2018-2019学年江苏省南通市崇川区启秀中学八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）在A．1个
B．2个
中，分式的个数有（ ） C．3个
D．4个
2．（3分）下列运算中，可以运用平方差公式的是（ ） A．（2+a）（﹣2﹣a） C．（﹣a+b）（a﹣b）
3．（3分）下面计算正确的是（ ） A．（﹣3a）＝9a C．a+a＝a 4．（3分）下列等式：①有（ ）个． A．1
B．2
C．3
D．4
；②
5
5
103
2
5
B．（a+
2
）（﹣a）
2
D．（a﹣b）（a+b）
B．xx＝x
3
3515
2
D．（﹣a）÷（﹣a）＝a
；③
；④
中，成立的
5．（3分）如图，用代数式表示阴影部分面积为（ ）
A．ac+（b﹣c）c C．ac+bc
2
B．（a﹣c）（b﹣c）
D．a+b+2c（a﹣c）+（b﹣c）
2
6．（3分）已知（x﹣3）（x﹣mx+n）的乘积中不含x项和x项，则m，n的值分别为（ ） A．m＝3，n＝9
B．m＝3，n＝6
C．m＝﹣3，n＝﹣9 D．m＝﹣3，n＝9
7．（3分）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠B＝50°，∠AEC＝120°，则∠DAC的度数等于（ ）
A．120°
B．70°
C．60°
D．50°
8．（3分）三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（ ） A．三条中线的交点 C．三条高的交点
B．三边垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点
9．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝6cm， 则BF＝（ ）cm．
A．8
B．9
C．12
D．18
10．（3分）如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．3个以上
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11．（3分）当x满足条件 时，分式
有意义．
12．（3分）将点A（3﹣a，2+3a）向左平移4个单位的长度得到点A′，且点A和点A′关于y轴对称，则a＝ ． 13．（3分）已知等腰三角形的周长为24，一边长为6，则另外两边的长是 ． 14．（3分）把多项式x+ax+b分解因式，得（x+2）（x﹣4），则a+b＝ ． 15．（3分）不改变分式
的值，把它的分式和分母中的各项的系数都化为整数，则所得结果为 ．
2
2
2
16．（3分）已知x+y＝5，xy＝1，则x+y＝ ；x﹣y＝ ．
17．（3分）如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是边PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝46°，则∠P的度数为 ．
18．（3分）在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这种性质的点P有 个．
三、解答题（共8小题，满分96分） 19．（12分）计算： （1）
；
（2）
（3）（x﹣y+2z）；
2
；
（4）3（x+1）（x﹣1）﹣2（x﹣1）． 20．（12分）因式分解： （1）4x﹣16；
（2）3（a+1）（a﹣1）﹣2（a﹣1）； （3）﹣12x
n+1
2
2
2
+2x
n+2
+18x；
2
n
（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）．
21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）． （1）如图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）．A1 B1 C1 ； （3）求△ABC的面积．
22．（10分）若
＝1．
（1）请用含x的代数式表示y； （2）如果x＝4，求此时y的值．
23．（12分）如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连结AE． （1）求证：AE∥BC；
（2）点D在AB的延长线上，仍以CD为边作等边三角形CDE，使得E、A在直线DC的同侧，那么AE和BC还平行吗？画图证明你的判断．
24．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝ ； （2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝ ； （3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示；
（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，井说明理
由．
25．（12分）【观察】1×29＝29，2×28＝56，3×27＝81，…；13×17＝221，14×16＝224，15×15＝225，16×14＝224，17×13＝221，…，27×3＝81，28×2＝56，29×1＝29 【发现】根据你的阅读回答问题：
（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为 ；
（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是 ． 【类比】观察下列两数的积：1×49，2×48，3×47，4×46，…，m×n，…，46×4，47×3，48×2，49×1．猜想m的最大值为 ．并用你学过的知识加以证明．
26．（14分）如图，在RT△GMN中，∠M＝90°，P为MN的中点．
①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM＝∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②在①的条件下，如果∠G＝60°，那么Q是GN的中点吗？为什么？
2018-2019学年江苏省南通市崇川区启秀中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．【解答】解：在分式有：故选：B．
2．【解答】解：A、只有相反项，没有相同项，不能运用平方差公式计算，故本选项错误； B、符合平方差公式的结构，可以运用平方差公式计算，故本选项正确； C、只有相反项，没有相同项，不能运用平方差公式计算，故本选项错误； D、既没有相同项，也没有相反项，不能运用平方差公式计算，故本选项错误； 故选：B．
3．【解答】解：（﹣3a）＝9a，故选项A不合题意； xx＝x，故选项B不合题意； a+a＝2a，故选项C不合题意；
（﹣a）÷（﹣a）＝a，正确，故选项D符合题意． 故选：D． 4．【解答】解：∵
＝
＝﹣
，
3
2
5
5
5
35
8
3
2
6
，，，，中，
，，共2个，
∴①④成立，②③不成立， 故选：B．
5．【解答】解：阴影部分的面积是ac+bc﹣c， A、ac+（b﹣c）c＝ac+bc﹣c，故本选项符合题意；
B、（a﹣c）（b﹣c）是空白部分的面积，不是阴影部分的面积，故本选项不符合题意； C、ac+bc不是阴影部分的面积，故班选项不符合题意；
D、a+b+2c（a﹣c）+b﹣c＝a+2b﹣2c﹣c不能阴影部分的面积，故本选项不符合题意； 故选：A．
6．【解答】解：（x﹣3）（x﹣mx+n） ＝x﹣mx+nx﹣3x+3mx﹣3n
3
2
2
2
2
2
2
＝x+（﹣m﹣3）x+（n+3m）x﹣3n，
∵（x﹣3）（x﹣mx+n）的乘积中不含x项和x项， ∴﹣m﹣3＝0，n+3m＝0， 解得：m＝﹣3，n＝9， 故选：D．
7．【解答】解：∵AB＝AC，AD＝AE，∠B＝50°，∠AEC＝120°， ∴∠AED＝∠ADE＝60°，∠EAC＝60°﹣∠C＝60°﹣50°＝10°， ∴∠DAC＝60°+10°＝70°． 故选：B．
8．【解答】解：三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的三边垂直平分线的交点， 故选：B．
9．【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD是△ABC的中线， ∴S△ABC＝2S△ABD＝2×∵S△ABC＝∴
AC•BF，
AB•DE＝AB•DE＝6AB，
2
2
32
AC•BF＝6AB，
∵AC＝AB， ∴
BF＝6，
∴BF＝12． 故选：C．
10．【解答】解：如图在OA、OB上截取OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°．
∵OP平分∠AOB， ∴∠EOP＝∠POF＝60°， ∵OP＝OE＝OF，
∴△OPE，△OPF是等边三角形，
∴EP＝OP，∠EPO＝∠OEP＝∠PON＝∠MPN＝60°， ∴∠EPM＝∠OPN， 在△PEM和△PON中，
，
∴△PEM≌△PON．
∴PM＝PN，∵∠MPN＝60°， ∴△PNM是等边三角形，
∴只要∠MPN＝60°，△PMN就是等边三角形， 故这样的三角形有无数个． 故选：D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11．【解答】解：分式解得：x≠3． 故答案为：x≠3．
12．【解答】解：∵将点A（3﹣a，2+3a）向左平移4个单位的长度得到点A′， ∴A′（3﹣a﹣4，2+3a）， 即A′（﹣a﹣1，2+3a）， ∵点A和点A′关于y轴对称， ∴3﹣a+（﹣a﹣1）＝0， 解得：a＝1． 故答案为：1．
13．【解答】解：当腰为6时，底边长＝24﹣6﹣6＝12cm，6，6，12不能构成三角形； 当底为6时，三角形的腰＝（24﹣6）÷2＝9，6，9，9能构成三角形，其他两边长为9，9． 故答案为：9，9
14．【解答】解：∵x+ax+b＝（x+2）（x﹣4）， ∴（x+2）（x﹣4）＝x﹣2x﹣8，
22
有意义，则x﹣3≠0，
故a＝﹣2，b＝﹣8， 则a+b＝﹣10． 故答案为：﹣10． 15．【解答】解：故答案为
．
＝
＝
．
16．【解答】解：∵x+y＝5，xy＝1， ∴（x+y）＝x+y+2xy＝25，
则x+y＝25﹣2xy＝25﹣2＝23，（x﹣y）＝x+y﹣2xy＝23﹣2＝21，即x﹣y＝±故答案为：23；±
．
2
2
2
2
2
2
2
2
，
17．【解答】解：∵PA＝PB， ∴∠A＝∠B，
在△AMK和△BKN中，
，
∴△AMK≌△BKN（SAS）， ∴∠AMK＝∠BKN，
∵∠MKB＝∠MKN+∠NKB＝∠A+∠AMK， ∴∠A＝∠MKN＝46°，
∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝88°， 故答案为：88°．
18．【解答】解：如图，等边三角形AB边的垂直平分线上可作3个点P，
同理：AC、BC上也分别有3个点，另外，△ABC的外心也是满足条件的一个点， 所以，共有3+3+3+1＝10个． 故答案为：10．
三、解答题（共8小题，满分96分）
19．【解答】解：（1）＝；
（2）＝＝
（3）（x﹣y+2z）＝x+y+4z﹣2xy+4zx﹣4yz；
（4）3（x+1）（x﹣1）﹣2（x﹣1） ＝（x﹣1）（3x+3﹣2x+2） ＝（x﹣1）（x+5） ＝x+4x﹣5．
20．【解答】解：（1）原式＝4（x2﹣4）＝4（x+2）（x﹣2）； （2）原式＝（a﹣1）[3（a+1）﹣2（a﹣1）]＝（a﹣1）（a+5）； （3）原式＝2x（﹣6x+x+9）＝2x（x﹣3）； （4）原式＝[3（x﹣y）+2]＝（3x﹣3y+2）． 21．【解答】解：（1）如图所示：
2
2
n
2
n
2
2
2
2
2
2
2
•；
（2）A1（﹣1，2），B1（﹣3，1），C1（2，﹣1）．
（3）△ABC的面积＝3×5﹣
×3×3﹣
×2×1﹣
×5×2＝
．
22．【解答】解：（1）∵∴x＝a+1，y＝a+3， 则a＝x﹣1， ∴y＝a+3 ＝（a）+3 ＝（x﹣1）+3 ＝x﹣2x+4， 即y＝x﹣2x+4；
（2）当x＝4时，y＝16﹣2×4+4 ＝16﹣8+4 ＝12．
23．【解答】证明：（1）∵△ABC和△DEC是等边三角形， ∴BC＝AC，CD＝CE，∠ABC＝∠BCA＝∠ECD＝60°， ∴∠BCA﹣∠DCA＝∠ECD﹣∠DCA， 即∠BCD＝∠ACE， 在△ACE和△BCD中，
22
2
m
22mm
m
2m
＝1，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴∠EAC＝∠ABC＝60°＝∠ACB， ∴AE∥BC； （2）还成立， 理由如下： 如图，
∵△ABC和△DEC是等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠ABC＝∠BCA＝∠ECD＝60°， ∴∠BCA+∠DCA＝∠ECD+∠DCA， 即∠BCD＝∠ACE， 在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴∠EAC＝∠ABC＝60°＝∠ACB， ∴AE∥BC；
24．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠BAD＝30°， ∴∠CAD＝∠BAD＝30°， ∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝75°， ∴∠EDC＝15°，
故答案为：15°；
（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠BAD＝40°， ∴∠CAD＝∠BAD＝40°， ∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝70°， ∴∠EDC＝20°， 故答案为：20°； （3）∠BAD＝2∠EDC； （4）仍有上述关系， 理由如下，∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED，
∵∠BAD+∠B＝∠ADE+∠EDC，∠AED＝∠EDC+∠C， ∴∠BAD+∠B＝∠EDC+∠C+∠EDC＝2∠EDC+∠C ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠BAD＝2∠EDC．
25．【解答】解：【发现】（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为225． 故答案为225；
（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是a+b＝30． 故答案为a+b＝30；
【类比】由题意，可得m+n＝50， 将n＝50﹣m代入mn，
得m（50﹣m）＝﹣m+50m＝﹣（m﹣25）+625， ∴m＝25时，mn的最大值为625． 故答案为625． 26．【解答】解：①如图：
2
2
作点P关于GN的对称点P′，连接P′M交GN于点Q，连接PQ，点Q即为所求．
②Q是GN的中点．理由如下： ∵∠G＝60°，∠GMN＝90°， ∴∠N＝30°，
∵点P与点P′关于GN对称，PO⊥GN， ∴OP＝OP′ ∴OP＝OP′＝
PN
∴PP′＝PM＝PN ∴∠1＝∠2 ∵∠NPO＝60°， ∴∠1＝∠2＝30°， ∴∠2＝∠N， ∴QM＝QN，
∵∠G＝∠QMG＝60°， ∴QG＝QM， ∴QG＝QN， ∴Q是GN的中点．
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