满足上述方程。 故方程（a－1）x2－(a＋1)y2＋2ax＝0是点C的轨迹方程。 当a＝1时，方程为y2＝x，（0≤x<1），它表示抛物线的一段；

a2)y21a 当a1时，方程为1，(0xa)

a2a2()1a1a2(x ∴01时，轨迹为双曲线弧。 解法2：设B（－1，b），C（x，y） 则kOA0，kOCy，kxOBb

∵OC平分∠AOB ∴∠AOC＝∠COB ∴tg∠AOC＝tg∠COB，

yy0bybxyx ∴x，整理，得，①

yyxbyx1·01(b)·xxyb(a1)y 又b，代入①式，消去b，得

xa1aax (1a)y(x2y2)2xy(ax)0，(0xa) 以下略，（见解法1的相应部分）

解法3：设B（－1，b），C（x，y），又A（a，0）

|AC|(a1)2b2，|BC|(x1)2(yb)2，|AO|a，|BO|b21 ∵OC平分∠AOB，由三角形内角平分线性质，得

(a1)2b2|AC||AO|a ，即222|BC||BO|(x1)(yb)b1 整理，得(b2＋1)·[(a＋1)2＋b2]＝a2[(x＋1)2＋(y－b)2] 又由kACkAB得b(a1)y代入上式，整理，得 ax (1a)y(x2y2)2xy(ax)0，(0xa)

以下略。（同解法1的相应部分）

【模拟试题】

1. 长为3a（a>0）的线段AB的两端点A、B分别在y轴、x轴上运动，P点分线段AB或正比2：1，求点P的轨迹方程。

x2y22

2. △ABC的顶点B、C 双曲线1的焦点，点C在抛物线y＝4x上

169运动，求△ABC的重心G的轨迹方程。

3. 自双曲线x2y21上的动点A引直线x＋y＝2的垂线，垂足为B，求线段AB中点M的轨迹方程。

4. 已知定点A（－1，0），B（2，0），P为动点，且∠PBA＝2∠PAB，求动点P的轨迹方程。

5. 以双曲线x2y22的右准线l为左准线，以双曲线的右焦点F为左焦点的椭圆C的短轴顶点为B，求BF中点M的轨迹方程。

【试题答案】 1. x24y24a2 2. y12x2，(x0，y0)

53 3. 2x22y22x2y10，(x，y)

44y2 4. x1，(x1)

32 5. y2

1(x2)，(x1) 2