2007数学物理方法B卷答案及评分标准

一、 填空题(每小题 3 分，共 42 分) 得分 评阅人 i 1. 复数z1的指数式为 e2.  18 19x2 (x5) dx 25 。 3. 复数z(1i)/(12i)可简化为 (-1+3i)/5 。 4. 二维拉普拉斯方程u0在xy平面直角坐标系中的表达式为2u/x22u/y20。 5. 若复变函数f(z)u(x,y)iv(x,y)可导，必满足 柯西－黎曼 条件，这个条件的数学表达式为u/xv/y、u/yv/x 6. 在z1的圆内，函数f(z)1的泰勒级数展开为______________ z1(1zz2) 7. 已知n1，l为任一回路，则(z)ndz 0 。 l第 1 页 共 6页

8. 拉普拉斯变换L[t1]1/p1/p2 (Re p0)。 9. 数学物理方程定解问题的适定性是指___解是存在的、唯一的和稳定的_____。 10. 一根两端(左端为坐标原点而右端xl）固定的弦，用手在离弦左端三分之一处把弦朝横向拨开距离h，然后放手任其振动。横向位移u(x,t)的初始条件为 u(x,0)3hx/l, (0xl/3) 和 u(x,0)3h(lx)/2l, (l/3xl) ;ut(x,0)0。 11. 偏微分方程uxx2uxyuyy2xux6yuyxy10的类型为 椭圆型 。 12. 若解析函数f(z)的实部为x2y2，则其虚部为 B) ，其中C为常数。 A) 2xyC C) 2x2yC 13. 复变函数f(z)B) 2xyC D) 2x2yC z2i有 D) 。 53z4zA) 两个单极点和一个三阶极点 B) 一个单极点，一个可去极点和一个三阶极点 C) 两个单极点和一个二阶极点 D)一个单极点和一个三阶极点 14. 判断下面的说法是否正确，正确的在题后的“（）”中打√，错误的打×。 （1）复变函数f(z)在区域内解析和可导等价。 （√） （2）uxy2xyuxxuyuxuy10是二阶非齐次的线性偏微分方程。（×） （3）洛朗级数中zz0的负幂项系数是某复变函数在点z0的留数。 （×） 二、 求解题 (每小题 10 分，共 50 分) 得分 评阅人 说明： （1） 需给出必要的文字说明和演算过程。 （2） 本题第5、6、7小题按专业只做其中一题，注意： a. 物理学与应用物理学专业考生只能在第5、6题中任选一题完成； b. 光信息专业考生则必须完成第7题。 第 2 页 共 6页

dz1. 用留数定理计算积分2。 (z4)(z2)|z|3解：被积函数f(z)其留数为 Resf(2)lim1dd11 ---(4分) (z2)2f(z)limz2(21)!dzz2dzz441在积分围线内只有一个两阶极点z2。 ---(3分) 2(z4)(z2)根据留数定理得 dz2iResf(2)i ---(3分) 22|z|3(z4)(z2) d2ydy2. 解常微分方程初值问题234y1,y(0)y'(0)0。注：可使用拉普拉斯变换，dtdt或其它任何方法。 解：拉普拉斯变换得 p2y(p)3py(p)4y(p)1/p ---(3分) 所以 y(p)1111111 ---(4分) p(p23p4)p(p4)(p1)20p45p14p 逆变换得 y(t)14t1t1ee ---(3分) 2054 第 3 页 共 6页

3. 设X(x)满足方程XX0和边界条件X(0)X(l)0，其中可为任意实数，试根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值。 解：可分为三种情况讨论： 1) 0，解为X(x)C1exC2ex，由X(0)0得C1C2，由X'(l)0得C1(elel)0，得C1C20，得到平庸解X(x)0，显然没有意义。 ----------------(3分) 2) 0，解为X(x)C1xC2，代入边界条件得C1C20，于是X(x)0仍然没有意义。 ----------------(2分) 3) 0，解为X(x)C1cosxC2sinx.,代入边界条件得 C10, C2cosl0.a) 当  的取值使得 cosl0 时，必有 C20 ，这和上两种情况一样没有意义。 b) 当  的取值使得 cosl0 时， C2 不必为零，这种是有意义的情况。此时由 cosl0 得到本征值: 1(n)(2n1)222l(n0,1,2,3,). 24l(2n1)x. 此时，本征解为X(x)C2sin2l----------------(5分) 4. 试写出达朗贝尔公式，并求解偏微分方程uttuxx0，初始条件为ut00,utt0xcosx。 2 解：若方程uttauxx0的初始条件为u|t0(x),ut|t0(x)，则其解为111xatu(x,t)(xat)(xat)()d，此即达朗贝尔公式。 xat222a ---------------(4分) 本题中，a1，(x)0，(x)xcosx，则 u(x,t)1xt1xtcosddsinxtxt2211xtxt sinxtsindxt221111xtsinxtxtsinxtcosxtcosxt2222 ----------------(6分) 第 4 页 共 6页

注意：以下5、6、7小题按专业只做一题，物理学与应用物理学专业的考生只能从5和6两小题中任选一题完成，光信息专业的考生则必须完成第7小题。 我是物理学或应用物理学专业的考生，选做 题。 2dx5. 用留数定理计算实积分 。 02sinx1dzdz解：做变换sinx(zz1),dx, 原积分化为I22 -----(4分) 2iiz|z|1z4iz1由z24iz10 得两个根z1(23)i,z2(23)i。但在积分围线|z|1内，只有点z1是被积函数f(z)1/(z24iz1)的单极点。 -----(2分) f(z)在点z1的留数为 Resf(z1)limzz1(zz1)f(z)1/(z1z2)1/(i23) -----(2分) 根据留数定理得 I22iResf(z1)2/3 -----(2分) 6. 解偏微分方程（常数a,均为正数）uttauxxcost;t0:uut0。 解：做未知函数变换将方程齐次化。令uvcost/，代入方程和初始条件得 22vtta2vxx0；t0:v1/2，vt0 ------(4分) 由达朗贝尔公式得 v(x,t)(1/21/2)/21/2 ------(4分) 最后 u(1cost)/2 ------(2分) 7. 已知l阶勒让德多项式Pl(x)的表达式为 1 11dlPl(x)l(x21)l l2l!dx计算P0(x)P2(x)dx。注意：0!1。 解：由已知可求得 P0(x)1 ---(2分) 以及 P2(x) 所以 113x21 ---(3分) 2 1P0(x)P2(x)dx1 12(3x1)dx 1211(x3x)|012 ---(5分)

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三、 证明题 (每题 8分，共 8 分) 得分 评阅人 1. 已知函数f(x)的傅里叶变换为F()，试证明f'(x)的傅里叶变换为iF()。 1F()证明：由于函数f(x)的傅里叶变换2则f'(x)的傅里叶变换为 ixf(x)edx， -----(2分) 1G()F[f'(x)]2f'(x)eixdx -----(2分) 11ix[f(x)e]22根据傅里叶积分定理，有limf(x)0且e|x|f(x)[eix]'dxix为有界量，于是，上式中的第一项为0。 -----(2分) 所以 1G()2f(x)[eix]'dx1i[2iF()f(x)eixdx] -----(2分)

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