2018-2019学年天津市和平区九年级上期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率是（ ） A．1
B．
C．
D．0
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
2
＝ ＝
＝ ＝
4．将抛物线y＝﹣5x+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣5（x+1）﹣1 C．y＝﹣5（x+1）+3
22
B．y＝﹣5（x﹣1）﹣1 D．y＝﹣5（x﹣1）+3
2
2
5．已知反比例函数y＝的图象经过点A（2，﹣3），B（x，y），当1＜x＜3时，y的取值范围是（ ） A．
B．﹣6＜y＜﹣2
C．2＜y＜6
D．﹣＜y＜﹣9
6．如图，在平面直角坐标系中，有点A（6，3），B（6，0），以原点O为位似中心，相似
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比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到CD，则点C的坐标为（ ）
A．（2，1）
2
B．（2，0） C．（3，3） D．（3，1）
7．在二次函数y＝﹣x+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ） A．x＜1
B．x＞1
C．x＜﹣1
D．x＞﹣1
8．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP＝∠C
B．∠APB＝∠ABC
C．
＝
D．
＝
9．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的大小为（ ）
A．64°
B．120°
C．122°
D．128°
的图象上的点，并且
10．若点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函数y＝x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（ ） A．y1＜y3＜y2
B．y2＜y3＜y1
2
C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y3
11．当a≤x≤a+1时，函数y＝x﹣2x+1的最小值为4，则a的值为（ ） A．﹣2
2
B．4 C．4或3 D．﹣2或3
12．已知抛物线y＝ax+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：
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①4a+2b＜0； ②﹣1≤a≤
；
2
③对于任意实数m，a+b≥am+bm总成立；
④关于x的方程ax+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根． 其中结论正确的个数为（ ） A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，∠B＝75°，则∠AOC的大小为 度．
14．已知y是x的反比例函数，并且当x＝2时y＝6，求当x＝4时y＝ ．
15．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则
的值为 ．
16．一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同，摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，则两次摸出的球恰好颜色不同的概率是 ．
17．如图，点P是⊙O外一点，PT切⊙O于点T，PB交⊙O于A，B两点，连接OT，则PT与OT的位置关系是 ，PA+PB 2PT（填“＞”、“＜”或“＝”号）
18．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角
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为θ（0°＜θ＜180°），得到△A1B1C）．
（Ⅰ）如图①，当AB∥CB1时，旋转角θ＝ （度）；
（Ⅱ）如图②，取AC的中点E，A1B1的中点P，连接EP，已知AC＝a，当θ＝ （度）时，EP的长度最大，最大值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（8分）已知关于x的方程x+ax﹣2＝0的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 20．（8分）已知四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD，连接AC，BD． （I）如图①，若∠CBD＝36°，求∠BAD的大小；
（Ⅱ）如图②，若点E在对角线AC上，且EC＝BC，∠EBD＝24°，求∠ABE的大小．
2
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACD＝∠B，AD⊥CD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD＝1，OA＝2，求AC的值．
22．（10分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．
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青山村种的水稻2007年平均每公顷产8000kg，2009年平均每公顷产9680kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率． 解题方案：
设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x． （1）用含x的代数式表示：
①2008年种的水稻平均每公顷的产量为 ； ②2009年种的水稻平均每公顷的产量为 ； （2）根据题意，列出相应方程 ； （3）解这个方程，得 ； （4）检验： ；
（5）答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 %．
23．（10分）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（Ⅱ）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
24．（10分）已知，四边形ABCD是边长为3边AE＝，∠GAF＝30°． （1）如图①，求AF的长；
（2）如图②，将矩形AEFG绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到矩形AMNH，点C恰好在AN上． ①求α的大小； ②求DN的长；
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的正方形，点E在边AB上，矩形AEFG的
（3）若将矩形AEFG绕点A顺时针旋转30°，得到矩形ARTZ，此时，点B在矩形ARTZ的内部、外部、还是边上？（直接写出答案即可）．
25．（10分）已知，抛物线y＝mx+（1﹣2m）x+1﹣3m（m是常数）． （Ⅰ）当m＝1时，求该抛物线与x轴的公共点的坐标； （Ⅱ）抛物线与x轴相交于不同的两点A，B． ①求m的取值范围；
②无论m取何值，该抛物线都经过非坐标轴上的定点P，当＜m≤8时，求△PAB面积的最大值，并求出相对应的m的值．
2
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2018-2019学年天津市和平区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可． 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项正确； 故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
2．掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率是（ ） A．1
B．
C．
D．0
【分析】根据大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率），可得答案．
【解答】解：掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率是， 故选：C．
【点评】本题考查了概率，大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）．
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，
＝，则下列结论中正确的是（ ）
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A．B．C．D．
＝ ＝
＝ ＝
【分析】由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例可得
，然后由
＝，即可判断A、B的正误，然后根据相似三角形的周长之
比等于相似比，面积之比等于相似比的平方即可判断C、D的正误． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴∵∵
＝，
＝， ，
故A、B选项均错误； ∵△ADE∽△ABC， ∴
＝
＝，
＝（
）＝，
2
故C选项正确，D选项错误． 故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的对应边之比等于相似比；相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
4．将抛物线y＝﹣5x+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣5（x+1）﹣1
22
B．y＝﹣5（x﹣1）﹣1
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2
2
2
C．y＝﹣5（x+1）+3 D．y＝﹣5（x﹣1）+3
【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．
【解答】解：将抛物线y＝﹣5x+1向左平移1个单位长度，得到y＝﹣5（x+1）+1，再向下平移2个单位长度，
所得到的抛物线为：y＝﹣5（x+1）﹣1． 故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 5．已知反比例函数y＝的图象经过点A（2，﹣3），B（x，y），当1＜x＜3时，y的取值范围是（ ） A．
B．﹣6＜y＜﹣2
C．2＜y＜6
D．﹣＜y＜﹣9
22
2
【分析】先把（2，﹣3）代入y＝中求出k得到反比例函数解析式为y＝﹣，再分别计算出自变量为2和3对应的反比例函数值，然后根据反比例函数的性质求解． 【解答】解：把（﹣2，3）代入y＝，得k＝﹣2×3＝6， 所以反比例函数解析式为y＝﹣．
当x＝1时，y＝﹣＝﹣6；当x＝3时，y＝﹣＝﹣2； 所以当2＜x＜3时，函数值y的取值范围为﹣6＜y＜﹣2． 故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k． 6．如图，在平面直角坐标系中，有点A（6，3），B（6，0），以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到CD，则点C的坐标为（ ）
A．（2，1）
B．（2，0）
C．（3，3）
D．（3，1）
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【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．
【解答】解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是， ∴
＝
，
又∵OB＝6，AB＝3， ∴OD＝2，CD＝1， ∴点C的坐标为：（2，1）， 故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．
7．在二次函数y＝﹣x+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ） A．x＜1
B．x＞1
22
C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
【分析】抛物线y＝﹣x+2x+1中的对称轴是直线x＝1，开口向下，x＜1时，y随x的增大而增大．
【解答】解：∵a＝﹣1＜0， ∴二次函数图象开口向下， 又对称轴是直线x＝1，
∴当x＜1时，函数图象在对称轴的左边，y随x的增大增大． 故选：A．
【点评】本题考查了二次函数y＝ax+bx+c（a≠0）的性质：当a＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣
，在对称轴左边，y随x的增大而增大．
2
8．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP＝∠C
B．∠APB＝∠ABC
C．
＝
D．
＝
【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
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【解答】解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； C、当
＝
时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
9．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的大小为（ ）
A．64°
B．120°
C．122°
D．128°
【分析】根据圆周角定理可求∠CAD＝32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数．
【解答】解：在⊙O中，∵∠CBD＝32°， ∴∠CAD＝32°， ∵点E是△ABC的内心， ∴∠BAC＝64°，
∴∠EBC+∠ECB＝（180°﹣64°）÷2＝58°， ∴∠BEC＝180°﹣58°＝122°． 故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数．
10．若点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函数y＝x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（ ） A．y1＜y3＜y2
B．y2＜y3＜y1
C．y3＜y2＜y1
D．y1＜y2＜y3 的图象上的点，并且
【分析】首先确定反比例函数的系数与0的大小关系，然后根据题意画出图形，再根据
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其增减性解答即可． 【解答】解：∵﹣a﹣1＜0，
∴反比例函数图象位于二、四象限，如图在每个象限内，y随x的增大而增大，
2
∵x1＜0＜x2＜x3， ∴y2＜y3＜y1． 故选：B．
【点评】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的函数值的大小，同学们要灵活掌握．
11．当a≤x≤a+1时，函数y＝x﹣2x+1的最小值为4，则a的值为（ ） A．﹣2
B．4
C．4或3
D．﹣2或3
2
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝4时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：当y＝4时，有x﹣2x+1＝4， 解得：x1＝﹣1，x2＝3．
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值4， ∴a＝3或a+1＝﹣1， ∴a＝3或a＝﹣2， 故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝4时x的值是解题的关键．
12．已知抛物线y＝ax+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论： ①4a+2b＜0； ②﹣1≤a≤
；
2
2
2
③对于任意实数m，a+b≥am+bm总成立；
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2
④关于x的方程ax+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根． 其中结论正确的个数为（ ） A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】①由抛物线的顶点横坐标可得出b＝﹣2a，进而可得出4a+2b＝0，结论①错误； ②利用一次函数图象上点的坐标特征结合b＝﹣2a可得出a＝﹣，再结合抛物线与y轴交点的位置即可得出﹣1≤a≤﹣，结论②正确；
③由抛物线的顶点坐标及a＜0，可得出n＝a+b+c，且n≥ax+bx+c，进而可得出对于任意实数m，a+b≥am+bm总成立，结论③正确；
④由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y＝ax+bx+c与直线y＝n只有一个交点，将直线下移可得出抛物线y＝ax+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，进而可得出关于x的方程ax+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，结合④正确． 综上，此题得解．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax+bx+c的顶点坐标为（1，n）， ∴﹣
＝1，
2
2
2
2
2
2
∴b＝﹣2a，
∴4a+2b＝0，结论①错误；
②∵抛物线y＝ax+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝3a+c＝0， ∴a＝﹣．
又∵抛物线y＝ax+bx+c与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点）， ∴2≤c≤3，
∴﹣1≤a≤﹣，结论②正确； ③∵a＜0，顶点坐标为（1，n）， ∴n＝a+b+c，且n≥ax+bx+c，
∴对于任意实数m，a+b≥am+bm总成立，结论③正确； ④∵抛物线y＝ax+bx+c的顶点坐标为（1，n）， ∴抛物线y＝ax+bx+c与直线y＝n只有一个交点， 又∵a＜0，
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2
2
2
222
∴抛物线开口向下，
∴抛物线y＝ax+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，
∴关于x的方程ax+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，结合④正确． 故选：C．
22
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四个结论的正误是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，∠B＝75°，则∠AOC的大小为 150 度．
【分析】根据根据圆周角定理即可解决问题． 【解答】解：∵
＝
，
∴∠AOC＝2∠B＝150°， 故答案为150．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 14．已知y是x的反比例函数，并且当x＝2时y＝6，求当x＝4时y＝ 3 ．
【分析】首先设出函数解析式，再利用待定系数法把x＝2，y＝6代入解析式求得k的值，得到函数解析式后，再根据解析式和x的值，求得y的值． 【解答】解：设函数解析式为：y＝， 把x＝2，y＝6代入，得k＝12， ∴y＝
．
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把x＝4代入y＝解得：y＝3． 故答案为：3．
中：y＝，
【点评】此题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式，此为近几年中考的热点问题，同学们要熟练掌握．
15．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则 ．
的值为
【分析】求出AB＝3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【解答】解：∵AH＝2，HB＝1， ∴AB＝AH+BH＝3， ∵l1∥l2∥l3， ∴
＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
16．一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同，摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，则两次摸出的球恰好颜色不同的概率是
．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球恰好颜色不同的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图得：
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∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色不同的有4种情况， ∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率是：． 故答案为：．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．如图，点P是⊙O外一点，PT切⊙O于点T，PB交⊙O于A，B两点，连接OT，则PT与OT的位置关系是 PT⊥OT ，PA+PB ＞ 2PT（填“＞”、“＜”或“＝”号）
【分析】利用切线的性质，切割线定理，完全平方公式即可解决问题． 【解答】解：∵点P是⊙O外一点，PT切⊙O于点T， ∴OT⊥PT． ∵PT＝PA•PB， 又∵（PB﹣PA）＞0， ∴（PB+PA）＞4PA•PB， ∴PT＜（∴PA+PB＞2PT． 故答案为PT⊥OT，＞．
【点评】本题考查了切线的性质，切割线定理，完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
18．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A1B1C）．
（Ⅰ）如图①，当AB∥CB1时，旋转角θ＝ 30 （度）；
2
2
2
2
），
2
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（Ⅱ）如图②，取AC的中点E，A1B1的中点P，连接EP，已知AC＝a，当θ＝ 120 （度）时，EP的长度最大，最大值为
．
【分析】（Ⅰ）根据两直线平行，内错角相等可得∠BCB1＝∠ABC，然后根据对应边BC和B1C的夹角为旋转角解答；
（Ⅱ）连接CP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CP＝A1P，然后求出△A1CP是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠A1CP＝60°，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边可得CE+CP＞EP，从而判断出当点E、C、P三点共线时EP最大，然后根据平角等于180°进行计算即可得解． 【解答】解：（Ⅰ）∵AB∥CB1，∠ABC＝30°， ∴∠BCB1＝∠ABC＝30°， ∴旋转角为∠BCB1＝30°；
（Ⅱ）∵P为A1B1的中点， ∴CP＝A1P， ∵∠ABC＝30°， ∴∠B1＝∠B＝30°，
∴∠A1＝90°﹣∠B1＝90°﹣30°＝60°， ∴△A1CP是等边三角形， ∴∠A1CP＝60°，
根据三角形的三边关系，CE+CP＞EP，
∴当点E、C、P三点共线时EP最大，最大为EP＝CE+CP， 此时，旋转角为180°﹣∠A1CP＝180°﹣60°＝120°， ∵AC＝a，点E为AC的中点，
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∴EP＝a+a＝．
．
故答案为：30；120，
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边的性质，熟练掌握旋转的性质，并判断出点E、C、P三点共线时EP最大是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（8分）已知关于x的方程x+ax﹣2＝0的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 【分析】把x＝1代入已知方程得到关于a的新方程，通过解新方程来求a的值；利用根与系数的关系来求方程的另一根．
【解答】解：把x＝1代入x+ax﹣2＝0，得 1+a﹣2＝0， 解得a＝1．
根据根与系数的关系得到方程的另一根为：
＝﹣2．
2
22
综上所述，a的值为1，该方程的另一根是﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
20．（8分）已知四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD，连接AC，BD． （I）如图①，若∠CBD＝36°，求∠BAD的大小；
（Ⅱ）如图②，若点E在对角线AC上，且EC＝BC，∠EBD＝24°，求∠ABE的大小．
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【分析】（I）由BC＝CD，推出问题．
（Ⅱ）想办法证明∠ABE＝∠EBD即可解决问题． 【解答】解：（Ⅰ）∵BC＝CD， ∴
＝
，
＝
，可得∠DBC＝∠BAC＝∠CAD，由此即可解决
∴∠DBC＝∠BAC＝∠CAD， ∵∠CBD＝36°， ∴∠BAC＝∠CAD＝36°， ∴∠BAD＝36°+36°＝72°．
（Ⅱ）∵CB＝CE， ∴∠CBE＝∠CEB，
∴∠DBE+∠CBD＝∠BAE+∠ABE， ∵∠CBD＝∠BAC， ∴∠ABE＝∠DBE＝24°．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACD＝∠B，AD⊥CD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD＝1，OA＝2，求AC的值．
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【分析】（1）连接OC，由圆周角定理得出∠ACB＝90°，由等腰三角形的性质得出∠B＝∠BCO，证出∠OCD＝∠OCA+∠BCO＝∠ACB＝90°，即可得出结论； （2）证明△ACB∽△ADC，得出AC＝AD•AB，即可得出结果． 【解答】（1）证明：连接OC，如图所示： ∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠B＝∠BCO， 又∵∠ACD＝∠B，
∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝∠OCA+∠BCO＝∠ACB＝90°， 即OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°， 又∵∠ACD＝∠B， ∴△ACB∽△ADC， ∴AC＝AD•AB＝1×4＝4， ∴AC＝2．
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【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定，证明三角形相似是解决问题（2）的关键．
22．（10分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．
青山村种的水稻2007年平均每公顷产8000kg，2009年平均每公顷产9680kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率． 解题方案：
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设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x． （1）用含x的代数式表示：
①2008年种的水稻平均每公顷的产量为 8000（1+x） ； ②2009年种的水稻平均每公顷的产量为 8000（1+x） ； （2）根据题意，列出相应方程 8000（1+x）＝9680 ； （3）解这个方程，得 x1＝0.1，x2＝﹣2.1 ；
（4）检验： x1＝0.1，x2＝﹣2.1都是原方程的根，但x2＝﹣2.1不符合题意，所以只取x＝0.1 ；
（5）答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 10 %．
【分析】解此类题时，先将所求问题设为x，根据增长后的产值＝增长前的产值（1+增长率），即可用含x的代数式表示，再求解，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
【解答】解：（1）①8000（1+x）；②8000（1+x）（1+x）＝8000（1+x）； （2）8000（1+x）＝9680；（4分） （3）x1＝0.1，x2＝﹣2.1；
（4）x1＝0.1，x2＝﹣2.1都是原方程的根，但x2＝﹣2.1不符合题意，所以只取x＝0.1； （5）10．（8分）
【点评】解此类题时，先将所求问题设为x，然后用含x的代数式表示，再求解，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
23．（10分）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（Ⅱ）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
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【分析】（Ⅰ）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值，此题得解；
（Ⅱ）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y＝1.8时x的值，由此即可得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝a（x﹣3）+5（a≠0），
将（8，0）代入y＝a（x﹣3）+5，得：25a+5＝0， 解得：a＝﹣，
∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）+5（0＜x＜8）． （Ⅱ）当y＝1.8时，有﹣（x﹣3）+5＝1.8， 解得：x1＝﹣1，x2＝7，
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y＝1.8时x的值．
24．（10分）已知，四边形ABCD是边长为3边AE＝，∠GAF＝30°． （1）如图①，求AF的长；
（2）如图②，将矩形AEFG绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到矩形AMNH，点C恰好在AN上． ①求α的大小； ②求DN的长；
（3）若将矩形AEFG绕点A顺时针旋转30°，得到矩形ARTZ，此时，点B在矩形ARTZ的内部、外部、还是边上？（直接写出答案即可）．
的正方形，点E在边AB上，矩形AEFG的
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【分析】（1）在Rt△AFG中，解直角三角形求出AF即可； （2）①根据α＝∠DAC﹣∠HAN计算即可；
②如图2中，作NK⊥DC 交DC的延长线于K．在Rt△DKN中，求出KN，DK，再利用勾股定理即可解决问题；
（3）如图③中，设MN交直线AB于点J，作JQ⊥AN于Q．求出AJ的长与AB比较即可判断；
【解答】解：（1）∵四边形AEFG是矩形， ∴∠AEF＝90°，AE＝FG， ∵AE＝， ∴GF＝， ∵∠GAF＝30°， ∴AF＝2FG＝7．
（2）①如图2中，
∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAC＝45°
∴α＝∠DAC﹣∠HAN＝45°﹣30°＝15°． ②如图2中，作NK⊥DC交DC的延长线于K．
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∵AC＝AB＝6，AN＝7，
∴CN＝1，
在Rt△CNK中，∵∠NCK＝∠DCA＝45°， ∴CK＝NK＝
，
+
＝
， ＝
＝5．
∴DN＝DC+CK＝3
在Rt△DNK中，DN＝
（3）如图③中，设MN交直线AB于点J，作JQ⊥AN于Q．
由题意可知：AN＝7，∠JAN＝∠N＝30°， ∴JA＝JN，∵JQ⊥AN， ∴AQ＝QN＝， ∴AJ＝∵AB＝3
，
＝
，
∴AJ＜AB，
∴点B在△ANM外．
【点评】本题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 25．（10分）已知，抛物线y＝mx+（1﹣2m）x+1﹣3m（m是常数）． （Ⅰ）当m＝1时，求该抛物线与x轴的公共点的坐标； （Ⅱ）抛物线与x轴相交于不同的两点A，B． ①求m的取值范围；
②无论m取何值，该抛物线都经过非坐标轴上的定点P，当＜m≤8时，求△PAB面积
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的最大值，并求出相对应的m的值．
【分析】（Ⅰ）把m＝1，y＝0代入抛物线，解方程求出x的值，进一步得到该抛物线与x轴的公共点的坐标；
（Ⅱ）①根据题意得出△＝（1﹣2m）﹣4×m×（1﹣3m）＝（1﹣4m）＞0，得出1﹣4m≠0，解不等式即可；
②由|AB|＝|xA﹣xB|得出|AB|＝|﹣4|，由已知条件得出≤＜4，得出0＜|﹣4|≤因此|AB|最大时，|﹣4|＝
，解方程得出m＝8，或m＝
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，
（舍去），即可得出结果．
【解答】解：（Ⅰ）把m＝1，y＝0代入抛物线可得x﹣x﹣2＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝2，
故该抛物线与x轴的公共点的坐标为（﹣1，0）或（2，0）； （Ⅱ）①当m＝0时，函数为一次函数，不符合题意，舍去； 当m≠0时，
∵抛物线y＝mx+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B， ∴△＝（1﹣2m）﹣4×m×（1﹣3m）＝（1﹣4m）＞0， ∴1﹣4m≠0， ∴m≠，
∴m的取值范围为m≠0且m≠；
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②|AB|＝|xA﹣xB|＝
＝＝＝
＝||＝|﹣4|，
∵＜m≤8， ∴≤＜4， ∴﹣
≤﹣4＜0，
，
，
∴0＜|﹣4|≤
∴|AB|最大时，|﹣4|＝
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解得：m＝8或m＝（舍去），
，
∴当m＝8时，|AB|有最大值
此时△ABP的面积最大，没有最小值， ∵抛物线y＝mx+（1﹣2m）x+1﹣3m， ∴y＝m（x﹣2x﹣3）+x+1，
抛物线过定点说明在这一点y与m无关， 显然当x﹣2x﹣3＝0时，y与m无关， 解得：x＝3或x＝﹣1， 当x＝3时，y＝4， 定点坐标为（3，4）；
当x＝﹣1时，y＝0，定点坐标为（﹣1，0）， ∵P不在坐标轴上， ∴P（3，4），
则面积最大为：|AB|yP＝×
×4＝
．
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【点评】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式以及最值问题等知识，本题难度较大．
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