第２８卷第１期 洛阳理工学院学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌｕｏｙａｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏｌ＿２８ Ｎｏ．１ Ｍａｒ．２０１８ ２０１８年３月 基于主成分回归的洛阳市区ＰＭ２．５污染状况研究 田玉柱，李景美，刘蒙蒙，王 军 （河南科技大学数学与统计学院，河南洛阳４７１０００） 摘要：为了探究影响洛阳市区ＰＭ２．５的主要因素，对ＰＭ１０、ＡＱＩ中其他监测指标、月平均温度等进行主成分 回归分析。首先对数据进行标准化处理，通过主成分分析得到３个主成分变量；其次对它们与ＰＭ２．５进行逐步 回归分析，得出０ 、ＰＭ１０和ＣＯ对ＰＭ２．５影响显著；最后，针对这几个影响因素，对洛阳市环保部门提出合理 性建议。 关键词：ＰＭ２．５；主成分回归；逐步回归 ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７４—５０４３．２０１８．０１．０１７ 中图分类号：Ｏ２１３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７４—５０４３（２０１８）０１—００８４—０５ 近年来，随着经济和社会的高速发展，我国工业化和城市化水平不断提高，雾霾问题正演变为我国 城市大气污染的主要灾害之一。随着洛阳市城市规模扩大、旅游业和工业迅速发展以及机动车辆猛增， 使得悬浮细颗粒物ＰＭ２．５大量增加…。洛阳环保部门在官方网站公布的数据显示，２０１６年１月４日 ＰＭ２．５曾经达到了８７９，污染问题亟待解决。 近些年学者对ＰＭ２．５、ＰＭ１０有不少研究，主成分回归分析法也灵活运用于研究中。王秦等人 用感 耦合等离子体质谱分析了ＰＭ２．５与空气中３６种元素含量的关系并将它们进行分级；金涛等人＿３ 运用改进 后的主成分回归分析法对产品外观进行评价；王翠云等人 应用主成分分析和多元回归分析法对空气质 量指数（ＡＱＩ）进行综合分析。张延军等人 运用主成分回归分析法研究烟叶评吸质量指标与外观质量指 标的关系。 本文运用多元回归分析和主成分回归方法，对洛阳市区２０１３年１１月到２０１６年８月ＡＱＩ、月平均温 度的数据进行分析，通过探究ＰＭ２．５与其他大气污染物ＰＭ１０、ＳＯ 、ＣＯ、ＮＯ 、Ｏ 及月平均温度之间的 关系，对空气污染状况进行有效评估，研究污染成因，提出有效防治措施。 １模型简介 １．１多元线性回归模型 设随机变量Ｙ与一般变量 ， …， 的线性回归模型为 ： Ｙ：卢０＋卢１ １＋卢２ ２＋… ＋卢ｐ ｐ＋ 。 式中：Ｙ是被解释变量， ， ：…， 是Ｐ个可以精确测量并可控制的一般变量，称为解释变量。因变量Ｙ由 两部分组成：一部分是误差项随机变量 ，另一部分是Ｐ个自变量的线性函数卢。＋ 。 。＋卢： ＋…； 是随机误差。 ＋ １．２主成分回归模型 分析多指标的问题，运用主成分分析方法对其进行降维，被普遍应用于各行各业的学术研究中。主 成分分析是先确定研究问题、选定变量，再选取几个线性无关且包含极可能多原始变量信息的新变量来 替换原始变量 。 收稿日期：２０１７—１２—１０ 作者简介：田玉柱（１９８２一），男，甘肃陇南人，博士，讲师，主要从事应用统计方面的研究 基金项目：国家自然科学基金项目（１１５０１１６７）． 第１期 田玉柱等：基于主成分回归的洛阳市区ＰＭ２．５污染状况研究 （１）对原始数据进行标准化 。消除不同变量量纲的影响，含Ｐ个指标的样本矩阵Ｘ＝（ 。 ） ， ｉ＝１，２…．，ｎ， ＝１，２，…，Ｐ的标准化值为： ＝｛ ，Ｅ（ 。）＝ 。，Ｅａｒ（Ｘｉ）＝ 。 。Ｒ是实对称矩阵（即ｒ‘ ＝ ）。 在ＳＰＳＳ软件中的实现过程“分析一描述统计一描述一将标准化得分另存为变量”。 （２）计算相关系数矩阵。ｒ （ √＝１，２，…，Ｐ）为原变量的 与 ，之间的相关系数，设变量 ， …， Ｘｐ的ｎ次观测数据阵Ｘ已标准化，其计算公式为：Ｒ＝ （３）计算相关矩阵Ｒ的特征值与特征向量。首先解特征方程：『 一Ａ，『＝０，求出特征值Ａ。≥Ａ ≥…．，≥Ａ ≥０，ａ ，ａ …ａ 为相应的单位正交特征向量。 （４）计算主成分贡献率及累计贡献率，确定主成分。主成分互的贡献率、累计贡献率分别为 ｋ＝Ｉ ∑Ａ ∑Ａ 一般取累计贡献率达８０％～８５％的特征值Ａ ，Ａ：…．，Ａ 所对应的第１，第２，…，第ｔ／ｌ，（ｍ≤Ｐ）个主 （５）建立主成分特征函数。 （６）使用主成分进行多元回归。计算因子得分，构建主成分回归方程。令Ｙ为因变量，多个因子 成分。 Ｆａｃ。，Ｆａｃ …，Ｆａｃ 为自变量，建立多元线性回归模型： Ｙ＝／３０＋／３ｌＦａｃ１＋ ２Ｆａｃ２＋…＋ＩＢ Ｆａｃ 。 再以Ｆａｃ。，Ｆａｃ：…．，Ｆａｃ 为因变量，分别与原来的Ｐ个自变量建立多元线性回归模型，得到最终的Ｙ 与ｍ个自变量的主成分回归模型。 ２洛阳市ＰＭ２．５污染状况的影响评价 ２．１数据来源及预处理 对洛阳市区２０１３年１ １月到２０１６年８月ＡＱＩ数据、月 平均温度进行分析，探究ＰＭ２．５与ＰＭ１０、ＳＯ：、ＣＯ、ＮＯ 、 Ｏ 、月平均温度这６个因素之间的关系 。通过ＳＰＳＳ软件 进行数据的统计分析¨ 。 令Ｘｌ：变量ＰＭ１０； ２：变量ＳＯ２； ３：变量ＣＯ； ４： 变量ＮＯ ； ：变量Ｏ３； ６：变量月平均温度； …… 为标准化的变量。ＰＭ２．５与ＰＭ１０、ＳＯ２、ＣＯ、ＮＯ２、Ｏ３、 月平均温度这６个因素之间的散点矩阵图如图１所示。 由图１可知各因素对ＰＭ２．５的影响呈现线性递增或递 。 。 ｏ 多。 籼 奄 建。 《 誉 。 。 、 甄。 营 嘞 岛 萼 减趋势，由于各因素之间也可能在大气中发生化学变化变成 其他物质，故同时需考虑各因素间的交叉作用及平方项对 ＰＭ２．５的影响。 墓 鑫ｏ ．图１各指标之间的散点矩阵图 ２．２多元线性回归的统计分析 对影响的各因素、各因素间的平方项及交叉作用共２７个变量再次进行回归分析。通过ＳＰＳＳ软件 “分析一回归一非线性”对多元线性回归模型进行参数估计，并进行参数估计值的显著性检验以及模型拟 合优度检验。该多元线性回归模型的拟合优度为Ｒ ＝０．９９６，Ｐ＝０．０００通过检验。因此，从整体上看， ８６ 洛阳理工学院学报（自然科学版） 第２８卷 可以用多元线性回归进行分析ＰＭ２．５的各因素、 各因素问的方项及交叉作用平之间的关系。多元线 性回归模型的回归系数估计值结果如表１所示。由 表１ 多元线性回归的系数估计值及９５％置信区间 表１多元线性回归模型的系数估计值及置信区间 表可知，在检验它们的估计区间时发现只有回归系 数卢。、 。 、卢。 、／３。 、卢。 的置信区间不包含零 点，其他的回归变量对Ｙ的影响不显著，因此本文 尝试用主成分回归分析方法对模型进行修改。 ２．３主成分回归统计分析 对样本数据进行主成分回归分析。首先对数据 进行标准化处理，ＳＰＳＳ过程“分析一描述统计一 描述一将标准化的得分另存为变量”；其次，对样 本数据进行主成分分析，ＳＰＳＳ过程为“分析一降 维一因子分析一主成分”，得到主成分回归解释的 总方差结果如表２所示。 由表２可得前三个的主成分的累计贡献率已经 达到８７．３８７％，说明前三个能解释原自变量总方 差约８７％的信息，已足够对ＰＭ２．５进行分析及预 测，因此可以提取前三个对洛阳市的ＰＭ２．５含量 进行综合评价。首先进行ＫＭＯ和Ｂａｒｔｌｅｔｔ的检验， 检验结果如表３所示。 由表３主成分回归的ＫＭＯ和Ｂａｒｔｌｅｔｔ的检验结 果，可得该模型的ＫＭＯ统计量值为０．７０４，ＫＭＯ 值接近１，说明所有变量问的简单相关系数平方和 远远大于偏相关系数平方和，意味着变量问的相关 性强，原有变量适合作因子分析，检验通过。其次 用主成分的成份矩阵前三列分别除以前三个特征值 的平方得到前三个主成分的成份系数矩阵，结果如 表４所示。 从表４主成分回归的成分矩阵来看，第一主成 分主要是ＰＭ１０、ＳＯ 、ＣＯ、ＮＯ 、Ｏ 、月平均温 度ＰＭ１０的平方项、ＰＭ１０与ＳＯ：的交叉项、ＰＭ１０ 与ＣＯ的交叉项、ＰＭ１０与ＮＯ 的交叉项影响；第 二主成分主要是ＰＭＩＯ与Ｏ 的交叉项影响，第三 主成分则不明显。最后进行主成分回归时，需先分 表２主成分回归解释的总方差 析ｙ与Ｆ ，Ｆ：，Ｆ３之间的关系，绘制散点矩阵图如 图２所示。 由图２可知，Ｙ 与Ｆ 、Ｆ：、Ｆ 之间具有线性 关系，因此再用ＳＰＳＳ软件对Ｆ 、Ｆ：、 回归分析，在建立ｙ 与Ｆ 、Ｆ 、 表３主成分回归的ＫＭＯ和Ｂａｒｔｌｅｔｔ的检验 取样足够度的Ｋａｉｓｅｒ—Ｍｅｙｅｒ—Ｏｌｋｉｎ度量０．７０４ 进行逐步 的多元回归方 程的过程中，按偏相关系数的大小次序将Ｆ 、Ｆ：、 逐个引入回归方程，对引入方程中的每个白变 量偏相关系数进行统计检验，效应显著的自变量留 第１期 田玉柱等：基于主成分回归的洛阳市区ＰＭ２．５污染状况研究 ８７ 表４主成分的３个成份系数矩阵 霸。 ｏ ∞ ｏ ｏ ｏ 睁 。 ｏ 黪 熬∞ ｏ 。 蟹 ｅ ｏ ｏ ： 。 ｏ ｏ ： 辩 ｚｓｃｏｒｅ（ｙ） ＦＩ 图２ Ｙ 与，，， ， 的散点矩阵图 在回归方程内，由于 对】， 的效应不显著， 故剔除，最后建立ｙ 与Ｆ 、Ｆ 的回归方程，ＳＰＳＳ 过程“分析一回归一线性”，主成分回归模型结果 如表５所示。 表５ 主成分回归的系数估计及系数显著性检验 由表５可知，标准化的ＰＭ２．５对前两个主成分 的线性回归模型通过显著性检验（Ｒ ＝０．８１６， Ｐ＝０．０００），从而回归方程是高度显著的，对Ｆ 、 ， 的检验结果Ｐ值分别是０．０００、０．００５可得出个解 释变量Ｆ．、 对ｙ 的影响是显著的，综合分析得到主成分回归方程为：Ｙ ：０．２１１Ｆ，＋０．１０６Ｆ２。 引入Ｆ 、Ｆ 的表达式，得到标准化 关于标准化自变量的回归方程： Ｙ ＝１．３６ｘ１＋１．３９ｘ２＋０．２５ｘ３＋１．００ｘ４＋１．４６ｘ５＋１．４０ｘ６＋０．９８ｘ ＋０．６７ｘｌ ２＋１．３４ｘｌ ３＋ １．０２ｘｌ ４＋２．０４ｘ１ ５＋１．０５ｘｌ ６＋１．０５ｘ ＋１．０６ｘ２Ｘ３＋１．０８ｘ２ ４＋１．９０ｘ２ ５＋１．１３ｘ２ ６十１．１５ｘ；＋ １．１８ｘ３ ４＋１．８８ｘ３ ５＋１．１０ｘ３ ６＋１．１９ｘ ＋２．２０ｘ４ ５＋１．２Ｉｘ４ ６＋１．２１ｘ；＋１．２４ｘ５ ６＋１．２５ｘ： 综合分析主成分回归方程得到ＰＭ１０和０，交叉项以及ＮＯ：和０ 交叉项对ＰＭ２．５浓度的影响程度最 大，ＣＯ与０，的交叉项以及ｓ０：与Ｏ 的交叉项对ＰＭ２．５的影响次之。由此可以看出，对ＰＭ２．５影响较 大的因素不是单一的，而是两种因素共同作用影响显著。因此控制ＰＭ２．５的浓度时要着重控制０ 以及 ＰＭ１０和ＣＯ的排放量，能有效地降低ＰＭ２．５的含量。 ３结语 洛阳属于工业城市，工业生产过程会产生大量污染物。洛阳市人口增长、工业持续发展和机动车辆 猛增，导致悬浮细颗粒物ＰＭ２．５和气态污染物二氧化硫、氮氧化物的增加，ＰＭ２．５中可溶性粒子具有强 吸水性，它们与水蒸气结合在一起，形成灰霾天气。根据以上分析结果，对洛阳市区提出以下合理性建 ８８ 洛阳理工学院学报（自然科学版） 第２８卷 议：①要求洛阳市区以及市周的工厂在烟囱内加废气处理装置，如尾气催化、将废气无害化处理再排放； ②加强车用燃油生产领域质量监督和检验，增加新能源的使用；③开发新能源，如太阳能、风能等适合 洛阳本地的新型能源。洛阳已有６个风电站，可以在此基础上选取合适的地方新增几个风力发电站；④ 加强对秸秆焚烧的监管。尤其是农村和城乡结合部地区的监管；⑤当雾霾达到一定程度时，对洛阳市区 车辆进行限号。 参考文献： ［１］刘彪，邹雨菲，赵子程．吉林省四平市雾霾天气成因及影响［Ｊ］．河南农业，２０１６（９）：４５． ［２］王秦，陈曦，何公理，等．北京市城区冬季雾霾天气ＰＭ２．５中元素特征研究［Ｊ］．光谱学与光谱分析，２０１３，３３ （６）：１４４１—１４４５． 金涛，薛澄岐，王海燕，等．基于改进后的主成分回归分析法的产品外观评估［Ｊ］．东南大学学报，２０１１，４１（４）：７３９—７４３． ［３］ ［４］ 王翠云，胡学平，相旭东．ＰＭ２．５影响因素的主成分回归分析与预测［Ｊ］．安庆师范学院学报，２０１５，２１（４）：２４—２７． ［５］ 张延军，李旭华，林锐锋，等．主成分回归分析法在永州Ｉ烟叶评吸质量与外观质量的关系模型构建中的应用［Ｊ］．中国农学 通报，２０１２，２８（１８）：２５６—２５９． ６］ 何晓群，刘文卿．应用回归分析［Ｍ］．４版北京：中国人民大学出版社，２０１５：１５６—１６０． 付倩娆．基于多元线性回归的雾霾预测方法研究［Ｊ］．计算机科学，２０１６，４３（６Ａ）：５２６—５２８． ７］ ８］ 高慧旋．应用多元统计分析［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２０１４：２６７—２７２． ９］ 陈方樱，沈思．数据分析方法及ＳＰＳＳ应用［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１６：１５８—１７８． １０ ］武松，潘发明．ＳＰＳＳ统计分析大全［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２０１４：３３４—３３９． Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆ ＰＭ２．５ Ｐｏｌｌｕｔｉｏｎ Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｉｎ Ｌｕｏｙａｎｇ Ｃｉｔｙ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｐｒｉｎｃｉｐａｌ Ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ Ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ ＴＩＡＮ Ｙｕｚｈｕ，ＬＩ Ｊｉｎｇｍｅｉ，ＬＩＵ Ｍｅｎｇｍｅｎｇ，ＷＡＮＧ Ｊｕｎ （Ｈｅｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｌｕｏｙａｎｇ ４７１０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｅｘｐｌｏｒｅ ｔｈｅ ｍａｉｎ ｆａｃｔｏｒｓ ｉｎｆｌｕｅｎｃｉｎｇ ｔｈｅ ＰＭ２．５，ａ ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｏｔｈｅｒ ｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇ ｉｎ— ｄｅｘｅｓ ｉｎ ＰＭ１０ ａｎｄ ＡＱＩ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｏｎｔｈｌｙ ａｖｅｒａｇｅ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ｉｓ ｃａ￣ｉｅｄ ｏｕｔ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｔｈｅ ｄａｔａ ａｒｅ ｓｔａｎｄａｒｄｉｚｅｄ ａｎｄ ｔｈｅｎ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ａ— ｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ，ｔｈｒｅｅ ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ａ ｓｔｅｐｗｉｓｅ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｓ ｃａｒｒｉｅｄ ｏｕｔ ｏｎ ｔｈｅｓｅ ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ａｎｄ ＰＭ２．５，ｗｈｉｃｈ ｆｉｎｄｓ ｔｈａｔ ＰＭ１０，ＮＯ２ ａｎｄ Ｏ３ ｈａｖｅ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｎ ＰＭ２．５．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｕｔｓ ｆｏｒｗａｒｄ ａ ｓｅｔ ｏｆ ｓｕｇｇｅｓｔｉｏｎ，ｉｎ ｈｏｐｅ ｏｆ ｓｏｍｅ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｆｏｒ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔａｌ ｐｒｏｔｅｃｔｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ＰＭ２．５；ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ；ｓｔｅｐｗｉｓｅ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ （上接第５０页） ［３］Ｘｕ Ｊ，Ｚｈａｏ Ｙ，Ｊｉａ Ｚ Ｙ，ｅｔ ａ１．Ｒｏｔｏｒ ｄｙｎａｍｉｃ ｂａｌａｎｃｉｎｇ ｃｏｎｔｒｏｌ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｆｕｚｚｙ ａｕｔｏ—ｔｕｎｉｎｇ ｓｉｎｇｌｅ ｎｅｕｒｏｎ ＰＩＤ［Ｊ］．ＩＥ— ＩＣＥ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ Ｅｘｐｒｅｓｓ，２０１７，１４（１０）：１—１２． 朱位秋，非线性随机动力学与控制［Ｍ］．北京：科学出版社，２００３：１—３４１． 王洪礼，许佳，葛根．赤潮藻类非线性动力学模型的随机分岔［Ｊ］．海洋通报，２００８，２７（２）：３７—４２． 王洪礼，许佳，葛根．机翼震颤的随机Ｈｏｐｆ分岔研究［Ｊ］．机械强度，２００８，３０（３）：３６８—３７０． 葛根，王洪礼，许佳．矩形薄板在面内随机参数激励下的随机分岔研究［Ｊ］．振动与冲击，２０１１，３０（９）：２５３—２５８ 许佳．汽车半主动悬架的首次穿越与随机最优控制研究［Ｄ］．天津：天津大学博士学位论文，２００８：２１—２６． Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ Ｈｏｐｆ Ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｆｏｕｒ‘ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ｒｏｔｏｒ Ｓｙｓｔｅｍ ＪＩＮ Ｒｕｉｊｉｅ （Ｌａｎｚｈｏｕ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ ７３００７０，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｒｏｔｏｒ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ ｓｔｕｄｉｅｓ ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ Ｈｏｐｆ ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｑｕａｓｉ—ｎｏｎｉｎｔｅｇｒａｂｌｅ Ｈａｍｉｌｔｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ｔｈｅｏｒｙ．Ｔｈｅｎ，ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｌｏｃａｌ ａｎｄ ｇｌｏｂａｌ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｓｙｓｔｅｍ ａｒｅ ｏｂ— ｔａｉｎｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｌａｒｇｅｓｔ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｅｘｐｏｎｅｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ａｎｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ．Ｎｅｘｔ，ｂｙ ｕｓｉｎｇ ＦＰＫ ｅｑｕａｔｉｏｎｔ，ｔｈｅ ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｄｅｎｓｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｊｏｉｎｔｌｙ ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｄｅｎｓｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｙｓｔｅｍ ｖｅｒｉｉｆｅｓ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｒｏｔｏｒ ｍｏｄｅｌ；ｒａｎｄｏｍ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ；ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ；Ｈｏｐｆ ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ