【易错题解析】青岛版九年级数学上册期末复习综合测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽 米，最深处水深 米，则此输水管道的直径是（ ）。
A. B. C. D. 【答案】B 【考点】垂径定理
【解析】【分析】根据题意，本题考查弦心距；
【解答】设输水管道的半径为 ; 最深处水深 米，则弦心距等于 ；一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽 米，则 ；由勾股定理得 ，解得 ，所以输水管道的直径等于 。
【点评】本题考查弦心距，掌握弦心距的性质是解答本题的关键，要求考生能从实际问题中抽象出数学图形来。
2.把一个五边形改成和它相似的五边形，如果面积扩大到原来的49倍，那么对应的对角线扩大到原来的（ ） A. 49倍 B. 7倍 C. 50倍 D. 8倍 【答案】B 【考点】相似图形
【解析】【解答】五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的49倍， 即得到的五边形与原来的五边形的面积的比是49:1， 因而相似比是7:1，
相似形对应边的比等于相似比， 因而对应的边扩大为原来的7倍. 故答案为：B.
【分析】相似图形的面积比等于相似比的平方，相似比为对应边所成比例.
3.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为x1、x2 ， 则x1+x2-x1•x2的值为（ ） A. -7 B. -3 C. 7 D. 3 【答案】D
【考点】根与系数的关系
【解析】【分析】根据根与系数的关系，先求出x1+x2与x1x2的值，然后再把它们的值整体代入所求代数式求值即可．
1
【解答】根据题意可得x1+x2=-=5，x1x2= =2，
∴x1+x2-x1•x2=5-2=3． 故选D
4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝40°，则∠AOC等于（ ）
A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 【答案】D
【考点】圆周角定理
【解析】【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，根据圆周角定理，即可求得答案。 ∵⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=40°， ∴∠AOC=2∠ABC=80°． 故选D．
5.下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A. x2+4=0 B. 4x2-4x+1=0 C. x2+x+3=0 D. x2+2x-1=0 【答案】D
【考点】根的判别式
【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，根据△＞0，方程有两个不相等的实数根；△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根，进行判断． 【解答】A、△=-16＜0，方程没有实数根； B、△=0，方程有两个相等的实数根； C、△=1-12=-11＜0，方程没有实数根；
D、△=4+4=8＞0，方程有两个不相等的实数根． 故选D．
【点评】此题考查了用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况的方法．
6.如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
2
【答案】D
【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，扇形面积的计算，几何图形的面积计算-割补法 【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，AB= = ，∵BC是半圆的直径，∴∠CDB=90°，在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD= ，∴D为半圆的中点， ∴S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC= = ．故答案为：D．
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，根据直径所对的圆周角是直角得出∠CDB=90°，根据等腰直角三角形的性质得出CD垂直平分AB，CD=BD= ，根据同圆中相等的弦所对的弧相等得出D为半圆的中点，利用割补法得出图中阴影部分的面积=S扇形ACB﹣S△ADC，然后根据三角形的面积计算公式就扇形的面积计算方法即可算出答案。
7.如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA=CD，且∠CAB=25°，则∠ACD的度数为（ ）
A. 25° B. 30° C. 40° D. 50° 【答案】D
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵CD是直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠CAB=25°， ∴∠ABC=65°， ∴∠ADC=65°， ∵CA=CD，
∴∠CAD=∠ADC=65°， ∴∠ACD=180°﹣2×65°=50°， 故选D．
【分析】首先求出∠ABC的度数，再根据圆周角定理求出∠ADC的度数，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出答案．
8.一元二次方程x2﹣6x+5=0配方后可变形为（ ）
A. （x﹣3）2=14 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=14 D. （x+3）2=4 【答案】A
【考点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】x2﹣6x=5， x2﹣6x+9=5+9， 即（x﹣3）2=14， 故答案为：A．
【分析】将常数项移到方程的右边，在方程的两边都加上一次项系数一半的平方9，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可。
3
9.如图，点D是△ABC的边AC的上一点，且∠ABD=∠C；如果
，那么
=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵点D是△ABC的边AC的上一点，且∠ABD=∠C，且∠BAD=∠CAB， ∴△ABD∽△ACB， 如果 ∵
∴
，∴AD=x，CD=3x，
∴AB2=AC•AD， ∴AB=2x ∴
故答案为：A
【分析】先证得△ABD∽△ACB，再利用对应线段成比例及所设出AD与CD的长，可表示出AB长，从而可求得
的值.
10.因春节放假，某工厂2月份产量比1月份下降了5%，3月份将恢复正常，预计3月份产量将比2月份增长15%．设2、3月份的平均增长率为x，则x满足的方程是（ ） A. 15%﹣5%=x B. 15%﹣5%=2x
C. （1﹣5%）（1+15%）=2（1+x） D. （1﹣5%）（1+15%）=（1+x）2 【答案】D
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】设一月份的产量为a，则二月份的产量为a（1﹣5%），三月份的产量为a（1﹣5%）（1+15%），根据题意得：a（1﹣5%）（1+15%）=a（1+x）2 ， 即：（1﹣5%）（1+15%）=（1+x）2 ， 故选：D． 【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x，可以用x表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程．
二、填空题（共10题；共30分）
4
11.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为________．
【答案】5
【考点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC ，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD ， ∴CE=DE= CD= ×6=3，设⊙O的半径为xcm ， 则
OC=xcm ， OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2 ， ∴x2=32+（x﹣1）2 ， 解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．
【分析】连接OC ， 根据垂径定理得出CE=DE= CD=3，设⊙O的半径为xcm ， 则OC=xcm ，
OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中根据勾股定理列出方程，求解得出答案。
12.一元二次方程x2=﹣3x的解是________． 【答案】0或-3
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法 【解析】【解答】∵x2=﹣3x， ∴x（x+3）=0， ∴x=0或x=-3. 故答案为：0或-3.
【分析】根据一元二次方程因式分解法即可得出答案.
13.如图，⊙O的半径为6，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD=∠BCD，则弧BD的长为________．
【答案】4π
【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧长的计算
5
【解析】【解答】∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BCD+∠A=180°，
∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠BCD， ∴2∠A+∠A=180°， 解得：∠A=60°， ∴∠BOD=120° 弧BD长=
，
故答案为：4π.
【分析】根据圆的内接四边形的对角互补得出∠BCD+∠A=180°，又∠BOD=2∠A，∠BOD=∠BCD，故∠A=60°，∠BOD=120°，根据弧长计算公式算出答案。
14.（2017•眉山）已知一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根为x1 ， x2 ， 则（x1﹣1）（x2﹣1）的值是________． 【答案】-4
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根为x1 ， x2 ， ∴x1+x2=3，x1•x2=﹣2，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=﹣2﹣3+1=﹣4． 故答案为：﹣4．
【分析】由根与系数的关系可得x1+x2=3、x1•x2=﹣2，将其代入（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1中，即可求出结论．
15.顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，在∠A=36°的△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，交AC于D，若AC=4cm，则BC=________cm． 【答案】2（ ﹣1）
【考点】黄金分割，相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， 又BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠A=36°， ∴BD=AD=BC， ∴△ABC∽△BCD，
∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD•AC=（AC﹣BC）•AC， ∵AC=4，
∴BC2=4（4﹣BC）， BC2+4BC﹣16=0，
解得BC=2（ ﹣1）cm． 故答案为：2（ ﹣1）．
6
【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以证明底与腰的比是黄金比．则BC=4× =2（ ﹣1）．
16.如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC=40°，则∠BOD的度
数是________．
【答案】70°
【考点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，∴OB平分∠ABC，OD⊥BC， ∴∠OBD= ∠ABC= ×40°=20°，
∴∠BOD=90°-∠OBD=70°． 故答案为70°．
【分析】根据△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，由内心的定义，及切线的性质得出OB平分∠ABC，OD⊥BC，根据角平分线的定义及三角形的内角和即可得出答案。
17.一块长方形铁皮长为4dm，宽为3dm，在四角各截去一个面积相等的正方形，做成一个无盖的盒子，要使盒子的底面积是原来铁皮的面积一半，若设盒子的高为xdm，根据题意列出方程，并化成一般形式为________．
【答案】4x2﹣14x﹣6=0 【考点】一元二次方程的定义
【解析】【解答】解：由题意得：无盖长方体盒子的底面长为（4﹣2x）dm，宽为（3﹣2x）dm，由题意得， （4﹣2x）（3﹣2x）=4×3× ，
整理得：4x2﹣14x+6=0， 故答案为：4x2﹣14x﹣6=0．
【分析】根据题意盒子的底面积是原来铁皮的面积一半，得到面积的等式，得到一元二次方程的一般形式. 18.如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB的度数是________．
7
【答案】65° 【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连结BD，如图， ∵点D是
的中点，即弧CD=弧AD，
∴∠ABD=∠CBD， 而∠ABC=50°，
∴∠ABD=×50°=25°，
∵AB是半圆的直径， ∴∠ADB=90°，
∴∠DAB=90°﹣25°=65°． 故答案为65°．
【分析】连结BD，由于点D是AC弧的中点，即弧CD=弧AD，根据圆周角定理得∠ABD=∠CBD，则∠ABD=25°，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，然后利用三角形内角和定理可计算出∠DAB的度数．
19.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=________.
【答案】2
【考点】相似三角形的判定与性质，解直角三角形 【解析】【解答】解：连接BE交CF于点G（如图），
∵四边形BCEF是边长为1的正方形， ∴BE=CF= ，BE⊥CF， ∴BG=EG=CG=FG= ,
又∵BF∥AC， ∴△BFO∽△ACO，
8
∴
,
∴CO=3FO，
∴FO=OG= CG= ，
在Rt△BGO中， ∴tan∠BOG=
=2,
又∵∠AOD=∠BOG, ∴tan∠AOD=2. 故答案为:2.
【分析】连接BE交CF于点G（如图），根据勾股定理得BE=CF= ，再由正方形的性质得BE⊥CF，BG=EG=CG=FG= ,又根据相似三角形的判定得△BFO∽△ACO，由相似三角形的性质得
,从而得FO=OG= CG=
，在Rt△BGO中根据正切的定义得tan∠BOG=
=2,根据对顶角
相等从而得出答案.
20.如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE，BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD= AE2；④S△ABC=2S△ADF ． 其中正确结论的序号是________．（把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①②③
【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AD和BE是高， ∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°， ∵点F是AB的中点， ∴FD= AB，
∵点F是AB的中点， ∴FE= AB，
∴FD=FE，①正确；
∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°， ∴∠ABC=∠C，
9
∴AB=AC， ∵AD⊥BC，
∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE， ∵∠ABE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE=BE。
在△AEH和△BEC中， ∵∠AEH=∠CEB, AE=BE,
∠EAH=∠CBE，
∴△AEH≌△BEC（ASA）， ∴AH=BC=2CD，②正确；
∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB， ∴△ABD～△BCE， ∴
，即BC·AD=AB·BE，
∵ AE2=AB·AE=AB·BE， ∴BC·AD= AE2；③正确； ∵F是AB的中点，BD=CD，∴ S△ABC=2S△ABD=4S△ADF ． ④错误； 故答案为：①②③．
【分析】①△ABE和△ABD都是直角三角形，且点F是斜边AB上的中点，由斜边上的中线长是斜边的一半可知；
②要证明AH=2CD，则可猜想BC=2CD，AH=BC；要证明BC=2CD，结合AD⊥BC，则需要证明AB=AC；要证明AH=BC，则需要证明△AEH≌△BEC；
③由 AE2=AB·AE=AB·BE，则BC·AD= AE2 ， 可转化为BC·AD=AB·BE，则 ，
那么只需证明△ABD～△BCE即可；
④由三角形的中线平分三角形的面积，依此推理即可。
三、解答题（共8题；共60分）
10
21.如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，B（﹣1，﹣1），C（5，﹣1）
（1）把△ABC绕点C按顺时针旋转90°后得到△A1B1C1 ， 请画出这个三角形并写出点B1的坐标； （2）以点A为位似中心放大△ABC，得到△A2B2C2 ， 使放大前后的面积之比为1：4，请在下面网格内出△A2B2C2 ．
【答案】（1）解：如图所示：△A1B1C1 ， 即为所求，点B1的坐标为：（5，5） （2）解：如图所示：△A2B2C2
【考点】作图﹣位似变换，作图﹣旋转变换
【解析】【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质进而得出对应点位置即可得出答案．
22.已知：如图，MN、PQ是⊙O的两条弦，且QN=MP, 求证：MN= PQ．
【答案】证明：∵QN＝MP，∴ 弧QN=弧MP，∴弧MN=弧PQ，∴MN＝PQ 【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据等弧所对的弦相等可得结论。
11
23.如图， ∠ ∠ ， ， ， ， .试说明： ∠ ∠
【答案】证明：∵AC=6，AB=12，AE=4，AF=8， ∴ ∵∠1=∠2， ∴△ACE∽△ABF， ∴∠ACE=∠ABF
【考点】相似三角形的性质，相似三角形的判定
=2，
【解析】【分析】三角形中有两边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似，可证△ACE∽△ABF，则结论可得出。
24.如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC、AB相交于点E．若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．
【答案】证明：∵A、D、C、B四点共圆， ∴∠A=∠BCE， ∵BC=BE， ∴∠BCE=∠E， ∴∠A=∠E， ∴AD=DE，
即△ADE是等腰三角形． 【考点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】求出∠A=∠BCE=∠E，即可得出AD=DE，从而判定等腰三角形．
25.如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C，求证：AB2=AD•AC．
【答案】解：∵∠ABD=∠C，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB， ∴
，
∴AB2=AD•AC．
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【考点】相似三角形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由题∠ABD=∠C，根据三角形相似的判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角相等，则两个三角形相似，证明△ABD相似于△ACB，根据相似三角形的对应边成比例可以列出线段之间的比例关系，交叉相乘得出AB2=AD•AC。
26.如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=45°，求梯子的长（结
果保留根号）
【答案】解：设梯子的长为xm． 在Rt△ABO中，∵cos∠ABO= ，
∴OB=AB•cos∠ABO=x•cos60°= x，
在Rt△CDO中，∵cos∠CDO= ，
∴OD=CD•cos∠CDO=x•cos45°= ∵BD=OD﹣OB， ∴
x﹣
x=1，
x．
解得x=2 +2．
+2）米．
故梯子的长是（2
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】设梯子长度为xm，由OB=AB•cos∠ABO= x、OD=CD•cos∠CDO= x，根据BD=OD
﹣OB列方程求解可得．
27.如图所示，在△ABC中，已知DE∥BC． （1）△ADE与△ABC相似吗？为什么？
13
（2）它们是位似图形吗？如果是，请指出位似中心．
【答案】解：（1）△ADE与△ABC相似． ∵DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE；
（2）是位似图形．由（1）知：△ADE∽△ABC．
∵△ADE和△ABC的对应顶点的连线BD，CE相交于点A， ∴△ADE和△ABC是位似图形，位似中心是点A． 【考点】位似变换
【解析】【分析】（1）直接利用相似三角形的判定方法得出答案； （2）直接利用位似图形的定义得出答案．
28.现有一张宽为12cm练习纸，相邻两条格线间的距离均为0.8cm．调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上（如图），测得∠α=32°． （1）求矩形图案的面积；
（2）若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印（如图），最多能印几个完整的图案？ （参考数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6）
【答案】解：（1）如图，在Rt△BCE中， ∵sinα=，
∴BC=
==1.6，
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD=90°， ∴∠BCE+∠FCD=90°， 又∵在Rt△BCE中， ∴∠EBC+∠BCE=90°， ∴∠FCD=32°．
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在Rt△FCD中，∵cos∠FCD=，
∴CD= °==2，
∴矩形图案的长和宽分别为2cm和1.6cm； 面积=2×1.6=3.2（平方厘米）
（2）如图，在Rt△ADH中，易求得∠DAH=32°． ∵cos∠DAH=
，
∴AH= °==2，
在Rt△CGH中，∠GCH=32°， ∵tan∠GCH=
，
∴GH=CGtan32°=0.8×0.6=0.48， 又∵6×2+0.48＞12，5×2+0.48＜12，
∴最多能摆放5块矩形图案，即最多能印5个完整的图案． 【考点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）如图，在Rt△BCE中，由sinα=可以求出BC，在矩形ABCD中由∠BCD=90°
得到∠BCE+∠FCD=90°，又在Rt△BCE中，利用已知求出条件∠FCD=32°，然后在Rt△FCD中，由cos∠FCD=求出CD，因此求出了矩形图案的长和宽；
（2）如图，在Rt△ADH中，易求得∠DAH=32°，由cos∠DAH=GCH=32°．由tan∠GCH=的图案．
， 求出AH，在Rt△CGH中，∠
求出GH，最后即可确定最多能摆放多少块矩形图案，即最多能印几个完整
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