三角形的证明二经典讲义

第二章三角形的证明

1．等腰三角形

一、主要知识点

1、 证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有HL)及全等三角形

的性质是对应边相等，对应角相等。 2、 等腰三角形的有关知识点。

等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。〔三线合一〕

3、 等边三角形的有关知识点。

判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； 三条边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都是60°的三角形是等边三角形； 有两个叫是60°的三角形是等边三角形。 性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°。

4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出 与定义、公理、已证定理或条件相矛盾的结果，从

而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法

二、重点例题分析

例1: 如以下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点〔M与A不重合〕MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：MD=M A.

例2 如右图，△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.

例3： 如图：AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足, 求证: ① AC＝AD； ②CF＝DF。

例4 如图1、图2，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，

〔1〕在图1中，AC与BD相等吗？请说明理由〔4分〕 〔2〕假设△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达力2的位置，请问AC与BD还相等吗？为什么？ BB

CD

D AAOOC图1图2　1 / 11

三角形的证明二经典讲义

例5 如图，在△ABC中，AB=AC、D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且CE=BD，连结DE交BC于F。〔1〕猜测DF与EF的大小关系；〔2〕请证明你的猜测。

例6 证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角.

2．直角三角形

一、主要知识点

1、直角三角形的有关知识。

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 2、互逆命题、互逆定理

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 二、典型例题分析

例1 ：说出以下命题的逆命题，并判断每对命题的真假： 〔1〕四边形是多边形；

〔2〕两直线平行，同旁内角互补； 〔3〕如果ab=0,那么a=0,b=0；

〔4〕在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 例2：如图，ABC中，C90,12,CD35,BD，求AC的长。 22

例3 ：如下图的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。

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三角形的证明二经典讲义

CDB

A

例4：如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？

AA1B1BC

例5 ：如图2-5所示．在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P点，BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ．

一、主要知识点

1、 线段的垂直平分线。

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 2、 角平分线。

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 3、 逆命题、互逆命题的概念，及反证法

如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

二、重点例题分析

例1：〔1〕在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A＝40，求∠NMB的大小

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三角形的证明二经典讲义

〔2〕如果将〔1〕中∠A的度数改为70，其余条件不变，再求∠NMB的大小 〔3〕你发现有什么样的规律性？试证明之.

〔4〕将〔1〕中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改 A A A N N N B M B C M B C M

例2：在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于F，垂足为D，假设AC=6，BC=4，求△BCF的周长。

E C F A D B 0C

例3：如下图，AC=AD，BC=BD，AB与CD相交于点E。求证：直线AB是线段CD的垂直平分线。

A C D E B

例4：如下图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120，D、F分别为AB、AC的中点，DEAB，FGAC，

0

E、G在BC上，BC=15cm，求EG的长度。

A D F B E G C

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三角形的证明二经典讲义

例5:：如下图，Rt△ABC中，，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F。求证：BE垂直平分CD。

C E F A D B

例6:：在⊿ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN∥BC，与

∠ACB的角平分线交于点E，与∠ACB的外角平分线交于点F，求证：OE=OF A O M E F N 1 2 B C 例7、如下图，AB>AC，A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DEAB于E，DFAC于F，求证：BE=CF。

A E B M C F D

相应练习

1、 如图，在△ABC中，AB=AC=BC，AE= CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q。求证：BP=2PQ A

E P

Q

B C

D

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2、 如图，△ABC中，AB= AC，P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且BP=CQ，BQ=CR。 求证：点Q在PR的垂直平分线上。

A

R P

B Q C

3、 如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF。

求证：∠B=∠CAF

A

E

B D C F

4、 ：如图，AB∥CD，∠BAC的角平分线与∠DCA的角平分线交于点M，经过M的直线EF与AB垂直，垂

足为F，且EF与CD交于E 求证：点M为EF的中点

E D

C

M

A F B

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第二章三角形的证明单元训练题

一、精心选一选，慧眼识金〔每题3分，共30分〕

1．如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的方法是带〔 〕去配.

A. ① B. ② C. ③ D. ①和② 2．以下说法中，正确的选项是〔 〕.

A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D．面积相等的两个三角形全等

3．如图2，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm，BE=3cm，那么AC长为〔 〕.

A．4cm B．5cm C．8cm D．34cm

4．如图3，在等边ABC中，且BDCE，AD与BE相交于点P，那么12D,E分别是BC,AC上的点，的度数是〔 〕.

A．45 B．55 C．60 D．75

5．如图4，在ABC中，AB=AC，A36，BD和CE分别是ABC和ACB的平分线，且相交于点P. 在图4中，等腰三角形〔不再添加线段和字母〕的个数为〔 〕. A．9个 B．8个 C．7个 D．6个

00000

6．如图5，l1,l2,l3表示三条相互穿插的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，那么可供选择的地址有〔 〕.

A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 7．如图6，A、C、E三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是 等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结 论：① △ACE≌△DCB；② CM＝CN；③ AC＝DN. 其中，结论的个数是〔 〕.

A．3个 B．2个 C． 1个 D．0个

8．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A，C，E 在同一条直线上〔如图7〕，可以证明ABC≌

正确

EDC，得ED=AB. 因此，测得DE的长就是AB的长，在这里判定

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三角形的证明二经典讲义

ABC≌EDC的条件是( ).

A．ASA B．SAS C．SSS D．HL

9．如图8，将长方形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点E的 位置，BE交AD于点F. 求证：重叠局部〔即BDF〕是等腰三角形. 证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC

又∵BDE与BDC关于BD对称，

∴ 23. ∴BDF是等腰三角形.

请思考：以上证明过程中，涂黑局部正确的应该依次是以下四项中的哪两项？〔 〕. ①12；②13；③34；④BDCBDE A．①③ B．②③ C．②① D．③④

10.如图9，线段a，h作等腰△ABC，使AB＝AC，且 BC＝a，BC边上的高AD＝h. 张红的作法是：〔1〕作线段 BC＝a；〔2〕作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相 交于点D；〔3〕在直线MN上截取线段h；〔4〕连结AB， AC，那么△ABC为所求的等腰三角形.

上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是〔 〕.

A. 〔1〕 B. 〔2〕 C. 〔3〕 D. 〔4〕 二、细心填一填，一锤定音〔每题3分，共30分〕

1．如图10，，在△ABC和△DCB中，AC=DB，假设不增加任何字母与辅助线，要使 △ABC≌△DCB，那么还需增加一个条件是____________.

2．如图11，在RtABC中，BAC90,ABAC，分别过点B,C作经过点A的直线的垂线段BD，CE，假设BD=3厘米，CE=4厘米，那么DE的长为_______.

0图8

3．如图12，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，那么∠ABC等于_________度. 4．如图13，在等腰ABC中，AB=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，假设BCE 的周长为50，那么底边BC的长为_________. 5．在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50，那么 底角B的大小为________.

6．在?证明二?一章中，我们学习了很多定理，例如：①直角三角形两条直角边的平方和 等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段 垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的 距离相等.在上述定理中，存在逆定理的是________.(填序号)

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0三角形的证明二经典讲义

7．如图14，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，点B 与点A重合，折痕为DE，那么CD的长为________.

8．如图15，在ABC中，AB=AC，A120，D是BC上任意一点，分别做DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如果BC=20cm，那么DE+DF= _______cm.

0

9．如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°，DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC 于点E，假设BE4，那么AC_______ .

10．如图17，有一块边长为24m的长方形绿地，在绿地旁边B处有健身

器材， 由于居住在A处的居民践踏了绿地，小颖想在A处立一个标 牌“少走_____步，踏之何忍？〞但小颖不知在“_____〞处应填什么

数字，请你帮助她填上好吗？〔假设两步为1米〕？ 三、耐心做一做，马到成功〔本大题共48分〕

1．〔7分〕如图18，在ABC中，ACB90，CD是AB边上的高，

0A300. 求证：AB= 4BD.

2．〔7分〕如图19，在ABC中，C90，AC=BC，AD平分CAB 交BC于点D，DE⊥AB于点E，假设AB=6cm. 你能否求出BDE的 周长？假设能，请求出；假设不能，请说明理由.

3．〔10分〕如图20，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点， BE与CD相交于O点. 现有四个条件：①AB＝AC；②OB＝OC；

③∠ABE＝∠ACD；④BE＝CD.

(1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题： ．．命题的条件是 和 ，命题的结论是 和 (均填序号). (2)证明你写出的命题. ： 求证：

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0三角形的证明二经典讲义

证明：

4．〔8分〕如图21，在ABC中，A90，AB=AC，ABC的 平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E. 求证：CE

5．〔8分〕如图22，在ABC中，C90.

〔1〕用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等. 〔保存作图痕迹，不写作法和证明〕；

〔2〕当满足〔1〕的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数.

6．〔8分〕如图23，AOB90，OM平分AOB，将直角三角板的顶 点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问 PC与PD相等吗？试说明理由.

四、拓广探索〔本大题12分〕

如图24，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N， 交BC的延长线于点M，假设A40. 〔1〕求NMB的度数；

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图24

00001BD. 2图21

图23

三角形的证明二经典讲义

〔2〕如果将〔1〕中A的度数改为70，其余条件不变，再求

0NMB的度数；

〔3〕你发现有什么样的规律性，试证明之；

〔4〕假设将〔1〕中的A改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？

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