导数中的分类讨论问题题目

分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答；同时，分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须遵守分类讨论的原则： (1)不重不漏．

(2)标准要统一，层次要分明．

(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 同时遵守解分类问题的步骤：

(1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论． (2)对所讨论的对象进行合理的分类．

(3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决． (4)归纳总结，将各类情况总结归纳

有关分类讨论的导数数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归为以下四种：1、因为未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；2、在求极值点的过程中，涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定而引起的分类；3、极值点的大小关系不定而引起的分类；4、极值点与区间的关系不定而引起分类。几种类型都围绕着解方程展开，函数解析式都带有参数，能否解决问题主要是看能否准确的找到分点，对参数进行准确的分类。以下就如何准确的找到以上四种类型的分点进行分析和探讨。

题型一、 未知数的系数与零的关系不定：这一类问题的特点是，求出导函数之后导函数中

自变量的系数有参数。其值可能为零，因此必须分为等于零和不等于零两种，分点为零（如果是二次方程应该更具体的分为三种：①a=0，②a>0,③a<0） 例1.已知函数f(x)(a1)lnxax1.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)设a≤－2，求证：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|. 题型二、 在求极值点的过程中，涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定而引起的分类； 这一类问题的特点是导函数是二次函数或者与二次函数有关，相应方程是一元二次方程或者可以转化成一元二次方程来求解。令△=0，求分点。

例2.已知函数f(x)xxalnx，(aR)，讨论f(x)在定义域上的单调性。 题型三、极值点的大小关系不定而引起的分类；这一类问题的特点是导函数为零的方程有解，但是几个根的大小关系不确定，分不了区间。因此必须分类讨论，令几个根相等求分点。

例3.已知函数f(x)lnx,g(x)f(x)ax2bx,其中g(x)的函数图象在点(1,g(1))处的切线平行于x轴。

（1）确定a与b的关系；

（2）若a0，试讨论函数g(x)的单调性；

22（3）设斜率为k的直线与函数f(x)的图象交于两点A(x,y),B(x,y)(xx)，证明：

11221211

k。x2x1题型四、 极值点与区间的关系不定而引起分类：这一类问题的特点是求出极值点后，极值

点与定义域的关系不明确，所以必须分类。通过令极值点等于定义域端点值求分点。 例4.设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．

变式1.已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x. (1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性．

(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[2，e]上有两个不等解，求a的取值范围． 变式2.已知函数f(x)xlnxx.

（I）求函数yf(x)的图像在xe处的切线的方程； （II）设实数a>0,求函数g(x)=f(x)+x在[a,2a]上的最大值M(a). a