江西五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中)高三数学第一次联考试题 理

联考

高三年级数学（理）学科试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知z是z的共轭复数，若z1i（i是虚数单位），则zz（ ）

A．2 B．1 C．0 D．22．已知集合

A{x|x2x2„0}，B{x|yln(1x)}，则AB（ ）

A．(1,2) B．(1,2] C．[1,1) D．(1,1)3．已知命题p：

2存在xR，使得x10lgx；命题q：对任意xR，都有x0，

则（ ） A．命题“p或q”是假命题 C．命题“非q”是假命题 4．已知为第二象限角，sincosB．命题“p且q”是真命题

D．命题“p且‘非q’”是真命题

3，则cos2（ ） 35555A． B． C． D． 3939A处出发，经正方体的表面，按最短路线5．一只蚂蚁从正方体ABCDA1BC11D1的顶点

爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ）

A．①② B．①③ C．③④ D．②④

6．某教研机构随机抽取某校20个班级,调查各班关注汉字听 写大赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图，以组距为5

将数据分组成0,5,5,10,10,15,15,20,20,25,25,30,

30,35,35,40时,所作的频率分布直方图如图所示，则

原始茎叶图可能是（ ）

7．若如下框图所给的程序运行结果为S35,那么判断框中应填入的关于k的条件是（ ）

A. k7 B. k„6 C. k6 D. k6 8．已知定义在区间[3,3]上的函数yf(x)满足f(x)f(x)0，对于函数yf(x)的图像上任意两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))都有(x1x2)[f(x1)f(x2)]0．若实数a,b满足f(a22a)f(2bb2)„0，则点(a,b)所在区域的面积为（ ） A．8 B． 4 C． 2 D． 1

9．已知直线xyk0(k0)与圆x2y24交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有|OAOB|≥

10．如图，半径为2的圆内有两条圆弧，一质点M自点A开始沿弧ABCOADC做匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度vv(t)的图象大致为（ ）

二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计

分，本题共5分． 11． (1) （不等式选做题）如果存在实数x使不等式x3x1„a5a成立，则实数a的取值范围为____________.

极坐标___________.(规定：厔0,02)

三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 12．设矩形区域是由直线x(2) （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线cos23|AB|，那么k的取值范围是（ ） 3A. [2,) B. [2,22) C. (3,) D. [3,22)

24sin的焦点的

2和y1所围成的平面图形，区域D是由余弦函数

ycosx、x2和y1所围成的平面图形．在区域内随机的抛掷一粒豆子，则

该豆子落在区域D内的概率是___________.

13．已知曲线f(x)xn1(nN)与直线x1交于点P，若设曲线yf(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2014x1log2014x2___________． 14．已知平面向量,log2014x2013的值为

()满足2，且与的夹角为120，tR，则

(1t)t的最小值是________________．

y21与椭圆C2的公共焦点，点A是15．如图，F1,F2是双曲线C1:x3 C1,C2在第一象限的公共点．若F1F2F1A，则C2的离心率是________．

2

四、解答题：本大题共6个题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数f(x)2sin2(x设x时f(x)取到最大值． )3cos2x,x,．

442（1）求f(x)的最大值及的值；

（2）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，A12，且

sinBsinCsin2A，求bc的值．

17．（本小题满分12分）

某学校为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防安全知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同的工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得-2分．某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来．

（1）求该参赛者恰好连对一条的概率；

（2）设X为该参赛者此题的得分，求X的分布列与数学期望．

18.（本小题满分12分）

已知三棱柱ABC—A1B1C1，A1在底面ABC上的射影恰为 AC的中点O，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA1⊥AC1。 （1）求证AC1⊥平面A1BC；

（2）求锐二面角A—A1B—C的余弦值。

19．（本小题满分12分）

数列{an}的前n项和是Sn，且Sn⑴ 求数列{an}的通项公式；

2an31⑵ 记bnlog3，数列{}的前n项和为Tn，证明：Tn.

164bnbn21an1. 2

20． （本小题满分13分）

3x2y2（1,）已知点P在椭圆C:221(ab0)上，过椭圆C的右焦点F2(1,0)的直

2ab线l与椭圆C交于M,N 两点． （1）求椭圆C的方程；

|AB|2（2）若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN//AB，W．试判断W是否为

|MN|定值？若W为定值，请求出这个定值；若W不是定值，请说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知函数f(x)(a1)lnxax1. （1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）设a1，若对任意x1、x2(0,)，恒有f(x1)f(x2)…4x1x2成立，求a的取值范围．

理科数学

2一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．已知z是z的共轭复数，若z1i（i是虚数单位），则zz（ D ）

A．2 B．1 C．0 D．2 2．已知集合

A{x|x2x2„0}，B{x|yln(1x)}，则AB（ C ）

A．(1,2) B．(1,2] C．[1,1) D．(1,1)3．已知命题p：

2存在xR，使得x10lgx；命题q：对任意xR，都有x0，

则（ D ） A．命题“p或q”是假命题 C．命题“非q”是假命题 4．已知为第二象限角，sincosB．命题“p且q”是真命题

D．命题“p且‘非q’”是真命题

3，则cos2（ C ） 35555A． B． C． D． 3939A处出发，经正方体的表面，按最短路5．一只蚂蚁从正方体ABCDA1BC11D1的顶点

线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ D ）

A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 6．某教研机构随机抽取某校20个班级,调查各班关注汉字听 写大赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图，以组距为5

将数据分组成0,5,5,10,10,15,15,20,20,25,25,30,

30,35,35,40时,所作的频率分布直方图如图所示，则

原始茎叶图可能是（ A ）

7．若如下框图所给的程序运行结果为S35，那么判断框中应填入的关于k的条件是（D）

A. k7 B. k„6 C. k6 D. k6 8．已知定义在区间[3,3]上的函数yf(x)满足f(x)f(x)0，对于函数

yf(x)的图像上任意两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))都有

若实数a,b满足f(a22a)f(2bb2)„0，则点(a,b)(x1x2)[f(x1)f(x2)]0．

所在区域的面积为（ A ）

A．8 B． 4 C． 2 D． 1

9．已知直线xyk0(k0)与圆x2y24交于不同的两点A、B，O是坐标原

3|AB|，那么k的取值范围是（ B ） 3 A. [2,) B. [2,22) C. (3,) D. [3,22) 10．如图，半径为2的圆内有两条圆弧，一质点M自点A开始沿弧ABCOADC做匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度vv(t)的图象大致为（ B ）

点，且有|OAOB|≥

二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计

分，本题共5分． 11． (1) （不等式选做题）如果存在实数x使不等式x3x1„a5a成立，则实数a的取值范围为_，12___________. 4，2(2) （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线cos极坐标___1，________.(规定：厔0,04sin的焦点的

22)

三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 12．设矩形区域是由直线x2和y1所围成的平面图形，区域D是由余弦函数

ycosx、x2和y1所围成的平面图形．在区域内随机的抛掷一粒豆子，则

该豆子落在区域D内的概率是____

2_______. 2log2014x2013的值为

13．已知曲线f(x)xn1(nN)与直线x1交于点P，若设曲线yf(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2014x1log2014x2_______1____． 14．已知平面向量,()满足2，且与的夹角为120，tR，则

(1t)t的最小值是_____3___________．

y21与椭圆C2的公共焦点，点A是15．如图，F1,F2是双曲线C1:x3C1,C2在第一象限的公共点．若F1F2F1A，则C2的离心率是

2___

2_____． 3

四、解答题：本大题共6个题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数f(x)2sin(x2设x时f(x)取到最大值． )3cos2x,x,．

442（1）求f(x)的最大值及的值；

（2）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，A12，且

sinBsinCsin2A，求bc的值．

解：（1）依题

f(x)1cos(2x)3cos2x1sin2x3cos2x12sin(2x).

2325又x,，则剟2x，故当2x即x时，f(x)max3.

633321242，由sinBsinCsin2A即bca2，又（2）由（1）知A123a2b2c22bccosAb2c2bc，则b2c2bcbc即(bc)20，故bc0.

17．（本小题满分12分）

某学校为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防安全知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同的工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得-2分．某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来．

（1）求该参赛者恰好连对一条的概率；

（2）设X为该参赛者此题的得分，求X的分布列与数学期望．

1C42421解：(1). (4分) 4A4243X的所有可能取值为：8，1，6，20. (6(2)

分)

199C421， P(X1)P(X8)4， 4A424A43211C46， P(X20)4， P(X6)4A424A4246 20 X -8 -1 3111 P 83424 (10分) 且EX3

18.（本小题满分12分）

已知三棱柱ABC—A1B1C1，A1在底面ABC上的射影恰为 AC的中点O，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA1⊥AC1。 （1）求证AC1⊥平面A1BC；

（2）求锐二面角A—A1B—C的余弦值。

1351. (12分) 326

19．（本小题满分12分）

数列{an}的前n项和是Sn，且Sn⑴ 求数列{an}的通项公式；

2an31⑵ 记bnlog3，数列{}的前n项和为Tn，证明：Tn.

164bnbn21解：(1)由题 Sn1an11 ①

21Snan1 ②

2111①-②可得an1an1an0，则an1an. (3分)

2231221当n1时 S1a11，则a1，则{an}是以为首项，为公比的等比数列，

233321n12n1因此ana1q()n. (6分)

3332anlog332n2n， (8分) (2)bnlog341111111所以()， (10分)

bnbn22n2(n2)4n(n2)8nn21an1. 211111Tn(81324111111113)(1) n1n1nn282n1n216 (12

分)

20． （本小题满分13分）

3x2y2（1,）已知点P在椭圆C:221(ab0)上，过椭圆C的右焦点F2(1,0)的直

2ab线l与椭圆C交于M,N 两点． （1）求椭圆C的方程；

|AB|2（2）若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN//AB，W．试判断W是否为

|MN|定值？若W为定值，请求出这个定值；若W不是定值，请说明理由． 解：（1）椭圆C的右焦点为(1,0)，∴c1，椭圆C的左焦点为(1,0)

可得2a(11)()(11)()22223222322534，解得a2， 22x2y21 ……………………4分 ∴bac413 ∴椭圆C的标准方程为432b2（2）①当直线斜率不存在时，|AB|(2b)4b，|MN|，

a222|AB|24b222a4．…………………………………………………… 6分 所以W|MN|2ba②当直线斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)(k0)，且M(x1,y1)，N(x2,y2)．

x2y21由4得(34k2)x28k2x4k2120， 3yk(x1)8k24k212x1x2，x1x2， …………………………………………………8分

34k234k28k224k21212(k21)|MN|=1k|x1x2|(1k)[(x1x2)4x1x2]=(1k)[()4()]．…10分

34k234k234k2x2y2112由4消去y，并整理得：x2 ，……………………………………11分 3234kykx2222设A(x3,y3),B(x4,y4)，则

48(1k2)|AB|23(1k2)234k24 ，所以|AB|=1k|x3x4|4W34k2|MN|12(1k2)34k2综上所述，W为定值4． ……………………………………………………………… 13

分

21．（本小题满分14分）

已知函数f(x)(a1)lnxax21.

（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）设a1，若对任意x1、x2(0,)，恒有f(x1)f(x2)…4x1x2，求a的取值范围．

a12ax2a1解：（1）f(x)的定义域为(0,).f(x)2ax.

xx当a…0时，f(x)0，故f(x)在(0,)单调递增；

当a„1时，f(x)0，故f(x)在(0,)单调递减；…………………（2分）

当1a0时，令f(x)0，解得xa1. 2a即x0,a1a1时，f(x)0；x2a,时，f(x)0.； 2aa1a1,单调递增，在单调递减；…………（6分） 2a2a故f(x)在0,（2）不妨设x1„x2，而a1，由（1）知f(x)在(0,)单调递减，从而对任意

x1、x2(0,)，恒有f(x1)f(x2)…4x1x2

f(x1)f(x2)…4(x2x1)

f(x1)4x1…f(x2)4x2

令g(x)f(x)4x，则g(x)a12ax4 x等价于g(x)在(0,)单调递减，即g(x)a12ax4„0，从而x4x1(2x1)24x22(2x1)2a„2， 2222x12x12x1故a的取值范围为,2.