中考数学压轴题(旋转问题)

已知：如图，正比例函数yax的图象与反比例函数y（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； k的图象交于点 A3，2．x（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ （3）Mm，n是反比例函数图象上的一动点，其中0m3，过点M作直线MN∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．

如图，反比例函数y比例函数yk的图像经过矩形其中点A的坐标为（1,3），点C坐标为(6,3)反xk的另一分支与矩形边BC交于E点，与边DC交于F 点。 x（1）求K的值。 （2）求直线AE的解析式。 （3）求四边形AECF的面积

（2009年郴州市） 如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，-1），且P（-1，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．

（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．

优质资料 欢迎下载

 M

yyBQBQAOxMAOxCPP图11 图12 1. (2009南充)如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3，3)． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式；

（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6，m)，求m的值和这个一次函数的解析式；

（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；

（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1 （2010江苏泰州，27，12分）如图，二次函数y2 S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．3y 3 A B x O 3 C 6 D 912xc的图象经过点D3,，22与x轴交于A、B两点．

⑴求c的值； ⑵如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式； ⑶设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明

优质资料 欢迎下载

理由．（图②供选用）

【答案】⑴ ∵抛物线经过点D(3,∴9) 219(3)2c 22∴c=6.

⑵过点D、B点分别作AC的垂线，垂足分别为E、F，设AC与BD交点为M， ∵AC 将四边形ABCD的面积二等分，即：S△ABC=S△ADC ∴DE=BF 又∵∠DME=∠BMF， ∠DEM=∠BFE ∴△DEM≌△BFM

∴DM=BM 即AC平分BD ∵c=6. ∵抛物线为y12x6 2∴A（23,0）、B（23,0）

∵M是BD的中点 ∴M（

39,） 24设AC的解析式为y=kx+b，经过A、M点

3323kb0k10 3解得9kbb9425直线AC的解析式为y339x. 105⑶存在．设抛物线顶点为N(0，6)，在Rt△AQN中，易得AN=43，于是以A点为圆心，

优质资料 欢迎下载

AB=43为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP、PQ，此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP．

【关键词】二次函数、一次函数、解直角三角形及其知识的综合运用 （2010年四川省眉山市）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，4），抛物线225xbxc经过B点，且顶点在直线x上． 32（1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由； （3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标． y B C N M AODEx【关键词】抛物线、直线的关系式、菱形的性质 25【答案】解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为y(x)2m

3225∴4()2m

321 ∴m

6251210 ∴所求函数关系式为：y(x)2x2x4

32633 （2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，

y∴ABOA2OB25

∵四边形ABCD是菱形 ∴BC=CD=DA=AB=5

∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）．

22105544 33210当x2时，y22240

33∴点C和点D在所求抛物线上．

（3）设直线CD对应的函数关系式为ykxb，则

当x5时，y优质资料 欢迎下载

5kb4 2kb0483348∴yx

33∵MN∥y轴，M点的横坐标为t， ∴N点的横坐标也为t．

21048则yMt2t4， yNt，

3333解得：k,b．

4821021420273(t)2 ∴lyNyMtt2t4t2t333333332273时，l最大， 2271此时点M的坐标为（，）．

22.(2010年山东聊城)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过

A（—1，0）、B（0，—3）两点，与x轴交于另一点B． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴x＝1上的一动点，求使∠PCB＝90°的点P的坐标．

y x＝1 A B O x

C

第25题

【关键词】二次函数

2

【答案】⑴设抛物线的解析式为y ＝ax＋bx＋c，则有：

∵0， ∴当t23abc0a12

解得：b2，所以抛物线的解析式为y ＝x－2x－3. c3bc312a⑵令x－2x－3＝0，解得x1＝－１，x2＝3,所以B点坐标为（3，0）.

2

设直线BC的解析式为y ＝kx＋b,

2

优质资料 欢迎下载

则3kb0，解得k1，所以直线解析式是y ＝x－3.

b3b3当x＝1时，y＝－2.所以M点的坐标为（1，－2）.

⑶方法一：要使∠PBC＝90°，则直线PC过点C，且与BC垂直， 又直线BC的解析式为y ＝x－3，

所以直线PC的解析式为y ＝－x－3，当x＝1时，y＝－4， 所以P点坐标为（1，－4）.

22222222

方法二：设P点坐标为（1，y），则PC2＝1＋（－3－y）,BC＝3＋3；PB＝2＋y

22

由∠PBC＝90°可知△PBC是直角三角形，且PB为斜边，则有PC2＋BC＝PB.

222222

所以：[1＋（－3－y）]＋[3＋3]＝2＋y；解得y ＝－4， 所以P点坐标为（1，－4）. (10重庆潼南县)如图, 已知抛物线y12xbxc与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，2点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标； （3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由． yy DoAB x oABE CC 备用图26题图

解：（1）∵二次函数y x12xbxc的图像经过点A（2，0）C(0,－1) 2∴22bc0

c11 c=－1-------------------2分 2121∴二次函数的解析式为yxx1 --------3分

22 解得： b=－

（2）设点D的坐标为（m，0） （0＜m＜2）

优质资料 欢迎下载

∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE∽△AOC得，∴

ADDE --------------4分 AOOC2mDE 212m∴DE=-----------------------------------5分

212m∴△CDE的面积=××m

22m2m11=(m1)2 =4244当m=1时，△CDE的面积最大

∴点D的坐标为（1，0）--------------------------8分 （3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为y设y=0则0121xx1 22121xx1 解得：x1=2 x2=－1 22∴点B的坐标为（－1，0） C（0，－1）

设直线BC的解析式为：y=kx＋b ∴ kb0 解得：k=-1 b=-1

b1∴直线BC的解析式为: y=－x－1

在Rt△AOC中，∠AOC=900 OA=2 OC=1 由勾股定理得：AC=5 ∵点B(－1,0) 点C（0，－1） ∴OB=OC ∠BCO=450

①当以点C为顶点且PC=AC=5时， 设P(k, －k－1)

过点P作PH⊥y轴于H ∴∠HCP=∠BCO=450

CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中 k2+k2=

5 解得k=

21

1010， k2=－ 22∴P1（

101010101） P2（－1）---10分 ，－，

2222②以A为顶点，即AC=AP=5 设P(k, －k－1)

优质资料 欢迎下载

过点P作PG⊥x轴于G

AG=∣2－k∣ GP=∣－k－1∣ 在Rt△APG中 AG2＋PG2=AP2 （2－k)2+(－k－1)2=5 解得：k1=1,k2=0(舍)

∴P3(1, －2) ----------------------------------11分 ③以P为顶点，PC=AP设P(k, －k－1) 过点P作PQ⊥y轴于点Q PL⊥x轴于点L ∴L(k,0)

∴△QPC为等腰直角三角形 PQ=CQ=k 由勾股定理知 CP=PA=2k

∴AL=∣k-2∣, PL=｜－k－1｜ 在Rt△PLA中

(2k)2=(k－2)2＋(k＋1)2 解得：k=

557∴P4(,－) ------------------------12分 22210101） ，－

22综上所述： 存在四个点：P1（

P2（-

1010571） P3(1, －2) P4(,－)。 ，

2222（2009重庆綦江）如图，已知抛物线ya(x1)233(a0)经过点A(2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC． （1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s)．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OCOB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t(s)，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．

P A O Q B x y M D C 优质资料 欢迎下载 （2009河池） 如图12，已知抛物线yx4x3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，•抛物线的对称2y 轴交x轴于点E，点B的坐标为（1，0）． （1）求抛物线的对称轴及点A的坐标； （2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点P， 与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在， 请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？ 若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．

C D A E B O x图12