高考数学(理)一轮复习训练：《空间向量及其运算》

一、选择题

1．以下四个命题中正确的是

( )．

A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示

B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向 量的另一组基底

→→

C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0 D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底

解析 若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝

λ－11－μ

b＋

c，则

1－μλ＋μ

a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾． 答案 B

2．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝ ( )． A．－4

B．－2

C．4

D．2

解析 ∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)， ∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)． ∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2. 答案 D

3．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )． A．{a，a＋b，a－b} C．{c，a＋b，a－b}

B．{b，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}

解析 若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底． 答案 C

4.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且π→→

∠AOC＝3，则cos〈OA，BC〉的值为 ( )． A．0 3

C.2

1B.2 2D.2

∠AOB＝

→→→

解析 设OA＝a，OB＝b，OC＝c，

π

由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝3，且|b|＝|c|，

11→→→→

OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝2|a||c|－2|a||b|＝0，∴cos〈OA，BC〉＝0. 答案 A

5．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为→→→

A1C1与B1D1的交点．若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，→

则下列向量中与BM相等的向量是 11

A．－2a＋2b＋c 11

C．－2a－2b＋c

( )．

11

B.2a＋2b＋c 11

D.2a－2b＋c

→→→→1→→

解析 BM＝BB1＋B 1M＝AA1＋2(AD－AB) 111

＝c＋2(b－a)＝－2a＋2b＋c. 答案 A

6．如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )

A.3 B.2 C．1

D.3－2

→→→→2→2→2→2→→→→

解析 ∵→BD＝BF＋FE＋ED，∴|BD|＝|BF|＋|FE|＋|ED|＋2BF·FE＋2FE·ED→|＝3－2. ＋2→BF·→ED＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD答案 D 二、填空题

7. 设x,yR，向量ax,1,b1,y,c2,4，且ac,b//c，则ab_______

rrrrrr2x40x2ac,b//cab(3,1)102y4y2解析 . 答案 10 →→→→→→

8. 在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝________.

→→→

解析 如图，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，

→→→→→→AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝0. 答案 0

uuuuruuuuruuuur2uuuur2

9．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，①(A1A1＋A1D1＋A1B1)＝3A1B1；②

uuuuruuuuruuuuruuuuruuuurA1C·(A1B1－A1A1)＝0；③向量AD1与向量A1B的夹角是60°；④正方体

uruuuuuuruuurABCD－A1B1C1D1的体积为|AB·AA1·AD|.其中正确命题的序号是________．

uuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuur解析 由AA1⊥A1D1，AA1⊥A1B1，A1D1⊥A1B1⊥A1B1，得(A1A＋A1D1＋uuuur2uuuur2uuuuruuuuruuuurA1B1)＝3(A1B1)，故①正确；②中A1B1－A1A＝AB1，由于AB1⊥A1C，故②

uuuuruuuur正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但AD1与A1B的夹角为120°，

uruuuuuuruuur故③不正确；④中|AB·AA1·AD|＝0.故④也不正确． 答案 ①②

10．如图，空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于________．

→→→

解析 设OA＝a，OB＝b，OC＝c. OA与BC所成的角为θ，

→→→→→→OA·BC＝a(c－b)＝a·c－a·b＝a·(a＋AC)－a·(a＋AB)＝a2＋a·AC－a2－a·AB＝24－162. →→

|OA·BC|24－1623－22

∴cos θ＝→→＝＝5. 8×5

|OA|·|BC|3－22

答案

5 三、解答题

→1→

11．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM＝3(OA→→＋OB＋OC)．

→→→

(1)判断MA、MB、MC三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． →→→→

解 (1)由已知OA＋OB＋OC＝3 OM， →→→→→→∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)， →→→→→即MA＝BM＋CM＝－MB－MC， →→→

∴MA，MB，MC共面．

→→→

(2)由(1)知，MA，MB，MC共面且基线过同一点M， ∴四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内．

12．把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、

BC的中点，点O是原正方形的中心，求： (1)EF的长；

(2)折起后∠EOF的大小．

2

解 如图，以O点为原点建立空间直角坐标系O－xyz，则A（0，－a,0），

2

B（22222a,0,0），C（0，a,0），D（0,0，a），E（0，－a，a）， 22244

22

F（a，a,0）.

44

2223222232→2

(1)|EF|＝a－0＋a＋a＋0－a＝a，∴|EF|＝a.

24444422→22→

(2)OE＝0，－a，a，OF＝a，a，0，

444422a222→→

OE·OF＝0×a＋－a×a＋a×0＝－，

484441

|→OE|＝，|→OF|＝，cos〈→OE，→OF〉＝＝－，

222

|→OE||→OF|∴∠EOF＝120°.

13．如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B、G、N三点共线． →→→

证明 设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则 →→→→3→BG＝BA＋AG＝BA＋4AM

1311

＝－a＋4(a＋b＋c)＝－4a＋4b＋4c， →→→→1→→BN＝BA＋AN＝BA＋3(AC＋AD) 114→

＝－a＋3b＋3c＝3BG.

→→

∴BN∥BG，即B、G、N三点共线．

14．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：

aa→

OE·→OF→→→→(1)EF·BA；(2)EF·DC；(3)EG的长； (4)异面直线AG与CE所成角的余弦值． →→→

解 设AB＝a，AC＝b，AD＝c.

则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， →1→11→→

(1)EF＝2BD＝2c－2a，BA＝－a，DC＝b－c， 111→→11

EF·BA＝2c－2a·(－a)＝2a2－2a·c＝4，

→→1

(2)EF·DC＝2(c－a)·(b－c) 11 ＝2(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－4；

11→→→→1

(3)EG＝EB＋BC＋CG＝2a＋b－a＋2c－2b 111

＝－2a＋2b＋2c，

11111112→→

|EG|2＝4a2＋4b2＋4c2－2a·b＋2b·c－2c·a＝2，则|EG|＝2. 11→1→→→

(4)AG＝2b＋2c，CE＝CA＋AE＝－b＋2a， →→AG·CE2→→

cos〈AG，CE〉＝→→＝－3，

|AG||CE|由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]， 2所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为3.