实变函数A课程教学大纲
一、课程基本信息
课程编号：201411260 课程中文名称：实变函数 A
课程英文名称：Real Variable Function A 课程性质：专业核心课程 开课专业：数学与应用数学 开课学期：4
总学时：72 （理论72学时） 总学分：4.5
二、课程目标
本门课程通过严格的科学思维训练，使得学生掌握数学科学的思维方法。通过本课程的学习，应使学生掌握集合及集合的势，勒贝格测度和一般测度理论，可测集与可测函数，勒贝格积分等，为泛函分析、非线性分析和偏微分方程等后续课程奠定基础。
三、教学基本要求（含素质教育与创新能力培养的要求）
本课程为数学专业的基础课，因此要求学生通过本课的学习，掌握测度论的基本思想，同时通过本课的学习建立数学的逻辑思维方法，开拓视野，培养具有创新思想的人才。
（1）熟悉集合的定义及相关的性质、概念，包括开集、闭集的定义及构造。 （2）了解集合的势及分类，能够通过对等的概念求取常用集合的势。
（3）知道集合测度的定义，并能够计算集合的测度，了解可测集类与Borel集类的区别与联系。
（4）熟悉可测函数的定义及其性质，可测函数列的收敛性；可测函数的构造。 （5）熟悉勒贝格积分的定义及其性质，积分序列的极限；黎曼积分与勒贝格积分的比较，可测与可积的关系；微分与积分；勒贝格一斯蒂杰积分。
（6）掌握勒贝格积分与黎曼积分的区别，并理解勒贝格积分在处理极限与积分，极限与微分的换序关系方面的优越性。
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四、教学内容与学时分配
1 集合与势（16学时） 1.1 集合及其运算
1.2 集合函数，集合间的映射 1.3 集合的基数
1.4 实直线上的开集和闭集
1.5 N维欧式空间中点与点之间的距离，点集的极限点
1.6 N维欧式空间中的基本点集:闭集，开集，Borel集，Cantor集 1.7 点集间的距离
重点：开集的构造、势与对等； 难点：势的定义、高维集合的构造。 2 勒贝格测度（16学时） 2.1 勒贝格测度的引言 2.2 点集的Lebesgue外测度 2.3 可测集与测度
2.4 可测集与Borel集的关系 2.5 正测度集与矩体的关系 2.6 勒贝格可测集的性质 2.7 无界实数点集的可测性 重点：可测集的定义与等价条件； 难点：Borel集的概念。 3 勒贝格可测函数（12学时） 3.1 可测函数的概念 3.2 可测函数的性质
3.3 可测函数序列的几种收敛及关系 3.4 鲁津定理
重点：可测函数的构造（鲁津定理），三种收敛性及其相互关系；
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难点：叶果洛夫定理。 4 勒贝格积分（14学时） 4.1 勒贝格积分
4.2 无界集上的勒贝格积分 4.3 勒贝格积分的性质
4.4 积分序列的收敛，控制收敛定理 4.5 比较R积分和L积分 4.6 集合的直积，付比尼定理
重点：勒贝格积分的三大定理（控制收敛定理、列维定理，法杜引理）； 难点：勒贝格积分的定义。 5 微分与不定积分（8学时） 5.1 单调函数的可微性、有界变差函数 5.2 不定积分的微分、绝对连续函数
5.3 微积分基本定理、分部积分公式与各分中值公式
重点：讨论微分与不定积分之间的关系，刻画牛顿-莱布尼茨公式成立的条件； 难点：有界变差函数与绝对连续函数等概念。 6 L空间（6学时）
6.1 L空间的定义、基本不等式， 6.2 L空间的完备性，可分性以及范数。 重点：L空间的完备性，可分性； 难点：L空间的完备性如何界定的。
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五、教学方法及手段（含现代化教学手段及研究性教学方法）
本课程的所有授课内容，使用多媒体教学和黑板教学结合的方式。
六、实验（或）上机内容 无
七、前续课程、后续课程
前续课程：数学分析；
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后续课程：泛函分析。
八、参考教材及学习资源
[1] 周民强. 实变函数论. 北京大学出版社，2008
[2] 程其襄等. 实变函数与泛函分析基础. 高等教育出版社，2007 [3] 江泽坚 吴智泉．实变函数论（第二版）．高等教育出版，1994 [4] 郑维行, 王声望．实变函数与泛函分析概要．高等教育出版社，2005
九、考核方式
教学基本要求项 （1）—（6） 考核形式 闭卷考试 占总成绩的比例 100%
撰写人签字： 院（系）教学院长（主任）签字：
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