利用极坐标解圆锥曲线题

利用极坐标解题

知识点精析： 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条

定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹．

以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：  其中p是定点F到定直线的距离，p＞0 ． 当0＜e＜1时，方程表示椭圆；

当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；

当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.

ep.

1ecos

引论（1）若 ep

1+ecos则0＜e＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若ep

1-esin当 0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线

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（3）ep

1+esin当 0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编

（1）二次曲线基本量之间的互求

10表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。

53cos3102解法一：53

331cos1cos55310e，P

53例1.（复旦自招）确定方程25c33aca5a58 2b105ac10c153383cb(2521525)() 88231525方程表示椭圆的离心率e，焦距，长轴长，短轴长5

544解法二：转化为直角坐标

（2）圆锥曲线弦长问题

若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，

epep2ab2a2b2c1、椭圆中，p，MN.

1ecos1ecos()a2c2cos2cc若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A、B两点，求弦长。

解：连结，设，由椭圆定义得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，则弦长

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。

同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距） 结论：椭圆过焦点弦长公式：

2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。）

epep2ab2若M、N在双曲线同一支上，MN； 2221ecos1ecos()accosepep2ab22若M、N在双曲线不同支上，MN 221ecos1ecosccosa设双曲线，其中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|。 解：（1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A、B在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得，由余弦定理可得整理可得，同理，则可求得弦长

。

（2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、B在两支上，连，设，则，，由余弦定理可得，

整理可得，则

因此焦点在x轴的焦点弦长为

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同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式

其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角。

3、抛物线中，MNpp2p 21cos1cos()sin若抛物线与过焦点的直线相交于A、B两点，若的倾斜角为，求弦长|AB|？（图4）

解：过A、B两点分别向x轴作垂线为垂足，设，，则点A的横坐标为，点B横坐标为，由抛物线定义可得 即

则

同理的焦点弦长为

的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为

例2． 已知抛物线y2=2px（p>0），过其焦点且斜率为k的直线交抛物线于A，B两点，求AB长.

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x2y2-1的右焦点，引倾斜角为的直线，交双曲线与A、B两点，练习1：．过双曲线

453求 ｜AB｜解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系

5即得 A(1,),B(2,)23cos 33 5580||AB|12|

23cos23cos()7 33

附录直角坐标系中的焦半径公式

设P（x,y）是圆锥曲线上的点，

1、若F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则PF1aex，PF2aex； 2、若F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，

当点P在双曲线右支上时，PF1exa，PF2exa； 当点P在双曲线左支上时，PF1aex，PF2aex； 3、若F是抛物线的焦点，PFx利用弦长求面积

p. 2x2y21的右焦点的弦AB=8，求三角形AOB的面积。 例3．设过椭圆

2516

x2y2练习2．（08年海南卷）过椭圆1的焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于

54A，B两点，O为坐标原点，求AOB的面积．

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简解：首先极坐标方程中的焦点弦长公式|AB|2ep求弦长，然后利用公式

1e2cos2SAOB1|AB||OF|sinAFO直接得出答案。 2x2练习3．(2005年全国高考理科)已知点F为椭圆y21的左焦点.过点F的直线l1与椭

2圆交于P、Q两点，过F且与l1垂直的直线l2交椭圆于M、N两点，求四边形PMQN面积的最小值和最大值.

22解析：以点F为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为： 21cos2设直线l1的倾斜角，则直线l2的倾斜角为90，由极坐标系中焦点弦长公式知： |PQ|0211cos22，|MN|211cos2(900)2211sin22

用他们来表示四边形的面积

111 |PQ|g|MN|11211222singcossin2242161即求的最大值与最小值

11sin2221616由三角知识易知：当sin21时，面积取得最小值；当sin20时，面积取得最大

9值2 S

利用弦长公式解决常量问题

x2y221(ab0)2b例4．过椭圆a的左焦点F，作倾斜角为60的直线l交椭圆于A、B

两点，若

FA2FB，求椭圆的离心率.

简解：建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。 设椭圆的极坐标方程为epepep则FA， ,FB1ecos1ecos6001ecos2400∴

epep，解得e2；

23ee1122 Word 资料

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练习4．求过椭圆距离。

2的左焦点，且倾斜角为的弦长AB和左焦点到左准线的

43cos2123解：先将方程化为标准形式： 则离心率e，ep，

1331cos3p2 所以左焦点到左准线的距为2。

设A(1,5)，代入极坐标方程，则弦长

442224 AB125173cos3cos44),B(2,（3）定值问题 例5. 抛物线

11y22px(p0)的一条焦点弦被焦点分为a,b的两段，证明：定值。

ab解：以焦点F为极点，以FX轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为

p，设A(a,),B(b,)

1cos将A,B两点代入极坐标方程，得app,b

1cos1cos()则

111cos1cos()2==（定值）

pppab点睛：引申到椭圆和双曲线也是成立的。 推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有

112 MFNFep11为定值。 ABCD例6．经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦AB和弦CD,求证

证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为ep，又设

1ecos3A1,1,B2,+,C3,+,D4,+则代入可得

222ep2ep112-e2|AB|，|AB|则 =1e2cos21e2sin2ABCD2ep注释。此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。注意使用的范围。

推广1若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。需要以原点为极点建立极坐标方程。

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推广2若不取倒数，可以求它们和的最值。

x2y21，点F是其左焦点，在椭圆上任例7．(2007重庆理改编)中心在原点O的椭圆

3627取三个不同点P1,P2,P3使∠P1FP2∠P2FP3∠P3FP1120． 证明：

0111为定值，并求此定值． FP1FP2FP39，设点P1对应

2cos0解析：以点F为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：0的极角为，则点P2与P3对应的极角分别为120、120，P1、P2与P3的极径就分别是|FP1|

999|FP2| |FP|、与 ，32cos(1200)2cos(1200)2cos2cos2cos(1200)2cos(1200)111因此，而在三999FP1FP2FP3角函数的学习中，我们知道coscos(120)cos(120)0，因此

001112为定值 FP1FP2FP33点睛：极坐标分别表示|FP1|、|FP2|与|FP3|，这样一个角度对应一个极径．就不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点．

推广： 若放在抛物线和双曲线中是否成立呢？

x2y21的右焦点为F，P1，P2，…，P24为24个依例8．（2006全国联赛江苏）椭圆

2516逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P1是椭圆的右顶点，并且∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP4=…=∠P24FP1.若这24个点到右焦点的距离的倒数和为S，求S的值．

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推广: 设P1P2P3LPn是椭圆上的n个点，且FP1,FP2,FP3LFPN圆周角等分则也为定值 作业

22（2003年希望杯竞赛题）经过椭圆x2y21(ab0)的焦点F1作倾斜角为60°的直线和

abOPi=1n12i椭圆相交于A，B两点，|AF1|2|BF1|． （1）求椭圆的离心率e； （2）若|AB|

15，求椭圆方程 4 Word 资料