解题技巧与方法 ● ∞●● ·● 颡· 凹 健在．高中数学雅 或鳙题咿渤拔坜分揣 ◎胡泽炎（湖北省荆州中学，湖北荆州４３４０００） 【摘要】不等式的证明是高中数学的一个重要内容，它 综合利用了许多数学知识．函数的凹凸性对于不等式的证 明起到了重要作用，本文将分析函数凹凸性在解题过程中 的一些技巧． 【关键词】凹凸性；不等式；技巧 一图１ 图２ 当定义中等号恒不成立时，我们称此函数在［。，ｂ］上是 、引言 严格上凸的（或严格下凸的）．从图１和图２也容易看出，对 高中数学一个重要内容就是不等式，这部分内容的综 合性强，难度大…．我们知道，反映客观事物的基本数量的 关系式可以用等式关系和不等式关系进行表示，而相对于 等式关系，不等式描述了事物在数量关系上的大小，是表示 了关于实际生活中的不等关系的数学模型，如何建立不等 于上凸函数（图１），定义域上的两点 ， ：的中点Ｍ对应的 曲线上的点Ｑ在相应的线段上的点Ｐ的上方；对于下凸函数 （图２），定义域上的两点 ， 的中点 对应的曲线上的点 Ｑ在相应的线段上的点Ｐ的下方．函数的凹凸性是函数自身 具有的一种性质，能将函数图像的变化趋势描述得更加精 确．另外，我们从上述图像还容易看出具有凹凸性的函数有 下面的性质． 关系，以及利用不等关系来解决现实问题，是高中以及将来 在大学的学习会经常遇到的问题之一，所以高中的学习中 学生要不断地积累不等式的基本内容和解题技巧．在解决 这些问题时，通常需要综合利用函数、方程、导数、数列等相 关知识．不等式能很好体现数学的思想和方法，这些思想方 法包括转换变量、数形结合、分类讨论，而这些思想刚好是 高中数学里最重要的思想，贯穿整个高中数学．本文将以高 考中常遇到的相关题型为例，探讨不等式解题的基本技巧 和方法，为同学们的学习提供一些帮助． 二、凹凸性的证明技巧 性质１ 设函数＿厂（ ）为区间，上的可导函数，则下面的 结论互相等价： （１）＿厂（ ）为区间，上的下凸函数；（２ （ ）为区间，上 的增函数；（３）对区间，上的任意两点 ， ：，有，（ ：）≥ ，（ １）＋厂（ １）（ ２一 １）． 从上述结论（３）我们可以理解为：曲线总是在它的任一 切线的上方，这是可导下凸函数的几何特征．对于上凸函 数，同样有类似的结论． 性质２设，（ ）为区间，上的二阶可导函数，则 ）在 解不等式的过程就是应用不等式的一些性质对不等式 做等价转换的过程，证明不等式时，需要应用不等式性质和 一区间，上为下凸（或上凸）函数的充要条件是尸（ ）≥０（或 尸（ ）≤０）， ∈ 些重要的不等式对不等式做同解变形或放缩到合适的位 利用函数的凹凸性，可以得到下面的Ｊｅｎｓｅｎ不等式： 置，再应用其他知识做综合考查．我们要注意，在解题过程 中要善于对问题进行转化，转化成解不等式或不等式证明 来解决，这充分体现了在高中数学的学习中不等式的工具 性特点．下面是一些高考数学中最常遇到的不等式：基本不 等式、柯西不等式、绝对值不等式（或三角不等式）、排序不 等式等．另外，在很多时候，还会利用函数的凹凸性去求解 或者证明不等式．下面给出函数凹凸性的定义，在一些教材 和参考书里，函数的凹凸性也被定义为上凸和下凸，本文采 用上凸和下凸的定义，因此，这从图形更好地去理解． 设，（ ）为［ｏ，ｂ］上的下凸（或上凸）函数，则对任意 Ｅ［口，６］，九＞０，ｉ＝１，…，ｎ，∑Ａ ＝１，有 ｆ＝ｌ ，（∑Ａ ）≤∑Ａ ） 、‘＝ｌ ， ｌ＝ｌ ， ｎ ｔ （或厂《∑Ａ ）≥∑Ａ ））． 当选取合适的函数时，Ｊｅｎｓｅｎ不等式可以退化为基本 不等式 Ｊ．函数的凹凸性常出现在高考数学中，所以熟练掌 定义 设Ｉ厂（ ）在［。，ｂ］上连续，若对［ｏ，ｂ］中任意两 握函数的凹凸性，对于我们解题起到了很大的帮助，在复习 时要根据自己掌握的情况合适地选择性了解或掌握．下面 我们给出一个例子，以帮助大家理解函数凹凸性在证明不 等式中的具体应用． 例１ 已知 ＞ｂ＞ｃ＞０，求证Ⅱ。ｂ ｃ。＞（口ｂｃ） ． 点 。， ：，恒有 、 Ｚ ，１ ≥ 、 Ｚ ，１ ≤ 二 ‘ ，则称，（ ）在［。， ｂ］上是向上凸的，简称上凸（如图１所示）；若恒有 ，则称，（ ）在［。，６］上是向下凸 的，简称下凸（如图２所示）． 学学习与研究２０１８．５ （下转１０９页） 解题技巧与方法 ●● 。 ● · 体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）． 定ＡＡ ，ＤＤ。， 。Ｃ。的中点Ｅ，Ｆ，Ｇ，侧视图和俯视图确定点 Ｂ，Ｃ，从而还原几何体为Ｇ—ＥＦＣＢ，过Ｇ作ＧＨ１ＦＣ于Ｈ，故 可得体积为 ＝ １腓。·ＧＨ＝１６． 练习（２０１６·湖北华师一附中３月联考）如图所示， ）． １ｒ 醴 艄 ｆ上接１Ｏ７页Ｊ 网格纸＿ｌ：ｄ，ｉＥ方形的边长为１，粗实线及粗虚线画出的是某 多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（ Ａ－８１Ｔ Ｂ ｃ．１２竹 Ｄ． ４１【解析】如图所示，综合法．正视图可去点Ａｔ，Ｄ ，侧视 图可去点Ａ，Ｂ，Ａ。，Ｂ ，俯视图确定ＡＡｌ，ＢＢ。的中点Ｅ，Ｆ，正 视图确定点ｃ，ｃ。，从而还原几何体为ｃ。一ＥＦＣＤ，通过计算 可得外接球表面积为 解 我们发现，式子左端出现 ，于是我们取常用对 数，构造函数－厂（ ）＝ ｌ ．因为厂（ ）＝ｌ＋ｌ似 （ ）＝ 土＞０，，（ ）＝ｓｉｎｘ为上凸函数，因此 Ａ）＋，（ ）＋，（Ｃ）≤ ）脚ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ￣＜３ｓｉｎ（ ，）＝ 所以函数 ）： ｌｍ在定义域内是下凸的，则由 当且仅当Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝下．ＩＴ时等号成立，此时三角形为 Ｊｅｎｓｅｎ不等式，得 半）＜÷［，（口）＋ ６）＋ｆ（ｃ）］， 即半ｌｎ学＜÷（ 。＋６ｌｎ６＋ｃｌｎｃ）’从而 了１ ｎ（半） ¨ ＜ ｃ （半） ¨ ＜ 口ａｂ 。ｃ，由基本不等式垡＿ ｄ＋ｔｔ＋ｃ 等边三角形． 三、小 结 在高中数学的学习中，对函数的凹凸性可以逐渐掌握， ＞ ，所以ａａｂ ｃ ＞ 层层递进，在不同阶段掌握不同的解题方法，使得学生对数 学学科内容有一个拓展和加深，同时也可以让学生从简单 的对图形的认识，上升到理论上的解决问题的能力，以培养 学生的数学素质和数学思想． （口ｂｃ）丁． 由于Ｊｅｎｓｅｎ不等式推广了一些常用的不等式，为了让 大家更好地了解Ｊｅｎｓｅｎ不等式，下面给出一道例题以供大 家参考． 例２ 设有三角形ＡＡＢＣ，证明ｓｉｎＡ＋ｓｉｎ／］＋ｓｉｎＣ≤ ，【参考文献】 ［１］叶立军．初等数学研究［Ｍ］．上海：华东师范大学出 版社。２００８． ［２］郑立飞，吴养会，王洁．一道积分题的四种证明方法 ［Ｊ］．高等数学研究，２０１７（３）：４—５． 并确定什么时候等号成立． 解 设，（ ）＝ｓｉｎｘ，则厂（ ）＝一ｓｉｎｘ≤０，所以 ￡学学习与研究２０１８．５