微分几何 陈维桓 第五章讲稿

第五章 曲面论基本定理 ························································································ 67

§ 5.1 自然标架的运动公式 ··············································································· 67 § 5.2 曲面的唯一性定理 ·················································································· 69 § 5.3 曲面论基本方程 ····················································································· 71 § 5.4 曲面的存在性定理 ·················································································· 75 § 5.5 Gauss定理 ···························································································· 76

第五章 曲面论基本定理

本章内容：曲面上的自然标架，运动公式，Gauss公式和Weingarten公式，曲面论唯一性定理，Riemann曲率张量，Gauss-Codazzi方程，曲面论存在性定理，Gauss定理

计划学时：9学时，含习题课2学时.

难点：Riemann曲率张量，曲面论存在性定理，Gauss定理

§ 5.1 自然标架的运动公式

设S:rr(u,v)为正则曲面，nn(u,v)是单位法向量. 第一、第二基本形式Idrdr和

IId2rndrdn是曲面S的两个不变二次形式，与E3中直角坐标的选取无关.

曲面论唯一性问题：这两个基本形式是否足以确定曲面的形状？即若S:rr(u,v)和S:

rr(u,v)有相同的第一、第二基本形式，是否这两个曲面仅相差一个E3中的刚体运动？

SE

  (见定理2.1)

3r  r SE

3r答案是肯定的. 为了证明这件事情，需要先做一些准备工作.

12为了公式的书写方便，从现在起记uu，uv. 注意u,u的上标不是乘幂的指数. 如果

12要表示乘幂，则使用括号写成u2,u，……，(1,2).

3212这样，S的参数方程为rr(u,u). 从现在起，用r表示向量函数r(u,u)对变量u的偏

1导数. 采用Einstein求和约定，将和式dr212简记为 rdurdurdu121drrdu. (1.4)

就是说，如果一个单项式中在上标和下标中出现了相同的指标，则表示这是一个和式，对该指标要

从1到2求和. 如果出现了多对这样的上下指标，那么这些指标都要从1到2求和. 例如，

STSTS,1211T11S12T12S21T21S22T22，

12PPP1P2.

21注意在和式中求和指标本身并没有实质性意义，它们是所谓的“哑”指标，可以换成别的字母： STSTST. (不能换成别的字母)

表示，它们的取值范围为,,12在本书中，求和指标用希腊字母,,,1,2.

类似地，采用Einstein求和约定，向量函数r(u,u)的二阶微分可写成

d2rrd2urdudu.

采用Einstein求和约定，S的第一、第二基本形式分别可以写成

Idrdr(rdu)(rdu)gdudu，IId2rnbdudu， (1.6)

其中

grr，brn， (1.5)

即g11r1r1E，g12g21F，g22G，b11L，b12b21M，b22N.

67

记

gdetgg11g22(g12)2,bdetbb11b22(b12)2. (1.7-8)

用g表示度量矩阵g的逆矩阵，则有

 gg1,, (1.9)

0,.实际上，

g11g121g22g121GF2122gEGF2FE. (1.10) gggg1211采用现在的记号，曲面S上每一点pu1,u2有一个自然标架r;r1,r2,n. 下面来导出自然标架的运动方程.

由于r1,r2,n线性无关，可将它们的偏导数再用r1,r2,n表示出来. 设

rrbn,nbr， (1.18)

其中称为Christoffel记号(第二类克氏符号). 令

:rr， (1.22)

称为第一类克氏符号. 由rr可知两类克氏符号关于指标,都是对称的：

，.

用r与(1.18)中的第1个式子作内积，得

. (1.20) rrrrbng用g即

乘(1.20)两边，再对指标求和，由(1.9)可得

ggg，

g. (1.21)

(1.20)和(1.21)说明是用g将降标而得的；而则是用g将升标而得的.

类似地，用r与(1.18)中的第2个式子作内积，得

 brnrb， (1.14) rgb从而

bbg. (1.15)

于是我们有自然标架r;r1,r2,n的运动公式

rurur， (1.11)

nubr， (1.18)

rbn，

其中b是第二类基本量，bbg，被第一类基本量和第二类基本量所确定.

我们断言Christoffel记号被第一类基本量g唯一确定. 事实上，由grr得

urrrr. 返回 (1.23) 由可得

guggugu2，

68

即有

12uuu于是由(1.21)，

g12gggg. 返回 (1.24)

gugugu. (1.25)

通常把(1.18)的第一式称为Gauss公式，(1.18)的第二式称为Weingarten公式.

Gauss公式的几何意义：r的切向部分是法向部分是bn. 当曲面的参数方程给出时，r，

利用Gauss公式的几何意义可以更简单地求出Christoffel记号，而不需要用公式(1.22)来求.

Weingarten公式的几何意义；矩阵b正好是Weingarten变换W在切空间的自然基{r1,r2}下

的矩阵：W(r)nbr.

在正交参数网中，Christoffel记号的计算公式(1.28). 例 求曲面zf(x,y)的Christoffel记号.

1解 曲面的参数方程为rx,y,f(x,y). 因此ux，uy，

2r11,0,f1，r20,1,f2，n11f1f222f1,f2,1.

其中f1fx，f2fy. 因为r0,0,ff0,0,1，所以

 rrrnnf0,0,1f1f1f2222f1,f2,1

另一方面

f1f1f222f1,f2,f1f2.

221212r1rr,,f121f2.

所以

1即有

f1f1f1f2，12，1221222，f2f1f1f2，22，222122，

111211fxfxx1fxfy22fxfxy1fxfy22fxfyy1fxfy22，

fyfxx1fxfy22fyfxy1fxfy22fyfyy1fxfy22.

课外作业：习题4，5

§ 5.2 曲面的唯一性定理

利用上一节得到的自然标架的运动方程，可以来解决上一节所提出的问题，即若S:rr(u,v)3和S:rr(u,v)有相同的第一、第二基本形式，则这两个曲面仅相差一个E中的刚体运动.

1212定理2.1若S:rr(u,u)，S:rr(u,u)((u,u))有相同的第一、第二基本形

123式，且区域是连通的，则有E中的刚体运动使得S(S).

 69

证明 因为Sr()，Sr()，只需证明存在E3中的刚体运动使得

r:E3. (1)

不妨设0(0,0). 设在该点两个曲面的自然标架分别为r(0);r1(0),r2(0),n(0)和

rr(0);r(0),r(0),n(0). 选取E123中的刚体运动使得在(u0,u0)点成立

1E(0)112r(0)(r(0)),r1(0)(r1(0)),r2(0)(r2(0)),n(0)(n(0)). (2)

[事实上，令e3n(0)，e1r2(0)e1可知

F(0)E(0)r(0)，e2e3e1. 则由

1E(0)，r2(0)e2r2(0),e3,e1r2(0),n(0),r1(0)E(0)G(0)F2(0)E(0)

r1(0)E(0)e1，r2(0)同样，令e3n(0)，e1F(0)eE(0)1E(0)G(0)F2(0)E(0)e2，n(0)e3. (3)

11E(0)e3e1. 则由S,S有相同的第一基本形式，有 r(0)，e2r(0)E(0)e11，

r(0)2F(0)E(0)e1E(0)G(0)F2(0)E(0)e2，n(0)e3. (4)

根据第一章定理1.1，存在刚体运动

:E3E3:pOp(p)O(p)a(Op)

将正交标架r(0);e1,e2,e3变成r(0);e1，其中ar(0),e2,e33r(0)，而

:3:v(v)vA(v1,v2,v3)A

是保持E3定向的正交变换，即ASO(3). 由定义，将向量PQ变成向量

(PQ)(P)(Q)O(Q)O(P)(OQ)(OP)(OQOP)(PQ). 所以刚体运动将向量r1(0)变成向量

(r1(0))r1(0)E(0)(e1)E(0)(e1)E(0)e1r1(0).

同理，(r2(0))r2(0). 又(n(0))(e3)e3n(0). ]

设S(S)是将S经过刚体运动后得到的曲面，则S的参数方程为

r(u1,u2)r(u1,u2)a于是

r(u,u).

12rdudrd(r)d(rA)(dr)ArduA(rA)du(r)du(dr)，

从而

r1r1r2(r1)，r2(r1)(r2)(r2). (r1r2)，

由于保持定向的正交变换保持外积不变，有

nr1r2(r1r2)|r1r2||r1r|r1r2|rr|1n.

由于保持定向的正交变换保持内积不变，所以S的第一、第二基本形式分别为

Idrdr(dr)(dr)drdrII， IIdrdn(dr)(dn)drdnIIII.

于是S与S有相同的第一、第二基本形式，它们的自然标架满足同样的齐次线性偏微分方程组

(1.11)，(1.18)，即有

drrdu,dr(rbn)du,(1,2),dnbrdu；

 70

drrdu,dr(rbn)du,(1,2),dnbrdu.

由(2)可知它们的自然标架满足同样的初始条件：

r(0)r(0)r(0)，r1(0)r1(0)r1(0)，

r2(0)r2(0)r2(0)，n(0)n(0).

设(u0,u0)是任意一点. 因为区域是连通的，可取一条中的连续可微曲线

12C:u1u1(t),u2u2(t)，t[0,1]，

使得

u(0),u(0)(0,0),u(1),u(1)(u,u).

则限制在C上r;r,r,n和r;r,r,n满足同样的常微分方程组初值问题

121210201212drdtdr1dt dr2dtdndt由常微分方程组解的唯一性得

dur,dtdu(1rb1n),dt du(2rb2n),dtdubr.dt121212 r(u0,u0)r(u0,u0)r(u0,u0).

由(u0,u0)的任意性可知r12r. □

1212定理2.2 设S:rr(u,u)，S:rr(u,u)是2个曲面，它们的第一、第二基本形式3分别为I,II和I,II. 如果存在光滑映射:SS使得(I)I，(II)II，则存在E中

的刚体运动使得|S. (选取适用参数系) □

课外作业：无

§ 5.3 曲面论基本方程

曲面论存在性问题：设gdudu和bdudu是区域 (32)上的2个给定的二

次微分形式，是否存在E中的三次以上连续可微的曲面S:rr(u,v)，使得，正好是曲面S的第一、第二基本形式？

如果这样的曲面存在，则首先和必须是对称的：gg，bb；并且二次型必须是正定的. 除此之外，在本节中我们还要导出g,b所应该满足的必要条件.

假设有曲面S:rr(u,v)使得它的第一、第二基本形式为

Igdudu， IIbdudu. (3.2)

在第一节中已经得到自然标架r;r1,r2,n的运动公式

 71

rur,rrbn, 返回 (3.3) unbru其中

g1g2gugugu，bbg. (3.4)

因为S是三次以上连续可微的，必须有

2r2r2n2n， ，,,. (3.5)

uuuuuuuu将(3.3)代入(3.5)第1式，得

rbnrbn. (3.6) uu将上式展开，并利用(3.3)， 左边rrbnbuubbbrb n. uubbbrb右边n. uu比较两边r,n的系数，得

nbbr

uubbbbbb，,,. (3.9) uu注意(3.8)左边的量是被第一类基本量唯一确定的，将它记为

bbbb，,,,， (3.8)

R:uu， (3.10)

称为曲面S的Riemann记号. 再记

RgR， (3.11)

则自然就有

RgR. (3.11)’

与R一样，R也是被第一类基本量唯一确定的. R和R都称为曲面S的Riemann曲率张量. 采用这些符号，由曲面三阶连续可微得到的相容性条件(3.8)可以改写成

Rbbbb， (3.12)

或等价地，

Rbbbb. (3.13)

相容性条件即方程(3.8)，或(3.12)，或(3.13)，称为Gauss方程. 方程(3.9)称为Codazzi方程. 注1. Gauss方程(3.13)看上去似乎有16个等式，实际上只有一个独立的方程：

72

R1212b11b22b12LNM2KEGF2. 返回 (3.18)

2Codazzi方程(3.9)中只有2个独立的方程

b11b12bb1,1121221uu  (3.20)

bb2122bb.212221u2u1这是因为有

RRRR. (3.17)

从而当1或2时得到8个恒等式00；当而时得到4个恒等式00. 剩下的4个方程是相互等价的：R1212R2121R1221R2112.

[事实上，

 RgRg uugg uuuu ()() uug  . 利用(1.23)：uuu将(1.24)：12uuu代入上式前2项，并注意

gg12ggg，

可得

R 21g2uu21g2uu2guu2guu2guu2g21g2uu122guu2guuuu2guu

]

b注2. 将(3.3)看作以r,r1,r2,n的12个分量为未知函数的一阶线性偏微分方程组，其中g，

是已知的函数，从而g以及由(3.4)给出的,b也都是已知的. (3.3)的可积性条件是

2r2r2r2r2n2n， ， . (C) uuuuuuuuuuuu由(3.3)可知可积性条件(C)的第一式自动成立. 第二式就是Gauss-Codazzi方程(3.8)和(3.9)，也就是(3.18)和(3.20). 因为

bb2nbrrbrbnbrbbn， uuuuu所以可积性条件(C)的第三式为

bbbb，bbbb. (3.14) uu上面第二式自动成立，因为bbgbbbgbbbbb.

以g乘(3.14)第一式的两边，再对求和，可知它等价于

73

gbgbbbbb. uuuu将(1.23)u代入上式得

gbbbb， uu即

bbbbbb. uu这就是(3.8). 所以(3.14)第一式与(3.9)是等价的.

1,g120,g221. 因此 在正交参数网中，g11E,g120,g22G. 因此g11EG1111212Eu,112112212Ev,2Gu,1212211Ev,212Gu,222Gv.EuEvGu111,,,1112222E2E2E

EGG222v11v,12u,22.2G2G2G由此得

R1212g2R112GR

211222111212221222G1112112212111221uv2EvGuEuGuEvGvEv2GuG22G2G4EG4G2u4EG4Gv

2GEvvEvGvGGuuGuEuGuEvGvEv2Gu2G2222G2G4EG4G4EG4G2EvvEv2EvGvGuuEuGuGu2  (见课本) 24E4G24E4GEvvEv2GEvEGvGuuEuGGuEGu224EG24EG

EvvEv(EG)vGuuGu(EG)u4EG24EG2E(EG)vGuuG(EG)uEvv EGvu

2EG4EGEG2EG4EGEG EGEv2v1E1GuvEG2EGv2u1G1u EG2EGuEvGuEvGuEGEG.返回(3.22) 2EGv2EGuGvEu如果参数曲线网是正交的曲率线网，则FM0，Codazzi方程(3.20)可简化为

LEvNEv21LbbHEv,11221211v2E2G  返回 (3.23)

NGLGuuN2b1bHGu.u212222112G2E

74

课外作业：习题4，5

§ 5.4 曲面的存在性定理

本节证明Gauss-Codazzi方程也是曲面存在的充分条件. 设gdudu和bdudu是区域 (2)上的2个给定的二次微分式，其中和

是对称的：gg，bb；并且二次型是正定的. 令g为矩阵g的逆矩阵，

Ru1ggguu,g， (4.2-3) 2u， RgR. (4.4-5) u定理4.1 如果上面给定的二次微分式，满足

b11b22b122R1212,b11b1211bb1, (4.6) 2121 u2ub21b22b21222b1,21uu1212则对任意一点u0的(连通)邻域U，以及定义在U上的正则曲面,u0，必有u0,u0S:rr(u1,u2)，使得和分别是S的第一、第二基本形式. 在相差一个E3中的刚体运动的情况下，这样的曲面是唯一的. 如果是连通且单连通区域，则曲面S可以定义在整个上.

证明 唯一性由定理2.1可得. 只需证明存在性. 构造一阶线性偏微分方程组

rur,r rbn, (4.7) unbr,u12其中r,r1,r2,n是未知向量，从而共有12个未知函数，自变量是u,u. 根据一阶偏微分方程组理

论，(4.6)有解的充分必要条件是由(4.7)可推得

2r2r2r2r2n2n ，， . (C)

uuuuuuuuuuuu从§3的讨论我们知道当Gauss-Codazzi方程(4.6)成立时，可积条件(C)也成立，从而(4.7)是可积的，即对任意一点u0,u0，有u0,u0的邻域U，以及定义在U上的向量函数

12 r(u,u),1212r1(u1,u2),r2(u1,u2),n(u1,u2)， (4.8)

它们满足(4.7)及任给的初始条件

120 r(u0,u0)r,121212r1(u0,u0)r10,r2(u0,u0)r20,n(u0,u0)n0. (4.9)

000现在选取初始标架r0;r使得 1,r2,n rrg(u0,u0),

0012r0n00,n0n01,75

r01,r20,n00. (4.10)

下面我们证明(4.8)中的函数r:UE:(u,u)312r(u1,u2)定义了一个正则曲面S

r(U)，以和分别为S的第一、第二基本形式.

为此，考虑函数组

frrg， frn， fnn1. (4.11)

121212其中r1(u,u),r2(u,u),n(u,u)是方程组(4.7)的解. 因此6个函数f,f,f满足一阶齐次线性

偏微分方程组Cauchy问题

fuffbfbf,fbffbf, u (4.12-13)

f2bf,u111111f(u,u)0,f(u,u)0,f(u,u0000)0.00事实上，

rgrrruuu u rbnrrbnrfgbffgbf

f ffbfbf.

frnnrrbnnbrr uuu fbf1bfbf. fgbf

fn2n2brn2bf. uurrg， rn0， nn1. (4.14)

根据Cauchy问题解的唯一性，得到f0，f0，f0，即有

由上式得rdetg0，这说明S是正则曲面. 1r222rr2共线，从而 又nr1r20，即n与1r1,r2,nr1r2nr1r2detg0. 12因为在u0,u0点r1,r2,nr10,r20,n00，由连续性得到在U上r1,r2,n0. 因此

22nr1r2/r1r2.

因为r(u,u)满足方程组(4.7)第1式，故r,r1,r2,n是曲面S的自然标架. 由(4.14)第1式和

12(4.7)第2式可知S的第一、第二基本形式分别是和.

当连通且单连通时，方程组(4.7)有定义在整个上的解. □ 课外作业：习题2，4

§ 5.5 Gauss定理

76

由(3.18)得到

LNM2R1212 K. (5.3) 22EGFEGF所以Gauss曲率K被曲面的第一基本形式唯一确定，而与曲面的第二基本形式无关，是曲面的内蕴几何量. 于是有下面的Gauss绝妙定理(Egregium Theorem).

定理5.1 曲面的Gauss曲率是曲面在保长变换下的不变量. 由(3.22)得到正交参数网(F0)时，

EvGu. (5.4)

GvEu2特别，取等温参数网时，EG:，其中(u,v)0. 此时

1 K2ln， (5.5)

1 KEG22其中是关于变量u,v的Laplace算子. u2v2引理 直纹面S:r(u,v)a(u)vl(u)是可展曲面的充要条件是K0. 证明. 设S是直纹面，参数方程为r(u,v)a(u)vl(u). 则

ruavl，rvl，nEGFruuavl，ruvl，rvv0.

1EGF2rurvrurv12(avl)l，

1EGF2从而

N0，Mruvn因此

(avl)ll2a,l,l.

KLNM.

22EGF2EGFa,l,l2根据第三章定理6.1即得引理. □

定理5.2 一个曲面S是可展曲面的充要条件是S的Gauss曲率K0. 证明 必要性由上面的引理可得.

充分性. 根据引理，只须证明S是直纹面. 设S的主曲率为1,2. 由条件可知120. 1. 如果S上的点都是脐点，则S是平面，从而是直纹面.

2. 假设S上没有脐点，则可取正交的曲率线网为参数曲线网，使得FM0，且

1LN0,20. EG0NuHGu，

那么2H10. 由Codazzi方程(3.23)得 即有

Gu0,GG(v). (5.6)

于是

77

11122g122Gu1g12g21g220， 2Eu2u2u12E2 rvvrv1r22122r2b22nr2Nnr20. (5.8)

根据第一章定理2.2，(5.7)说明v-曲线ru0,v的切向量rvu0,v具有固定方向. 因此v-曲线是直线，从而S是直纹面.

事实上，令l1，则v|rv|vrrrvlG(v)l. 于是由(5.8)，

0rvvrv即有lvl0，从而lv0. 这样

令v(v)Glv， GlvGlGlvlG(v)dv. 则r(u,v)v(v)l(u)ll(u)，rvG(v)l(u).

v0，故有r(u,v)v(v)l(u)a(u)，也就是

r(u,v)a(u)v(v)l(u).

作参数变换uu,vv(v)，则S是直纹面：r(u,v)a(u)vl(u). □

定理5.3 曲面S是可展曲面的充要条件是S(局部地)可以与平面建立保长对应.

证明 根据第三章定理6.3，可展曲面S局部地可以与平面建立保长对应. 反之，若曲面S局部

可以与平面建立保长对应，则由Gauss绝妙定理，S的Gauss曲率K0，从而是可展曲面. □

注 根据后面第六章的定理4.1，具有相同常数Gauss曲率K的曲面之间局部可以建立保长对应. 下面的例子说明两个具有相同的非常数Gauss曲率的曲面之间未必能建立保长对应. 例 设常数a,b,a,b满足abab0. 证明曲面

22S:rau,bv,12(aubv)

与

22S:rau,bv,1(aubv) 2之间在对应uu,vv下有相同的Gauss曲率. 但是当(a,b)(a,b)且(a,b)(b,a)时，曲面S与S之间不存在保长对应.

证明 对于曲面S,

22222222rua,0,au，rv0,b,bv，ruu0,0,a，ruv0，rvv0,0,b.

1rurvabu,v,1，nu.v.1.

221uv因此S的第一、第二基本形式分别为

Ia(1u)du2abuvdudvb(1v)dv，II曲面S的Gauss曲率为

222222adu2bdv21uv22.

K同理，曲面S的第一基本形式为

2221. (5.9)

ab(1u2v2)2222 Ia(1u)du2abuvdudvb(1v)dv， Gauss曲率为

78

1. (5.10)

ab(1u2v2)2因为abab，所以在对应uu,vv下它们有相同的Gauss曲率.

K设有保长对应

:(u,v)(u,v)(u,v)u(u,v),v(u,v). (5.11)

则在对应点有相同的Gauss曲率. 故由(5.9)和(5.10)得

u(u,v)2v(u,v)2u2v2. (5.12)

因此

u(0,0)0,v(0,0)0. (5.13)

将(5.12)两边对u,v求偏导数，得

uuuvvuu,uuvvvvv.

再对u,v求偏导数，得

uuuuuuvvuuvu1，uuuvuuuvvvuvvuvv0，

uuvvuvvvvvvv1.

在uv0处取值，可得

2222uuvu1，uuuvvuvv0，uvvv1. (5.14)

这说明uu(0,0),vu(0,0)和uv(0,0),vv(0,0)是相互正交的单位向量. 可设

uu(0,0),vu(0,0)cos,sin，uv(0,0),vv(0,0)sin,cos.

另一方面，将uv0代入S和S的第一基本形式得

2222I(0,0,du,dv)a2du2b2dv2Ia2uuduuvdvb2vuduvvdv

2222222222dv2. a2uub2vudu22auubvvdudvaubvuvuvvv因此在uv0处成立

a2cos2b2sin2a2，(a2b2)cossin0，a2sin2b2cos2b2.

如果ab，则有abab，与已知条件矛盾.

如果ab，则有sin0或cos0. 当sin0时，有a2,b2a2,b2；当

22222222cos0时，有b2,a2a2,b2，同样导致矛盾. □

下面的定理说明在某些情况下曲面的法曲率的确包含了曲面形状的全部信息.

定理5.4 设:SS是连续可微映射，其中S上没有脐点，且Gauss曲率K处处不为0. 若在每一点pS处，:TpST(p)S保持所有方向的法曲率不变，则有E中的刚体运动使得

3|S.

证明 由条件，可在S上取正交的曲率线网为参数曲线网，使得FM0，且

1不妨设12.

LN0,20. EG设S的参数方程为r(u,v)，映射的参数表示为(u,v)u(u,v),v(u,v). 对于S的两

个主方向ru,rv，对应的方向是ru和rv. 则ru0，rv0，且ru与rv线性无关，因为沿ru和rv方向的法曲率不等(法曲率仅依赖于方向).

79

因此在每一点pS处:TpST(p)S是线性同构. 由第三章定理5.1，可在S上选取适用

参数系u,v使得S的参数方程为r(u,v)，映射的参数表示为(u,v)u,v.

下面证明在相同参数的对应下，S和S有相同的第一、第二基本形式. 由于沿着切方向ru，

du:dv1:0，法曲率nL/E达到最小值1，因此ru是S的主方向. 同理，rv也是S的主

方向. 又由12可知ru与rv正交. 因此在S上参数曲线网也是正交的曲率线网.

于是在S上也有FM0，并且

1LLNN2. (5.22) EEGG另外，沿着切方向du:dv1:1，也有

LNLNn.

EGEGE2G1E2G将(5.22)代入可得1，即

EGEGEG1E2GEG1E2G，

也就是

1(EGGE)2(EGGE). (5.24)

所以

剩下的只要证明1.

由Codazzi方程(3.23)得

LvHEv,LENGEG，1，2. (5.26-27)

L1EN2GEGNuHGu. (5.28) NuHGu. (5.29)

LvHEv,其中H12(12). 将(5.26-27)代入(5.29)，得

vLLvH(vEEv),uNNuH(uGGu).

再与(5.28)比较，得

v1EHvE,u2GHuG.

于是uv0，是一常数.

最后由(5.4)，(5.26)，有

EvGu1KK.

EGGvEu1但KK120，只有1.

于是在适用参数系下，S和S有相同的第一、第二基本形式. 根据定理2.2，有E中的刚体

运动使得|S. □

课外作业：习题1(2,4,6)，2

3 80